数学人教A版（2019）必修第二册8.3.1棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积 课件（共21张ppt）

(共21张PPT)
第八章 立体几何初步
8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积与体积
教学目标
了解棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式;（重点）
01
能用上述公式求棱柱、棱锥、棱台的体积和表面积; （重点、难点）
02
能运
03
04
引 入
用纸量的大小跟围成几何体各个面的面积密切相关．
为此，我们引入几何体表面积相关概念．
在生产生活中，会遇到包装盒用纸量的计算问题.
前面我们分别认识了基本立体图形的结构特征和平面表示，本节课进一步学习简单几何体的表面积和体积．表面积是几何体表面的面积，它表示几何体表面的大小，体积是几何体所占空间的大小．
在初中已经学过正方体和长方体的表面积，你知道正方体和长方体的展开图的样子吗？
几何体表面积
展开图
平面图形面积
空间问题
平面问题
1. 多面体的展开图和表面积
展开图面积与其表面积有什么关系？
新知探究
多面体的表面积就是围成多面体各个面的面积的和．
　棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的各个面的面积的和，
也就是展开图的面积．
棱柱
棱柱
展开图
侧面积等于侧面各个平行四边形的面积和.
表面积等于底面积与侧面积的和.
空间问题
平面问题
也就是说求多面体的表面积关键在于知道展开图是怎么样的！
新知探究
棱锥
侧面积等于侧面各个三角形的面积和；
表面积等于底面积与侧面积的和.
棱锥展开图
棱台
侧面积等于侧面各个梯形的面积和；
表面积等于底面积与侧面积的和.
棱台展开图
【例1】已知棱长为a，各面均为等边三角形的四面体P-ABC，求它的表面积．
B
C
A
P
【解析】因为△PBC是正三角形，其边长为a，
所以
因此，四面体P-ABC的表面积
练习 1.正六棱台的上、下底面边长分别是2cm和6cm，侧棱长是5cm，求它的表面积？
解：如图，正六棱台ABCDEF-A’B’C’D’E’F’中，A’B’=2,AB=6,A’A=5
∴侧面梯形ABB’A’的斜高为
∴正六棱台的表面积
课本116页
还记得以前学过的特殊棱柱——正方体、长方体的体积公式吗？
Ｖ正方体＝a3（a是正方体的棱长）
Ｖ长方体＝abc（a，b，c分别是长方体的长、宽、高）
2. 多面体的体积
探究新知
①棱柱的体积公式
V棱柱=Sh
一般地，如果棱柱的底面积是S，高是h,那么这个棱柱的体积
棱柱的高是指两底面之间的距离，即从一底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足（垂线与底面的交点）之间的距离.
特别的，直棱柱的侧棱垂直于底面，故侧棱长即为直棱柱的高.
探究新知
探究棱锥与同底等高的棱柱体积之间的关系：
如果一个棱柱和一个棱锥的底面积相等，高也相等，那么，棱柱的体积是棱锥的体积的3倍．
探究新知
②棱锥的体积公式
一般地，如果棱锥的底面面积为S，高为h，那么这个棱锥的体积
注意：三棱锥的顶点和底面可以根据需要变换，四面体的每一个面都可以作为底面，可以求点到面的距离.
棱锥的高是指从顶点向底面作垂线，顶点与垂足之间的距离.
——等体积法
问题：棱台的体积又应该是怎样的呢？
探究新知
探究新知
③棱台的体积公式
由于棱台是由棱锥截成的，因此可以利用两个棱锥的体积差，得到棱台的体积公式
(S′, S, h分别是棱台的上下底面积和高)
棱台的高是指两底面之间的距离，即从上底面上任意一点向下底面作垂线，这点与垂足之间的距离.
问题 棱柱、棱锥、棱台的体积公式之间有什么关系？你用棱柱、棱锥、棱台的结构特征来解释这种关系吗？
探究新知
几何体 棱柱 棱台 棱锥
直 观 图
体 积
S’=S
上底扩大
S’=0
上底缩小
【例2】如图，一个漏斗的上面部分是一个长方体，下面部分是一个四棱锥，两部分的高都是1.5 m，公共面ABCD是边长为2 m的正方形，那么这个漏斗的容积是多少立方米？
解：
1.某广场设置了一些石凳供大家休息,这些石凳是由正方体截去八个一样的四面体得到的.如果被截正方体的棱长是50cm,那么石凳的体积是多少？
课本116页
多面体的表面积就是围成多面体_________的面积的和.棱柱、棱锥、棱台的表面积就是围成它们的_________的面积的和.
1. 棱柱、棱锥、棱台的表面积
各个面　
各个面　
课堂小结
2. 棱柱、棱锥、棱台的体积
底面积　
高　
底面积　
高　
上、下底面面积　
高