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24.1.2 垂直于弦的直径
【知识梳理】
垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
常见辅助线做法（考点）：
过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
【基础训练】
1.P为⊙O内一点，，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
【答案】C
【详解】解：在过点P的所有⊙O的弦中，
如图，当弦与OP垂直时，弦最短，此时，
得其半弦长为4，则弦长是8，故选：C．
2．如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
【答案】A
【详解】
试题解析：
∵点C是 的中点，
故选A.
3.如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
【答案】C
【详解】
连接OA，
∵⊙O的直径CD＝20，OM：OD＝3：5，
∴OD＝10，OM＝6，
∵AB⊥CD，
∴，
∴AB＝2AM＝16．
故选：C．
4．一块圆形宣传标志牌如图所示，点，，在上，垂直平分于点，现测得，，则圆形标志牌的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
连结，，如图，设半径为，
∵，，
∴，点、、三点共线，
∵，
∴，
在中，
∵，，
即，
解得，
故选B.
5.如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
【答案】C
【解析】
解：连接OA，设CD=x，∵OA=OC=5，∴OD=5﹣x，∵OC⊥AB，∴由垂径定理可知：AB=4，由勾股定理可知：52=42+（5﹣x）2，∴x=2，∴CD=2，
故选C．
6.往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
解：过点O作OD⊥AB于D，交⊙O于E，连接OA，
由垂径定理得：，
∵⊙O的直径为，
∴，
在中，由勾股定理得：，
∴，
∴油的最大深度为，
故选：．
7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：，
，
在中，，
设半径为得：，
解得：，
这段弯路的半径为
故选A．
8.如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，连接BC，BD，则错误结论为（ ）
A．OF=CF B．AF=BF C． D．∠DBC=90°
【答案】A
【详解】
解：∵DC是⊙O直径，弦AB⊥CD于点F，
∴AF=BF，，∠DBC=90°，
∴B、C、D正确；
∵点F不一定是OC的中点，
∴A错误．
故选：A．
9.如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
【答案】C
【详解】
解：过点O作OM⊥AB，垂足为M
∵OM⊥AB，AB=12
∴AM=BM=6
在Rt△OAM中，OM=
所以8≤OM≤10
故选C．
10.如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．
【答案】
【详解】解：由题意得：，，，
，，是等腰直角三角形，，
故答案为：．
11.如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为__________________．
【答案】20cm
【详解】解：作OD⊥AB于D，连接OB，∴AD＝BDAB＝30cm，
∴OD40（cm），∴PD＝PA+AD＝70+30＝100（cm），
∴OP20（cm）；
故答案为：20cm．
．
12.已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
【答案】（1）证明见解析；（2）8﹣．
【详解】
解：（1）证明：如答图，过点O作OE⊥AB于点E，
∵AE=BE，CE=DE，
∴BE﹣DE=AE﹣CE，即AC=BD.
（2）由（1）可知，OE⊥AB且OE⊥CD，连接OC，OA，
∵OA=10，OC=8，OE=6，
∴.
∴AC=AE﹣CE=8﹣．
【能力提升】
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为（ ）
A．8cm B．4cm C．4cm D．5cm
【答案】C
【详解】
解：连接OC，如图所示：
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，
∴
∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA=22.5°，
∵∠COE为△AOC的外角，
∴∠COE=45°，
∴△COE为等腰直角三角形，
∴
故选C．
2.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）
A． B．8 C． D．
【答案】D
【详解】
∵⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，AB=8，∴AC=AB=4．
设⊙O的半径为r，则OC=r－2，
在Rt△AOC中，∵AC=4，OC=r－2，
∴OA2=AC2+OC2，即r2=42+（r﹣2）2，解得r=5．
∴AE=2r=10．
连接BE，
∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°．
在Rt△ABE中，∵AE=10，AB=8，∴．
在Rt△BCE中，∵BE=6，BC=4，∴．故选D．
3.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
【答案】B
【详解】
如图：
EF的中点M，作MN⊥AD于点M，取MN上的球心O，连接OF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠C=∠D=90°，
∴四边形CDMN是矩形，
∴MN=CD=4，
设OF=x，则ON=OF，
∴OM=MN-ON=4-x，MF=2，
在直角三角形OMF中，OM2+MF2=OF2，
即：（4-x）2+22=x2，
解得：x=2.5，
故选B．
4.如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是（ ）
