2023-2024学年北师大版八年级数学下册第三章 图形的平移与旋转测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知点P1（a﹣1，1）和P2（2，b﹣1）关于原点对称，则（a+b）2024的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．（﹣3）2024
【答案】A
【解答】解：∵点P1（a﹣1，1）和P2（2，b﹣1）关于原点对称，
∴a﹣1＝﹣2，b﹣1＝﹣1，
∴a＝﹣1，b＝0，
∴（a+b）2024
＝（﹣1+0）2024
＝1．
故选：A．
2．如图，△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC（点A与点D是对应点，点B与点E是对应点），点D是AB中点，DE与BC相交于点F，BF＝，则EF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】A
【解答】解：∵△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC，
∴∠ACD＝60°，AC＝DC，
∴△ACD为等边三角形，则AC＝AD＝CD，∠ADC＝60°，
∵点D是AB中点，
∴AD＝BD，
∴AC＝AD＝CD＝BD，
∴，
∵∠CDF＝∠A＝60°，
∴∠BDF＝120°﹣60°﹣60°＝60°，
在△BDF中，∠BFD＝180°﹣∠B﹣∠BDF＝90°，
∴，
∴DE＝AB＝2BD＝4，
∴BD＝2，
∴DF＝＝1，
∴EF＝DE﹣DF＝4﹣1＝3，
故选：A．
3．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝12，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD，当时，AC的长为（ ）
A． B．10 C． D．
【答案】C
【解答】解：如图，连接DB，延长DC交AB于F，
∵把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，
∴∠DAB＝60°，AD＝AB＝12，
∴△DAB为等边三角形，
∴DA＝DB，
∵AC＝BC，
∴CD为AB的中垂线，
∴AF＝AB＝6，
在Rt△ADF中，DF＝＝6，
而CD＝2，
∴CF＝DF﹣CD＝4，
在Rt△ACF中，AC＝＝2．
故选：C．
4．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度θ得到△A′B′C，∠A＝40°，∠B′DC＝70°，则旋转角θ度数为（ ）
A．70° B．55° C．40° D．30°
【答案】D
【解答】解：由旋转的性质可知，∠A′＝∠A＝40°，θ＝∠ACA′，
∴θ＝∠ACA′＝∠B′DC﹣∠A′＝30°，
故选：D．
5．如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转100°得到△AB′C′，若点B′恰好落在边BC上，则∠B的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
【答案】A
【解答】解：∵将△ABC绕点A逆时针方向旋转100°得到△AB′C′，
∴∠BAB′＝100°，AB＝AB′，
∴∠B＝∠AB′B＝（180°﹣100°）＝40°．
故选：A．
6．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，若线段AC＝2，则△ACE的面积为（ ）
A． B． C．3 D．6
【答案】A
【解答】解：由旋转的性质得：AC＝AE＝2，∠CAE＝60°，
∴△ACE为等边三角形，
∴CE＝AC＝2．
∴△ACE的面积＝＝．
故选：A．
7．如图，若点M是等边△ABC的边BC上任意一点，将△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB，且点M在边BC上，连接MN，则下列结论：①AB⊥MN②∠BMN＝30°③MN＝AM ④BN∥AM，其中正确的个数有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解答】解：设AB交MN于点D，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠CAB＝∠ABC＝∠C＝60°，
∵将△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB，
∴△AMC≌△ANB，AN＝AM，∠BAN＝∠CAM，
∴∠ABN＝∠C＝60°，∠MAN＝∠BAN+∠BAM＝∠CAM+∠BAM＝∠CAB＝60°，
∴△AMN是等边三角形，
∴MN＝AM，∠AMN＝60°，
故③正确；
若AB⊥MN，则∠ADM＝90°，
∴∠BAM＝30°，与点M是边BC上任意一点这一条件不符，
∴AB与MN不一定垂直，
故①错误；
若∠BMN＝30°，则∠AMB＝∠BMN+∠AMN＝90°，
∴AM⊥BC，与点M是边BC上任意一点这一条件不符，
∴∠BMN不一定等于30°，
故②错误；
