(共37张PPT)
第 十七 章
勾股定理
17. 1 勾股定理
第一课时
SPORT
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KE QIAN ZI ZHU XUE XI
PART ONE
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1. 利用 关系证明勾股定理.
2. 勾股定理：_______________________________________________
_________________________________________.
面积
如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2
SPORT
2
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KE SHI DA BIAO YAN LIAN
PART TWO
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知识点1：勾股定理的证明
1. 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a，b，斜边为c，再做一个边长为c的正方形，把它们按如图的方式拼成正方形，请用这个图证明勾股定理.
1. 证明：根据题意，得(a＋b)2＝4ab＋c2. 整理，得a2＋2ab＋b2＝2ab＋c2.
∴a2＋b2＝c2.
2. 如图，可以利用两个全等的直角三角形拼出一个梯形. 借助这个图形，你能用面积法来验证勾股定理吗？
2. 解：此图可以理解为有三个直角三角形，其面积分别为 ab，ab和 c2；还有一个直角梯形，其面积为 (a＋b)(a＋b). 由图形可知，(a＋b)(a＋b)＝ab＋ab＋c2.
整理，得(a＋b)2＝2ab＋c2.
∴a2＋b2＋2ab＝2ab＋c2. ∴a2＋b2＝c2.
知识点2：勾股定理
3. 下列说法正确的是( )
A. 若 a，b，c是△ABC的三边，则a2+b2=c2
B. 若 a，b，c是Rt△ABC的三边，则a2+b2=c2
C. 若 a，b，c是Rt△ABC的三边，∠A=90°，则a2+b2=c2
D. 若 a，b，c是Rt△ABC的三边，∠C=90°，则a2+b2=c2
D
4. 20世纪末，数学家怀尔斯解决了困扰人们300多年的数学难题——“费马大定理”，而“费马大定理”的提出可追溯于对“勾股定理”的探索. 如果a，b表示直角三角形的两条直角边长，c为斜边长，勾股定理可表述为 .
a2＋b2＝c2
知识点3：勾股定理的简单运用
5. 在Rt△ABC中，∠C=90°.
(1)已知a=b=5，求c；
(2)已知a=5，c=13，求b；
(3)已知c=17，b=8， 求a.
(1)解：c＝＝5 .
(2)解：b＝＝12.
(3)解：a＝＝15.
6. 已知直角三角形的两边长分别为7和24，求第三边的长.
6. 解：若第三边为斜边，则第三边长为＝25；
若第三边为一直角边，则第三边长为 .
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SU XIAO TI NENG JI XUN
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7. (1)在△ABC中，∠C=90°，若a=5，b=6，则c= ；
(2)在△ABC中，∠C=90°，若a=8，c=17，则b= ；
(3)在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=2 cm，则AB= cm，AC= cm.
典题优化 体验成功
15
4
2
8. 在Rt△ABC中，若∠C=90°，BC=12 cm，AC=16 cm，则AB= .
9. 如图是单位长度为1的正方形网格，格点上A，B两点间的距离为 .
20 cm
5
10. 若Rt△ABC的两边长为5和12，则第三边长为 .
11. 如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形. 已知正方形A，B，C，D的边长分别是12，16，9，12，求最大正方形E的面积.
13或
11. 解：根据题意，得SE＝SF＋SG
＝SA＋SB＋SC＋SD
＝122＋162＋92＋122
＝625.
12. 如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，AD⊥BC，垂足为D，求AD，BD的长.
12. 解：∵∠BAC＝90°，AB＝15，AC＝20，
∴BC＝＝25.
∵S△ABC＝AB·AC＝BC·AD，
∴AB·AC＝BC·AD.
∴15 20＝25·AD.
∴AD＝12.
∵AD⊥BC，∴BD＝＝9.
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1. (2023·广东期中)在Rt△ABC中，若∠C=90°，AC=3，AB=5，则BC=( )
A. B. 8 C. 2 D. 4
2. (2023·广东模拟)如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，根据图中数据，可以得出正方形A的面积是( )
12 B. 24
C. 30 D. 10
D
B
3. (2023·广州模拟)如图，在△ABC中，若AB=AC=10，BC=12，则底边BC上的高AD= .
8
第 十七 章
勾股定理
17. 1 勾股定理
第二课时
SPORT
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1. 已知直角三角形的两条边可以求 .
2. 利用勾股定理，可以作出长为 的线段.
梳理要点 研读教材
第三边
无理数
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KE SHI DA BIAO YAN LIAN
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不积硅步 无以至千里
知识点1：勾股定理的简单运用
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=30°，a=4，则b= .
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，若∠A=45°，a=3，则c= .
3. 在直角三角形中，两边长分别为3和4，则最长边的长度为 .
4. 在Rt△ABC中，若斜边BC=3，则AB2+AC2+BC2的值为 .
5. 若等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则底边上的高为 .
