中小学教育资源及组卷应用平台
23.2中心对称
【知识梳理】
中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转，如图它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心）.这两个图形再旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.
如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.
中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
区别 （1）是针对两个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置）关系. （3）对称点在两个图形上. （4）对称中心在两个图形之间. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指具有某种性质的一个图形. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心在图形上.
联系 （1）都是通过把图形旋转重合来定义的.（2）两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称
中心对称的性质：
中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
中心对称的两个图形是全等图形.
作中心对称图形的一般步骤（重点）：
作出已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于中心的对称点——连接关键点和中心，并延长一倍确定关键的对称点.
把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形.
找对称中心的方法和步骤：
对于中心对称图形和关于某一点对称的两个图形，它们的对称中心非常重要，找不对称中心是解决先关问题的关键.由中心对称的特征可知，对称中心为对应点连线的中点或两组相对应点连线的交点，因此找对称中心的步骤如下：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
关于原点对称的点的坐标规律
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点
P’(-x，-y)
【基础训练】
1．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图所示，△ABC与△A′B′C′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是( )
A．AB=A′B′，BC=B′C′ B．AB∥A′B′，BC∥B′C
C．S△ABC=S△A′B′C′ D．△ABC≌△A′OC′
3.如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（ ）
A．O1 B．O2 C．O3 D．O4
4.在①圆、②等腰梯形、③正方形、④正三角形、⑤平行四边形这五个图形中，所有既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．①和② B．①和③ C．①和⑤ D．③和④
5.直角坐标系中，点A(﹣3，4)与点B(3，﹣4)关于（ ）
A．x轴轴对称 B．y轴轴对称 C．原点中心对称 D．以上都不对
6.下列数学符号中，不是中心对称图形的是（ ）
A．∽ B．// C．> D．=
7.直角坐标系中，点A (﹣2，1)与点B (2，﹣1)关于 （ ）
A．x轴轴对称 B．y轴轴对称
C．原点中心对称 D．以上都不对
8.若点关于原点对称的点在第一象限，则的整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9.已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
10.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=_____．
11.若P（﹣3，2）与P′（3，n+1）关于原点对称，则n＝_____．
12.在平面直角坐标系中，点关于原点对称点在第_______象限．
13.已知点A（2，4）与点B（b﹣1，2a）关于原点对称，则ab＝_____．
14.如图，各顶点坐标分别为：，，．
（1）画出关于原点O为中心对称的；
（2）将向上平移4个单位得到；画出图形并写出下列各点坐标： ，： ，： ；
（3）观察图形，若中存在点，则在中对应点的坐标为： ．
【能力提升】
1.若点与点关于原点成中心对称，则的值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
2.如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点、、，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
3.将抛物线y＝+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C． D．
4.如图，与关于点成中心对称，，，，则的长是___________．
5.在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则称点P为“对等点”．已知一个二次函数的图像上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为_________．
6.如图所示，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A2B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称．
（1）直接写出B1，B2，B3，的坐标分别为 ， ， ；
（2）连接A1B2，求A1B2的长．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
23.2中心对称
【知识梳理】
中心对称概念：把一个图形绕着某一点旋转，如图它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫作对称中心（简称中心）.这两个图形再旋转后能重合的对应点叫作关于对称中心的对称点.
如图，绕着点旋转后，与完全重合，则称和关于点对称，点是点关于点的对称点.
中心对称图形概念：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫作中心对称图形，这个点就是它的对称中心.
中心对称与中心对称图形的区别与联系：
中心对称 中心对称图形
区别 （1）是针对两个图形而言的. （2）是指两个图形的（位置）关系. （3）对称点在两个图形上. （4）对称中心在两个图形之间. （1）是针对一个图形而言的. （2）是指具有某种性质的一个图形. （3）对称点在一个图形上. （4）对称中心在图形上.
联系 （1）都是通过把图形旋转重合来定义的.（2）两者可以相互转化，如果把中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这“一个图形”就是中心对称图形；反过来，如果把一个中心对称图形相互对称的两部分看成两个图形，那么这“两个图形”中心对称
中心对称的性质：
中心对称的两个图形，对称点所连线段都经过对称中心，而且被对称中心所平分；
中心对称的两个图形是全等图形.
作中心对称图形的一般步骤（重点）：
作出已知图形各顶点（或决定图形形状的关键点）关于中心的对称点——连接关键点和中心，并延长一倍确定关键的对称点.
把各对称点按已知图形的连接方式依次连接起来，则所得到的图形就是已知图形关于对称中心对称的图形.
找对称中心的方法和步骤：
对于中心对称图形和关于某一点对称的两个图形，它们的对称中心非常重要，找不对称中心是解决先关问题的关键.由中心对称的特征可知，对称中心为对应点连线的中点或两组相对应点连线的交点，因此找对称中心的步骤如下：
方法1：连接两个对应点，取对应点连线的中点，则中点为对称中心.
方法2：连接两个对应点，在连接两个对应点，两组对应点连线的交点为对称中心.
关于原点对称的点的坐标规律
两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点
P’(-x，-y)
【基础训练】
1．下列四个图形中，不是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、此图形是中心对称图形，不符合题意；
B、此图形是中心对称图形，不符合题意；C．此图形不是中心对称图形，符合题意；
D、此图形是中心对称图形，不符合题意，故选：C．
2.如图所示，△ABC与△A′B′C′是成中心对称的两个图形，则下列说法不正确的是( )
A．AB=A′B′，BC=B′C′ B．AB∥A′B′，BC∥B′C
C．S△ABC=S△A′B′C′ D．△ABC≌△A′OC′
【答案】D
【详解】
解：∵△ABC与△A′BC′是成中心对称的两个图形，
∴AB=A′B′，BC=B′C′，AB∥A′B′，BC∥B′C′，S△ABC=S△A′B′C′，
无法得到：△ABC≌△A′OC′．
所以选D.
