数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.2.2等差数列前n项和公式应用 课件（共31张ppt）

(共31张PPT)
4.2.2第2课时　等差数列的前n项和公式的应用
1.等差数列的前n项和公式的实际应用
[大本例1]　我国数学名著《增删算法统宗》中有如下问题：“一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来争三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”大致意思是：一个老人有九个儿子，若问他们的生年是不知道的，但从老大的年龄开始排列，后面一个儿子比前面一个儿子小3岁，九个儿子共207岁，问老大是多少岁？(　　)
A．38　　　　　　　　 B．35
C．32 D．29
　 1.北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)(　　)
A．3 699块 B．3 474块C．3 402块 D．3 339块
2.等差数列前n项和的最值问题
例 题 讲 解
当n >1时： ①
当n=1时：
也满足①式.
变 式 训 练
当n >1时：
①
当n=1时：
不满足①式.
点评：
分类讨论思想
● 如果一个数列 的前n项和为
其中p、q、r为常数，且p≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项和公差是什么？
（1）若r≠0，则这个数列一定不是等差数列.
（2）若r＝0，则这个数列一定是等差数列.
结论：数列是等差数列等价于
常数项为0的关于n的二次型函数
1．数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，若Sn＝(n＋1)2＋λ，
则λ的值是（ ）
A．－2 B．－1 C．0 D．1
A+B=a1
C
小结：等差数列的前n项和公式：
探究：若{an}成等差数列,则{ }是个什么数列？
等差数列
例 题 讲 解
【解析】由题意知，等差数列的公差为
于是，当n取与 最接近的整数即7或8时， 取最大值..
函数思想
还有其它方法吗？
例 题 讲 解
从等差数列的通项公式出发来分析
[大本例2]　在等差数列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n项和Sn的最大值．
归纳:求等差数列前n项和 最值的方法：
（1）用等差数列前n项和的函数表达式
通过配方求二次函数最值的方法求解；
（2）通过等差数列通项公式，用邻项变号的方法：
注意：当数列中有数值为0时，n应有两解.
练习
练习
练习

(1)求公差d的取值范围;

(3)指出 中哪一个最大,并说明理由.

练习

(1)求公差d的取值范围;

(3)指出 中哪一个最大,并说明理由.
(2)解：由（1）知：S12=6（a6＋a7）＞0
∴a6＋a7＞0
又S13=13a7＜0，∴a7＜0
∴又d＜0
∴a1＞a2＞.......＞a6＞0＞a7
∴前6项和最大，即S6最大.
(3)当n=6时， 最大， 是{ }中最小的正数项，故 是 中最大的一项
法二
3.数列{|an|}的前n项和
例 题 讲 解
例 题 讲 解
归纳：已知数列{an}的通项公式,求数列{︱an ︱}的前n项和Tn.
例 题 讲 解
4.等差数列的综合应用
[大本例4]　已知定义在R上的函数f(x)的图象的对称中心为(1 011,2)．设数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＝f(n)，n∈N*，求S2 021.
分析：由函数f(x)的图象的对称中心为(1 011,2)，得f(2×1 011－x)＋f(x)＝2×2，即f(2 022－x)＋f(x)＝4，即有a2 022－n＋an＝4，n∈N*，因此可用倒序相加法求和．
【本节小结】
1.等差数列的前n项和公式
3.推导等差数列前n项和公式方法：
倒序相加法
4.本节基本思想：
方程思想
函数思想
分类讨论思想
整体思想