∵∠ABN＝∠CAB＝60°，
∴BN∥AC，
∴BN与AM不一定平行，
故④错误，
故选：A．
8．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在斜边AB上，则∠AB′C′的度数为（ ）
A．40° B．50° C．70° D．20°
【答案】B
【解答】解：∵把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°，得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在边AB上，
∴∠BAB′＝40°，∠ACB'＝90°，
∴∠AB′C′＝90°﹣∠BAB′＝90°﹣40°＝50°，
故选：B．
9．如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】B
【解答】解：取AB的中点为点D，连接DE，过点D作DH⊥AC，垂足为H，
∴∠AHD＝90°，
∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，
∴AB＝2BC＝8，∠ABC＝90°﹣∠A＝60°，
∵点D是AB的中点，
∴AD＝BD＝AB＝4，
∴DH＝AD＝2，
由旋转得：BE＝BF，∠EBF＝60°，
∴∠EBF＝∠ABC＝60°，
∴∠EBF﹣∠EBC＝∠ABC﹣∠EBC，
∴∠ABE＝∠CBF，
∵BD＝BC＝4，
∴△BDE≌△BCF（SAS），
∴DE＝CF，
当DE⊥AC时，即当点E和点H重合时，DE有最小值，且最小值为2，
∴CF长的最小值是2，
故选：B．
10．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，点E是BC边上的一个动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接AF，则AF的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】B
【解答】解：以B为原点，BC所在直线为x轴建立直角坐标系，过A作AH⊥BC于H，过F作FM⊥BC于M，过E作EN⊥AB于N，如图：
∵等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，
∴∠NBE＝60°，BD＝AB＝2，BH＝2，AH＝2，
∴A（2，2），H（2，0），
设BE＝m，则BN＝m，NE＝m，DN＝2﹣m，
∵△ABC、△DEF是等边三角形，
∴DE＝EF，∠DEF＝60°＝∠DBE，
∴∠FEM+∠DEB＝120°＝∠DEB+∠BDE，
∴∠FEM＝∠BDE，
又∠END＝∠FME＝90°，
∴△DEN≌△EFM（AAS），
∴DN＝EM＝2﹣m，NE＝FM＝m，
∴BM＝BE+EM＝m+2﹣m＝2+m，
∴F（2+m，m），
令x＝2+m，y＝m，消去m可得y＝x﹣2，
即F点在直线y＝x﹣2上运动，
而直线y＝x﹣2与x轴交点为（2，0），即直线y＝x﹣2与x轴交点为H，
∴HM＝BM﹣BH＝m，
∴tan∠FHM＝＝＝，
∴∠FHM＝60°，
∴∠AHF＝30°，
过A作AK⊥直线HF与K，则AF的最小值即为AK，
在Rt△AHK中，AK＝AH＝×2＝，
∴AF的最小值为，
故选：B．
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 16 ．
【答案】16．
【解答】解：过A作AD⊥A1B于D，如图：
在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，
∴△ABC≌△A1BC1，
∴A1B＝AB＝8，
∴△A1BA是等腰三角形，∠A1BA＝30°，
∵AD⊥A1B，
∴AD＝AB＝4，
∴S△A1BA＝×8×4＝16，
又∵S阴影＝S△A1BA+S△A1BC1﹣S△ABC，且S△A1BC1＝S△ABC，
∴S阴影＝S△A1BA＝16，
故答案为：16．
12．如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC＝，，则BB1＝ ．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴平移后∠PB1C＝∠B＝45°，
∴△PB1C是等腰直角三角形，
∴S△PB1C＝B1C （B1C）＝2，
解得B1C＝2，
∴BB1＝BC﹣B1C＝3﹣2＝．
故答案为：．
13．如图第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 （0，3）或（﹣4，0） ．
【答案】（0，3）或（﹣4，0）．
【解答】解：设平移后点P、Q的对应点分别是P′、Q′．
分两种情况：
①P′在y轴上，Q′在x轴上，
则P′横坐标为0，Q′纵坐标为0，
∵0﹣（n﹣3）＝﹣n+3，
∴n﹣n+3＝3，
∴点P平移后的对应点的坐标是（0，3）；
②P′在x轴上，Q′在y轴上，
则P′纵坐标为0，Q′横坐标为0，
∵0﹣m＝﹣m，
∴m﹣4﹣m＝﹣4，
∴点P平移后的对应点的坐标是（﹣4，0）；
综上可知，点P平移后的对应点的坐标是（0，3）或（﹣4，0）．
故答案为：（0，3）或（﹣4，0）．