6. 一个长方形的长是宽的2倍，其对角线的长是5 cm，则长方形的长是 cm.
4
3
4或5
18
3
2
知识点2：利用勾股定理解决有关实际问题
7. 一艘轮船以16 n mile/h的速度离开A港向东南方向航行，另一艘轮船同时以12 n mile/h的速度离开A港向西南方向航行，经过1. 5 h后它们相距 n mile.
8. 一架长25 m的云梯，斜立在一竖直的墙上，这时梯足距墙底端7 m，如果梯子的顶端沿墙下滑4 m，那么梯足将滑动 .
30
8 m
9. 如图，有一根高为16 m的电线杆在A处断裂，电线杆顶部C落在地面离电线杆底部B点8 m远的地方，求电线杆断裂处A离地面的距离.
6 m
知识点3：利用勾股定理作长度为无理数的线段
10. 如图，以数轴的单位长度线段为边作一个正方形，以表示数1的点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴于点A，则点A表示的数是 .
1－
11. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC中，边长为无理数的边是 .
BC，AB
12. 在数轴上作出表示 ， 的点.
(略)
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PART THREE
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13. (1)在Rt△ABC中，∠C=90°，若a=7，c=25，则b= ；
(2)在Rt△ABC中，∠C=90°，若b=15，c=20，则a= ；
(3)已知直角三角形的两边长分别为6和8，则第三边长为 .
典题优化 体验成功
24
5
10或2
14. 如图，以Rt△ABC的三边为边分别向外作正方形，它们的面积分别为S1，S2，S3. 若S3=25，则S1+S2+S3的值为( )
A. 30 B. 35 C. 40 D. 50
D
15. 如图，△ABC的顶点A，B，C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则△ABC的面积为 ，BD的长为 .
3
16. 如图，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，已知CE=3，AB=8，则BF= .
6
17. 如图，一个圆锥的高AO=2. 4，底面半径OB=0. 7，AB的长是多少？
解：在Rt△AOB中，AB＝＝2. 5.
18. 如图，铁路上A，B两站相距25 km，C，D为两个村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA=15 km，CB=10 km. 现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少千米处？
解：设AE＝x km，则BE＝(25－x) km.
∵DA⊥AB，CB⊥AB，∴∠A＝∠B＝90°.
在Rt△DAE中，DE2＝DA2＋AE2＝152＋x2.
在Rt△CBE中，
CE2＝BC2＋BE2＝102＋(25－x)2.
∵DE＝CE，∴152＋x2＝102＋(25－x)2.
∴x＝10，即E站应建在离A站10 km处.
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真题体验
ZHEN TI TI YAN
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1. (2023·广东期末)如图，数轴上的点A所表示的数为a，则a的值是( )
A. 2. 2 B. 2. 3 C. D.
D
2. (2023·广东期末)如图，点B在正方形ADEC的内部，连接AB，BC，若∠CBA=90°，AB=1，BC=2，则正方形ADEC的面积是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
C (共26张PPT)
人教版八年级数学下册课件
第 十七 章
勾股定理
17. 2 勾股定理的逆定理
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勾股定理的逆定理：______________________________________
_________________________________.
2. 把一个命题的题设和结论互换就得到它的 .
3. 常见的勾股数有①3，4，5；②5，12，13；③6，8，10；④7，24，25；⑤8，15，17；等等.
梳理要点 研读教材
如果三角形的三边长a，b，c满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形
逆命题
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不积硅步 无以至千里
知识点1：勾股定理逆定理及其应用
1. 如果△ABC的三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是 三角形，其中斜边为 .
2. 由线段a，b，c组成的三角形：①a=7，b=24，c=25；②a=，b=4，c=5；③a=，b=1，c=；④a=40，b=50，c=60. 其中，不是直角三角形的为( )
A. ①② B. ①④ C. ③ D. ④
. .
直角
c(或AB)
D
3. 如图，长为8 cm的橡皮筋放置在x轴上，固定两端A和B，然后把中点C向上拉升3 cm到D，则橡皮筋被拉长了 cm.
2
4. 一个三角形的三边长分别为15，20，25，那么它的面积是 .
5. 一个三角形的三边的比是3∶4∶5，它的周长是48，则它的面积是
.
6. 如果三角形的三边长为1. 5，2，2. 5，那么这个三角形最短边上的高为 .
7. 在△ABC中， AC=6， AB=8，BC=10，则∠A= °.
150
96
2
90
8. 若8，a，17是一组勾股数，则a= .
9. 观察以下几组勾股数，并寻找规律：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；…请你写出有以上规律的第⑤组勾股数： .