3.如图，四边形ABCD与四边形FGHE关于一个点成中心对称，则这个点是（ ）
A．O1 B．O2 C．O3 D．O4
【答案】A
【详解】
如图，连接HC和DE交于O1，
故选A．
4.在①圆、②等腰梯形、③正方形、④正三角形、⑤平行四边形这五个图形中，所有既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）
A．①和② B．①和③ C．①和⑤ D．③和④
【答案】B
【详解】
解：①圆和③正方形既是中心对称图形，也是轴对称图形；
②等腰梯形和④正三角形只是轴对称图形；
⑤平行四边形只是中心对称图形．
故选：B．
5.直角坐标系中，点A(﹣3，4)与点B(3，﹣4)关于（ ）
A．x轴轴对称 B．y轴轴对称 C．原点中心对称 D．以上都不对
【答案】C
【详解】
解：根据题意，易得点A（-3，4）与点B（3，-4）的纵横坐标互为相反数，则这两点关于原点中心对称．
故选：C．
6.下列数学符号中，不是中心对称图形的是（ ）
A．∽ B．// C．> D．=
【答案】C
【详解】
解：A、∽是中心对称图形，故此选项不符合题意；
B、∥是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C、＞不是中心对称图形，故此选项符合题意；
D、＝是中心对称图形，故此选项不符合题意；
故选C．
7.直角坐标系中，点A (﹣2，1)与点B (2，﹣1)关于 （ ）
A．x轴轴对称 B．y轴轴对称
C．原点中心对称 D．以上都不对
【答案】C
【详解】
解：点A (﹣2，1)与点B (2，﹣1)关于原点中心对称，
故选：C．
8.若点关于原点对称的点在第一象限，则的整数解有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】解：根据题意得点A在第三象限，
，解得＜a＜3，则a的整数解是1，2．故选：B．
9.已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）．
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】
解：∵点关于原点对称的点在第四象限，
∴点在第二象限，
∴，
解得：．
则的取值范围在数轴上表示正确的是：
．
故选C．
10.在平面直角坐标系中，点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），若点A与点B关于原点O对称，则ab=_____．
【答案】12
【详解】∵点A的坐标为（a，3），点B的坐标是（4，b），点A与点B关于原点O对称，
∴a=﹣4，b=﹣3，
则ab=12，
故答案为12．
11.若P（﹣3，2）与P′（3，n+1）关于原点对称，则n＝_____．
【答案】-3．
【详解】
解：∵P（﹣3，2）与P′（3，n+1）关于原点对称，
∴﹣2＝n+1，
则n＝﹣3．
故答案为﹣3．
12.在平面直角坐标系中，点关于原点对称点在第_______象限．
【答案】二
【详解】
∵m2+1＞0，
∴点关于原点对称点为：（-m2-1，3），
而-m2-1＜0，
故点关于原点对称点在第二象限．
故答案为：二．
13.已知点A（2，4）与点B（b﹣1，2a）关于原点对称，则ab＝_____．
【答案】2．
【解析】
由题意，得
b 1= 2，2a= 4，
解得b= 1，a= 2，
∴ab=( 2) ×( 1)=2，
故答案为2.
14.如图，各顶点坐标分别为：，，．
（1）画出关于原点O为中心对称的；
（2）将向上平移4个单位得到；画出图形并写出下列各点坐标： ，： ，： ；
（3）观察图形，若中存在点，则在中对应点的坐标为： ．
【答案】（1）见解析；（2）图见解析，，，；（3）点的坐标为
【详解】（1）如图，为所作；
（2）如图，为所作，，，；
（3）点的坐标为，故答案为，，，．
【能力提升】
1.若点与点关于原点成中心对称，则的值是（ ）
A．1 B．3 C．5 D．7
【答案】C
【详解】
解：∵点与点关于原点对称，
∴，，
解得：，，
则
故选C.
2.如图，线段AB与线段CD关于点P对称，若点、、，则点C的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵线段AB和线段CD线关于P点对称∴P为线段AC中点，也为线段BD中点．
根据中点公式得：∴
C点坐标：故选：B
3.将抛物线y＝+1绕原点O旋转180°，则旋转后的抛物线的解析式为（ ）
A．y＝﹣2x2+1 B．y＝﹣2x2﹣1 C． D．
【答案】D
【详解】解：抛物线y＝+1的顶点坐标为（0，1），
点关于原点O的对称点的坐标为（0，﹣1），此时旋转后抛物线的开口方向相反，
所以旋转后的抛物线的解析式为y＝﹣﹣1．
故选：D．
4.如图，与关于点成中心对称，，，，则的长是___________．
【答案】
【详解】解：∵，∴，
∵与关于点成中心对称，，
∴，
∵，在中，，∴，
在中，，∴；
故答案为．
5.在平面直角坐标系中，若点的坐标满足，则称点P为“对等点”．已知一个二次函数的图像上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m的值为_________．
【答案】
【详解】解：设这两个“对等点”的坐标为和，
代入得，两式相减得，解得，
故答案为：．
6.如图所示，在平面直角坐标系中，△OA1B1是边长为2的等边三角形，作△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，再作△B2A2B3与△B2A2B1关于点B2成中心对称．
（1）直接写出B1，B2，B3，的坐标分别为 ， ， ；
（2）连接A1B2，求A1B2的长．
【答案】（1）；（2）
【详解】解：（1）∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，
∴，
∵△B2A2B1与△OA1B1关于点B1成中心对称，∴，
同理可得，∴，
∴；故答案为；
（2）过点作轴于点H，如图所示：
∵△OA1B1是边长为2的等边三角形，∴，∴，
∴在中，，∴在中，．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