14．如图，D是等边△ABC内的一点，∠ADC＝150°，∠ADB＝90°，若△ACD的面积为，则边AB的长为 ．
【答案】2．
【解答】解：如图所示，
将△ACD绕点C逆时针旋转60°得到△BCE，
作CF⊥BE交BE的延长线于点F，
∴△ACD≌△BCE，∠DCE＝60°，∠BEC＝∠ADC＝150°，
∴CD＝CE，
∴△DCE是等边三角形，
∴∠CDE＝∠CED＝60°，
∴∠BDE＝360°﹣∠ADB﹣∠ADC＝60°，
∴∠BED＝∠BEC﹣∠CED＝90°，
∴∠DBE＝30°，
∴∠CEF＝180°﹣∠BEC＝30°，
∴设CF＝x，则DE＝CE＝2x，
∴BE＝DE＝2x，
∵△ACD≌△BCE，
∴S△BCE＝S△ACD＝×BE×CF＝2，
即：×2x×x＝2，
解得x＝（负值舍去），
∴CF＝，EF＝CF＝，
BE＝2x＝2，∴BF＝BE+EF＝3，
∴BC＝＝2，
∴AB＝BC＝2，
故答案为：2．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，点P是在△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP'B'．若点C，P，P'，B'恰好在同一直线上，则PA+PB+PC＝ 3 ．
【答案】3．
【解答】解：连接BB′，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，
∴AC＝3，BC＝3，
∵将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP′B′，
∴△APB≌△AP′B′，△APP′是等边三角形，△ABB′是等边三角形，
∴PP′＝AP，PB＝P′B′，BB′＝AB＝6，∠ABB′＝60°，
∴∠CBB′＝∠ABB′+∠ABC＝90°，
若点C，P，P′，B′恰好在同一直线上，
在Rt△CBB′中，CB′＝＝3，
∴PA+PB+PC＝CB′＝3．
故答案为：3．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 9 ．
【答案】9．
【解答】解：如图，以AP为边作等边三角形APE，连接BE，过点E作EF⊥AP于F，
∵点A的坐标为（0，12），
∴OA＝12，
∵点P为OA的中点，
∴AP＝6，
∵△AEP是等边三角形，EF⊥AP，
∴AF＝PF＝3，AE＝AP，∠EAP＝∠BAC＝60°，
∴∠BAE＝∠CAP，
在△ABE和△ACP中，
，
∴△ABE≌△ACP（SAS），
∴BE＝PC，
∴当BE有最小值时，PC有最小值，
即BE⊥x轴时，BE有最小值，
∴BE的最小值为OF＝OP+PF＝6+3＝9，
∴PC的最小值为9，
故答案为：9．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8份）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A′B′C′，且点C的对应点坐标是C′．
（1）画出△A′B′C′，并直接写出点C′的坐标；
（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P′，则点P′的坐标 ；
（3）若将△A′B′C′看成是由△ABC经过一次平移得到的，则平移的方向 ，平移的距离 ．
【答案】（1）图见解析，C′（5，﹣2）；
（2）（a+4，b﹣3）；
（3）沿直线AA′的方向，5．
【解答】解：（1）如图，△A′B′C′即为所求；
由图可知：C′（5，﹣2）；
（2）∵P（a，b）向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到P′，
∴P′（a+4，b﹣3）；
故答案为：（a+4，b﹣3）
（3）由勾股定理，得：，
∴将△A′B′C′看成是由△ABC经过一次平移得到的，则平移的方向为沿着直线AA′的方向，平移5个单位得到；
故答案为：沿直线AA′的方向，5．
18．（8份）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE，DE．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求DE的长．
【答案】（1）证明见解答过程；
（2）8．
【解答】（1）证明：由旋转可知∠DCE＝60°，CD＝CE，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ACB＝60°，AC＝BC，
∴∠ACB＝∠DCE＝60°，
∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE；
在△BCD和△ACE中，
，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；
（2）解：由（1）知△BCD≌△ACE，
∴AE＝BD＝10，
∵∠DCE＝60°，CD＝CE，
∴△CDE是等边三角形，
∴∠CDE＝60°，
又∵∠ADC＝30°，
∴∠ADE＝∠ADC+∠CDE＝90°，
在Rt△ADE中，．