15
11，60，61
10. 如图，OA=6，OB=8，AB=10，点A在点O的北偏西40°方向，则点B在点O的( )
A. 北偏东40° B. 北偏东50°
C. 东偏北60° D. 东偏北70°
B
知识点2：命题与逆命题
11. 下列命题中，是真命题的是( )
A. 如果三角形三个角的度数比是3∶4∶5，那么这个三角形是直角三角形
B. 如果直角三角形两直角边的长分别为a和b，那么斜边的长为a2+b2
C. 若三角形三边长的比为1∶2∶3，则这个三角形是直角三角形
D. 如果直角三角形两直角边分别为a和b，斜边为c，那么斜边上的高h的长为
D
12. 下列各命题的逆命题成立的是( )
A. 全等三角形的对应角相等
B. 如果两个数相等，那么它们的绝对值相等
C. 两直线平行，同位角相等
D. 如果两个角都是45°，那么这两个角相等
C
13. 写出下列命题的逆命题，并判断真假.
(1)如果a=0，那么ab=0；______________________________________.
(2)如果x=4，那么x2=16；______________________________________.
(3)面积相等的三角形是全等三角形；___________________________
_________________.
(4)如果三角形有一个内角是钝角，则其余两个内角是锐角；_________
.
(5)在一个三角形中，等角对等边；_______________________________
______________________.
如果ab＝0，那么a＝0，它是一个假命题
如果x2＝16，那么x＝4，它是一个假命题
全等三角形的面积相等，它是
一个真命题
有两个内角是锐角，那么另一个内角是钝角，它是一个假命题
如果三角形
在一个三角形中，等边对等角，
它是一个真命题
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14. 已知a，b，c为△ABC的三边，下列条件中，不能构成直角三角形的是( )
A. a=8，b=15，c=17 B. ∠A=∠B=∠C
C. a=1. 5，b=2，c=2. 5 D. ∠A∶∠B∶∠C=2∶2∶1
典题优化 体验成功
. .
D
15. 已知△ABC的三边长a，b，c满足(a－b)(c2－a2－b2)=0，则△ABC的形状是( )
等腰三角形或直角三角形
B. 等腰直角三角形
C. 等腰三角形
D. 直角三角形
A
16. 小明向东走80 m后，沿另一方向又走了60 m，再沿第三个方向走100 m回到原地，小明向东走80 m后是向哪个方向走的？
解：如图，AB＝80 m，BC＝BD＝60 m，AC＝AD＝100 m，
根据602＋802＝1002，得∠ABC＝∠ABD＝90°.
故小明向东走80 m后是向北或向南走的.
17. 如图，有一块四边形的绿地ABCD，已知：AB=3 m，BC=4 m，∠B=90°，CD=12 m，AD=13 m.
(1)判断△ACD的形状；
(2)求这块绿地ABCD的面积.
解：(1)∵∠B＝90°，
在Rt△ABC中，由勾股定理，得
AC＝＝5.
∵52＋122＝132，
∴AC2＋CD2＝AD2.
∴△ACD是直角三角形.
(2)∵S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD＝AB·BC＋AC·CD，
∴S四边形ABCD＝÷3÷4＋÷5÷12＝6＋30＝36(m2).
答：该绿地ABCD的面积为36 m2.
18. 如图，三个村庄A，B，C之间的距离分别为AB=5 km，BC=12 km，AC=13 km. 要从点B修一条公路BD直达AC，已知公路的造价为26 000元/km，求修这条公路的最低造价是多少.
解：∵52＋122＝132，即AB2＋BC2＝AC2. ∴∠ABC＝90°.
易知，当BD⊥AC时，BD最短，造价最低.
∵S△ABC＝AB·BC＝AC·BD，
∴BD＝(km).
∴26 000＝120 000(元).
答：修这条公路的最低造价是120 000元.
19. 已知在△ABC中，三条边长分别为a，b，c，且a=n，b=－1，c=+1(n是大于2的偶数). 求证：△ABC是直角三角形.
证明：∵a2＋b2＝n2＋＋1，c2＝＋1，
∴c2＝a2＋b2. 由勾股定理的逆定理，得△ABC是直角三角形.
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广东真题体验
1. (2022·广东期末)下列各组数中，不能作为直角三角形三边的长是( )
A. 2，， B. 3，4，5 C. 9，12，15 D. 7，24，25
. .
A
2. (2022·佛山月考)如图，在△ABC中，AB=AC，点D为AC上一点，连接BD，BC=10，CD=6，BD=8.
(1)试判断△ABD的形状，并说明理由；
(2)求AD的长.
解：(1)△ABD是直角三角形. 理由如下：
在△CBD中，BC＝10，CD＝6，BD＝8，
∴CD2＋BD2＝62＋82＝100，BC2＝102＝100.
∴CD2＋BD2＝BC2. ∴△BCD是直角三角形.
∴∠BDC＝90°. ∴∠ADB＝180°－∠BDC＝90°.
∴△ABD是直角三角形.
(2)设AD＝x，则AC＝x＋6.
∵AB＝AC，∴AB＝x＋6.
在Rt△ABD中，BD2＋AD2＝AB2，
∴82＋x2＝(x＋6)2. 解得x＝.
∴AD＝.
谢谢