A．9.6 B． C． D．19
【答案】A
【详解】解：连接OC
∵AB⊥CD, OE⊥AC∴ AE=EC，CF=FD
∵OE=3，OB=5∴OB=OC=OA=5
∴在Rt△OAE中∴AE=EC=4
设OF=x，则有即解得x=1.4
在Rt△OFC中，∴故选：A
5.如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（ ）
A．48 B．45 C．42 D．40
【答案】A
【详解】解：过A点作AH⊥BD于H，连接OM，如图，
在Rt△ABD中，BD75，
∵AH×BDAD×AB，∴AH36，
∵⊙O的半径为26，∴点O在AH上时，OH最短，
∵HM，∴此时HM有最大值，最大值为24，
∵OH⊥MN，∴MN＝2MH，∴MN的最大值为2×24＝48．
故选：A．
6.如图平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为4，过点O做OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ．
【解析】连接OB，如图，∵OC⊥AB，∴AC＝BCAB＝2，
在Rt△OBC中，OC11，
当OC经过点D时，点D到AB的距离的最小，
∵OD5，∴点D到AB的距离的最小值为11﹣5＝6．
故答案为6．
7.如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，5为半径作⊙O分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE．
（1）求证：AP＝AO；（2）若弦AB＝8，求OP的长．
【解答】（1）证明：∵PG平分∠EPF，∴∠DPO＝∠APO，
∵OA∥PE，∴∠DPO＝∠AOP，∴∠APO＝∠AOP，∴AP＝AO；
（2）解：过O点作OH⊥AB于H，如图，则AH＝BHAB＝4，
在Rt△AOH中，∵OA＝5，AH＝4，∴OH3，
∵AP＝AO＝5，∴PH＝PA+AH＝9，在Rt△POH中，OP3．
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24.1.2 垂直于弦的直径
【知识梳理】
垂径定理
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．
推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；
常见辅助线做法（考点）：
过圆心，作垂线，连半径，造，用勾股，求长度；
2）有弧中点，连中点和圆心，得垂直平分．
【基础训练】
1.P为⊙O内一点，，⊙O半径为5，则经过P点的最短弦长为（ ）
A．5 B．6 C．8 D．10
2．如图，在⊙O中，若点C是 的中点，∠A=50°，则∠BOC=（ ）
A．40° B．45° C．50° D．60°
3.如图，⊙O的直径CD＝20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足为M，OM：OD＝3：5，则AB的长为（ ）
A．8 B．12 C．16 D．2
4．一块圆形宣传标志牌如图所示，点，，在上，垂直平分于点，现测得，，则圆形标志牌的半径为（ ）
A． B． C． D．
5.如图，在⊙O中，半径OC与弦AB垂直于点D，且AB＝8，OC＝5，则CD的长是（ ）
A．3 B．2.5 C．2 D．1
6.往直径为的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水面宽，则水的最大深度为（ ）
A． B． C． D．
7.如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点,D是AB的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（ ）
A． B． C． D．
8.如图，DC是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点F，连接BC，BD，则错误结论为（ ）
A．OF=CF B．AF=BF C． D．∠DBC=90°
9.如图，已知⊙O的半径为10，弦AB=12，M是AB上任意一点，则线段OM的长可能是（ ）
A．5 B．7 C．9 D．11
10.如图，在⊙O中，弦的长为4，圆心到弦的距离为2，则的度数为______．
11.如图是一种机械传动装置示意图，⊙O的半径为50cm，点A固定在⊙O上，连杆AP定长，点P随着⊙O的转动在射线OP上运动．在一个停止状态时，AP与⊙O交于点B，测得AB＝60cm，PB＝70cm，此时OP长为__________________．
12.已知在以点O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB交小圆于点C，D（如图）．
（1）求证：AC=BD；
（2）若大圆的半径R=10，小圆的半径r=8，且圆O到直线AB的距离为6，求AC的长．
【能力提升】
1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，连接AC，若∠CAB=22.5°，CD=8cm，则⊙O的半径为（ ）
A．8cm B．4cm C．4cm D．5cm
2.如图，⊙O的半径OD⊥弦AB于点C，连结AO并延长交⊙O于点E，连结EC．若AB=8，CD=2，则EC的长为（）
A． B．8 C． D．
3.把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，则球的半径长是（ ）
A．2 B．2.5 C．3 D．4
4.如图，AB为⊙O的直径，弦于点F，于点E，若，，则CD的长度是（ ）
A．9.6 B． C． D．19
5.如图，矩形ABCD中，AB＝60，AD＝45，P，Q分别是AB，AD边上的动点，PQ＝52，以PQ为直径的⊙O与BD交于点M，N，则MN的最大值为（ ）
A．48 B．45 C．42 D．40
6.如图平面直角坐标系中，⊙O的半径为5，弦AB的长为4，过点O做OC⊥AB于点C，⊙O内一点D的坐标为（﹣4，3），当弦AB绕点O顺时针旋转时，点D到AB的距离的最小值是 ．
7.如图，射线PG平分∠EPF，O为射线PG上一点，以O为圆心，5为半径作⊙O分别与∠EPF的两边相交于A、B和C、D，连接OA，且OA∥PE．
（1）求证：AP＝AO；（2）若弦AB＝8，求OP的长．
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