19．（8份）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）C（0，2），D（4，2）
S四边形ABDC＝AB OC＝4×2＝8；
（2）存在，当BF＝CD时，三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍．
∵C（0，2），D（4，2），
∴CD＝4，BF＝CD＝2．
∵B（3，0），
∴F（1，0）或（5，0）．
20．（8份）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
（1）如图1，三角形ABC的面积为 ；
（2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求三角形ACD的面积；
②P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形AOC的面积，请求出点P的坐标．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0），
∴OA＝2，OB＝2，OC＝4，
∴S△ABC＝×（2+4）×2＝6，
故答案为：6．
（2）①连接OD．
由题意D（5，4），
S△ADC＝S△AOD+S△ODC﹣S△AOC＝×2×5+×4×4﹣×2×4＝9．
②由题意，×2×|m|＝×2×4，
解得m＝±4，
∴点P的坐标为（﹣4，3）或（4，3）．
21．（10份）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）请求出旋转角的度数；
（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；
（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）∵将△BCD绕点C顺时针旋转得到△ACE
∴△BCD≌△ACE
∴AC＝BC，
又∵∠ABC＝45°，
∴∠ABC＝∠BAC＝45°
∴∠ACB＝90°
故旋转角的度数为90°
（2）AE⊥BD．
理由如下：
在Rt△BCM中，∠BCM＝90°
∴∠MBC+∠BMC＝90°
∵△BCD≌△ACE
∴∠DBC＝∠EAC
即∠MBC＝∠NAM
又∵∠BMC＝∠AMN
∴∠AMN+∠CAE＝90°
∴∠AND＝90°
∴AE⊥BD
（3）如图，连接DE，
由旋转图形的性质可知
CD＝CE，BD＝AE，旋转角∠DCE＝90°
∴∠EDC＝∠CED＝45°
∵CD＝3，
∴CE＝3
在Rt△DCE中，∠DCE＝90°
∴DE＝＝＝3
∵∠ADC＝45°
∴∠ADE＝∠ADC+∠EDC＝90°
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°
∴EA＝＝＝
∴BD＝
22．（10份）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：
①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．
【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）依题意，得C（0，2），D（4，2），
∴S四边形ABDC＝AB×OC＝4×2＝8；
（2）存在．
设点P到AB的距离为h，
S△PAB＝×AB×h＝2h，
由S△PAB＝S四边形ABDC，得2h＝8，解得h＝4，
∴P（0，4）或（0，﹣4）；
（3）结论①正确，
过P点作PE∥AB交OC与E点，
∵AB∥PE∥CD，
∴∠DCP+∠BOP＝∠CPE+∠OPE＝∠CPO，
∴＝1．2023-2024学年北师大版八年级数学下册第三章 图形的平移与旋转测试卷
（考试时间：90分钟 试卷满分：100分）
单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．已知点P1（a﹣1，1）和P2（2，b﹣1）关于原点对称，则（a+b）2024的值为（ ）
A．1 B．0 C．﹣1 D．（﹣3）2024
2．如图，△ABC绕点C逆时针旋转60°得到△DEC（点A与点D是对应点，点B与点E是对应点），点D是AB中点，DE与BC相交于点F，BF＝，则EF的长为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．如图，在△ABC中，AC＝BC，AB＝12，把△ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE，连接CD，当时，AC的长为（ ）
A． B．10 C． D．
4．如图，把△ABC绕点C顺时针旋转某个角度θ得到△A′B′C，∠A＝40°，∠B′DC＝70°，则旋转角θ度数为（ ）
A．70° B．55° C．40° D．30°
5．如图，将△ABC绕点A逆时针方向旋转100°得到△AB′C′，若点B′恰好落在边BC上，则∠B的度数是（ ）
A．40° B．50° C．60° D．70°
6．如图，将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，若线段AC＝2，则△ACE的面积为（ ）
A． B． C．3 D．6
