数学人教A版（2019）选择性必修第二册4.3.1等比数列的概念 课件（共31张ppt）

(共31张PPT)
第四章 数列
4.3.1 等比数列的概念及
通项公式
思考：观察下列两个实例，比较两个实例中数列的共同特征？
1， 2， 4， 8，….
问题创设
实例1：有一种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，···，那么细胞分裂而成的个数依次是
实例2：“一尺之棰，日取其半，万世不竭” 。如果将“一尺之棰”视为一份，那么每日剩下的部分依次为
数列①从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____
数列②从第2项起,每一项与它前一项的比都等于____
2
特点：从第二项起，每一项与它的前一项的比是同一常数（等比）
1，2，4，8，….
问题创设
你能通过运算发现数列的取值规律吗？
1. 等比数列的定义:
一般地，若一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列.这个常数叫等比数列的公比，用字母 q 表示.
2.等比数列定义的符号语言:
(q为常数，且q≠0 ；n∈N*)
(q为常数，且q≠0 ；n≥2且n∈N*)
[或 ]
知识讲解
(显然q≠0)
(1) 1，3，9，27，…
(2) 5， 5， 5， 5，…
(3) 1，-1，1，-1，…
(4) 1，0，1，0，…
判断下列各组数列中哪些是等比数列，哪些不是？如果是，写出首项a1和公比q, 如果不是，说明理由．
是
是
是
a1=1, q=3
a1=5, q=1
a1=1, q= -1
不是
小试牛刀
(5) 0，0，0，0，…
(6) 1 , a, a2, a3 , …
(7) x0, x, x2, x3 , …
不是
a1=x0, q=x
是
不一定
思考：
(1)等差数列的项、公差均可以是0吗？等比数列呢？
等差数列的项和公差都可以为0；等比数列的项和公比都不可以为0.
(2)是否存在既是等差数列又是等比数列的数列？
非零常数列既是等差数列又是等比数列，公差为0，公比为1.
(3)q>0时，等比数列各项的符号有何特点？q<0时呢？
q>0时，等比数列各项符号和首项a1保持一致；
q<0时，等比数列各项符号正负间隔，奇数项和偶数项分别同号。
题型一　等比数列的判定
例1　(1)判断下列数列是否为等比数列．
①1,3,32,33，…，3n－1，…；
②－1,1,2,4,8，…；
③a1，a2，a3，…，an，….
方法提升
例2 (2)已知数列的前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否为等比数列．
能否在下列两个数中间插入一个数，使这三个数组成一个等比数列？可以的话，请求出插入的数字
合作探究
思考：如果在a与b的中间插入一个数G，使a, G, b成等比数列，那么G应该满足什么条件？
探究新知
反之，若
即a,G,b成等比数列.
∴a, G, b成等比数列
则

(ab>0)
(ab>0)
如果在a与b中间插入一个数G，使a，G，b组成一个等比数列，则中间的数G叫做a与b的等比中项，且
注意：(1)若实数a、b有等比中项，则a、b符号相同；
(2)若实数a、b有等比中项，则该等比中项必有两个值
若G2=ab，则a，G，b一定成等比数列吗？
2、等比中项：
新知归纳



思考：类比等差数列中，n>1时，2an=an-1+an+1,
等比数列中，相邻三项有什么样的关系？
C
[大本例2]　如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝________，ac＝________.
-3
9
[大本例2]　如果－1，a，b，c，－9成等比数列，那么b＝________，ac＝________.
[解析]　∵b是－1，－9的等比中项，∴b2＝9，b＝±3.又等比数列奇数项符号相同，得b<0，故b＝－3，而b又是a，c的等比中项，故b2＝ac，即ac＝9.
应用等比中项解题的两个关注点
(1)如果出现等比数列两项的乘积时，就要注意考虑是否能转化为等比中项表示．
(2)等比中项一般不唯一，但是如果在等比数列中，还要关注项的符号关系，如a4是a2，a6的等比中项，而a4＝a2q2，因此a4与a2的符号相同．
合作探究
你能根据等比数列的定义推导出它的通项公式吗
… …
方法:归纳法
1
1
-
=
n
n
q
a
∴a
(n-1)个 式子
… …
证明：累乘法
(n-1)个 q相乘
3.等比数列的通项公式
解惑提高
等比数列 ，首项为 ,公比为q,则通项公式为
an=a1qn-1
(1)已知等比数列的首项和公比,可以求得任意一项.
重点点析：
(2) 已知a1,n,q,an四个量中的三个,可以求得第四个量.
(3)等比数列的奇数项符号一定相同,偶数项符号也都相同.相邻两项的符号可以不同
[大本例3]　在等比数列{an}中：(1)a1＝1，a4＝8，求an；(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1.
跟踪训练3.在等比数列{an}中：(1)若它的前三项分别为5，－15,45，求a5；(2)若a4＝2，a7＝8，求an.
4.在等比数列{an}中，(1)若a4＝3，a7＝12，求an；(2)已知a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，若an＝1，求n的值．
1.定义
2.公比(差)
3.等比(差)
中项
4.通项公式
q≠0
d∈R
等比中项
等差中项
等差数列
等比数列
课时小结
2．将已知数列{an}的前n项和Sn＝2－an，求证：数列{an}是等比数列．