7．如图，若点M是等边△ABC的边BC上任意一点，将△AMC绕点A顺时针旋转得到△ANB，且点M在边BC上，连接MN，则下列结论：①AB⊥MN②∠BMN＝30°③MN＝AM ④BN∥AM，其中正确的个数有（ ）个．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，把Rt△ABC绕点A逆时针旋转40°得到Rt△AB′C′，点C′恰好落在斜边AB上，则∠AB′C′的度数为（ ）
A．40° B．50° C．70° D．20°
9．如图，直角△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，点E是边AC上一点，将BE绕点B顺时针旋转60°到点F，则CF长的最小值是（ ）
A． B．2 C． D．
10．如图，等边三角形ABC的边长为4，点D是AB边的中点，点E是BC边上的一个动点，以DE为边作等边三角形DEF，连接AF，则AF的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．
填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．）
11．如图，在△ABC中，AB＝8，将△ABC绕点B按逆时针方向旋转30°后得到△A1BC1，则阴影部分面积为 ．
12．如图，将等腰直角△ABC沿BC方向平移得到△A1B1C1，若BC＝，，则BB1＝ ．
13．如图第一象限内有两点P（m﹣4，n），Q（m，n﹣3），将线段PQ平移，使点P、Q分别落在两条坐标轴上，则点P平移后的对应点的坐标是 ．
14．如图，D是等边△ABC内的一点，∠ADC＝150°，∠ADB＝90°，若△ACD的面积为，则边AB的长为 ．
15．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，AB＝6，点P是在△ABC内一点，连接AP，BP，CP，将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AP'B'．若点C，P，P'，B'恰好在同一直线上，则PA+PB+PC＝ ．
16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，12），点B为x轴上一动点，以AB为边在直线AB的右侧作等边三角形ABC．若点P为OA的中点，连接PC，则PC的长的最小值为 ．
三、解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8份）如图，△ABC的顶点A（﹣1，4），B（﹣4，﹣1），C（1，1）．若△ABC向右平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到△A′B′C′，且点C的对应点坐标是C′．
（1）画出△A′B′C′，并直接写出点C′的坐标；
（2）若△ABC内有一点P（a，b）经过以上平移后的对应点为P′，则点P′的坐标 ；
（3）若将△A′B′C′看成是由△ABC经过一次平移得到的，则平移的方向 ，平移的距离 ．
18．（8份）如图，在四边形ABCD中，AC，BD是对角线，△ABC是等边三角形．线段CD绕点C顺时针旋转60°得到线段CE，连接AE，DE．
（1）求证：△BCD≌△ACE；
（2）若∠ADC＝30°，AD＝6，BD＝10，求DE的长．
19．（8份）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．
（1）直接写出点C，D的坐标，求出四边形ABDC的面积；
（2）在x轴上是否存在一点F，使得三角形DFC的面积是三角形DFB面积的2倍，若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
20．（8份）在平面直角坐标系中，O为原点，点A（0，2），B（﹣2，0），C（4，0）．
（1）如图1，三角形ABC的面积为 ；
（2）如图2，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．
①求三角形ACD的面积；
②P（m，3）是一动点，若三角形PAO的面积等于三角形AOC的面积，请求出点P的坐标．
21．（10份）如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．
（1）请求出旋转角的度数；
（2）请判断AE与BD的位置关系，并说明理由；
（3）若AD＝2，CD＝3，试求出四边形ABCD的对角线BD的长．
22．（10份）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD．
（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC；
（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB＝S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：
①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．
