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24.1.3 弧、弦、圆心角
【知识梳理】
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等
【基础训练】
1.下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
3.已知，如图，，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．都是等边三角形
4.在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5.如图，AB 是圆O的直径，BC，CD，DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于 （ ）
A．100° B．110° C．120° D．135°
6.如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，且∠AOC＝50°，过A作AE∥CD交⊙O于E，则∠AOE的度数为( )
A．65° B．70° C．75° D．80°
7.如图，在⊙O中，，∠AOD=150°，∠BOC=80°，则∠AOB的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
8.如图，是的直径，，， 则的度数是（ ）．
A．52° B．57° C．66° D．78°
9．如图，将命题“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（ ）
A．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD，弧AB=弧CD．求证：AB=CD
B．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD，弧AB=弧BC．求证：AD=BC
C．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD．求证：弧AD=弧BC，AD=BC
D．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD．求证：弧AB=弧CD，AB=CD
10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为____________．
11.如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC．求证：AE=CE．
【能力提升】
1.如图，AB是⊙O的直径，，，则＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．以上都不正确
2.如图，以O为圆心的，C、D三等分，连MN、CD，下列结论错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20° C．MN∥CD D．MN＝3CD
3.如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点B'是点B关于MN的对称点，⊙O的半径为1，则AB'的长等于（ ）
A．1 B． C． D．2
4.如图，圆心角∠AOB＝20°，将 旋转n°得到，则的度数是______度．
5.如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，则∠EOB的度数为 ．
6.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN＝∠CNM，AB＝6，则CD＝ ．
7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
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24.1.3 弧、弦、圆心角
【知识梳理】
圆心角概念：顶点在圆心的角叫做圆心角．
定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等
【基础训练】
1.下列图形中的角是圆心角的是（ ）
A． B． C． D．
【解析】因为顶点在圆心的角为圆心角，所以A选项正确．
故选：A．
2．下列说法中，正确的是（ ）
A．等弦所对的弧相等 B．在同圆或等圆中，相等的弧所对的弦相等
C．圆心角相等，所对的弦相等 D．弦相等所对的圆心角相等
【答案】B
【详解】
A、等弦所对应的弧可以相等也可以互补构成新圆，故此选项不符合题意；
B、在同圆或等圆中，等弧所对应的弦相等，故此选项正确；
C、同圆或等圆中，圆心角相等所对应的弦相等，故此选项不符合题意；
D、同圆或等圆中，弦相等，所对的圆心角相等或互补，如果不等的圆，那么弦相等不一定能确定所对圆心角的大小，故此选项不符合题意；
故选B
3.已知，如图，，下列结论不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．都是等边三角形
【答案】D
【详解】解：
，．
成立，D不成立．
故选：D．
4.在中，AB，CD为两条弦，下列说法：①若，则；②若，则；③若，则弧AB=2弧CD；④若，则.其中正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】A
【解析】①若，则，正确；②若，则，故不正确；
③由不能得到弧AB=2弧CD，故不正确；④若，则，错误.
故选A.
5.如图，AB 是圆O的直径，BC，CD，DA是圆O的弦，且BC=CD=DA，则∠BCD等于 （ ）
A．100° B．110° C．120° D．135°
【答案】C
【详解】
解：连接OC、OD，
∵BC=CD=DA，
∴∠COB=∠COD=∠DOA，
∵∠COB+∠COD+∠DOA=180°，
∴∠COB=∠COD=∠DOA=60°，
，
故选：C．
6.如图，已知AB、CD是⊙O的两条直径，且∠AOC＝50°，过A作AE∥CD交⊙O于E，则∠AOE的度数为( )
A．65° B．70° C．75° D．80°
【答案】D
【详解】∵AE∥CD，
∴
∴∠AOC＝∠DOE，
∵∠AOC＝50°，
∴∠DOE＝50°，
∴∠AOE＝180°﹣∠AOC﹣∠DOE＝180°﹣50°﹣50°＝80°．
故选D．
7.如图，在⊙O中，，∠AOD=150°，∠BOC=80°，则∠AOB的度数是（ ）
A．20° B．25° C．30° D．35°
【答案】D
【详解】，
，
，
．
∵∠AOD=150°，∠BOC=80°，
，
故选：D．
8.如图，是的直径，，， 则的度数是（ ）．
A．52° B．57° C．66° D．78°
【答案】C
【详解】
∵AB是⊙O的直径，，∠COD=38°，
∴∠BOC=∠COD=∠DOE=38°．
∴∠BOE=114°，
∴∠AOE=180°-114°=66°．
故选：C．
9．如图，将命题“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”改写成“已知……求证……”的形式，下列正确的是（ ）
A．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD，弧AB=弧CD．求证：AB=CD
B．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD，弧AB=弧BC．求证：AD=BC
C．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD．求证：弧AD=弧BC，AD=BC
D．已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD．求证：弧AB=弧CD，AB=CD
【答案】D
【详解】
解：“在同圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等”，改写成：已知：在⊙O中，∠AOB=∠COD.求证：弧AB=弧CD，AB=CD
故选：D
10.如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝25°，以点C为圆心，BC为半径的圆交AB于点D，交AC于点E，则的度数为____________．
【答案】50°
【解析】连接CD，
∵∠A=25°，
∴∠B=65°，
∵CB=CD，
∴∠B=∠CDB=65°，
∴∠BCD=50°，
∴的度数为50°
11.如图，⊙O中，弦AB与CD相交于点E，AB=CD，连接AD、BC．求证：AE=CE．
【答案】证明见解析．
【解析】解:证明：∵AB=CD，∴，
即，∴，∴AD=BC，
又∵∠ADE=∠CBE，∠A=∠C，
在△ADE和△CBE中，，∴△ADE≌△CBE（ASA），∴AE=CE．
【能力提升】
1.如图，AB是⊙O的直径，，，则＝（ ）
A．30° B．45° C．60° D．以上都不正确
【答案】C
【详解】
解：∵，
∴，
∴，
故选：C．
2.如图，以O为圆心的，C、D三等分，连MN、CD，下列结论错误的是（ ）
A．∠COM＝∠COD B．若OM＝MN，则∠AOB＝20° C．MN∥CD D．MN＝3CD
【解析】连接ON、MC、DN，过点O作OE⊥CD交于点E，
∵，∴∠COM＝∠COD，A选项结论正确，不符合题意；
∵OM＝MN，OM＝ON，∴OM＝ON＝MN，
∴△OMN为等边三角形，∴∠MON＝60°，
∵，∴∠AOB＝20°，B选项结论正确，不符合题意；
∵OE⊥CD，∴，∴，∴OE⊥MN，
∴MN∥CD，C选项结论正确，不符合题意；
∵MC+CD+DN＞MN，∴MN＜3CD，D选项结论错误，符合题意；
故选：D．
3.如图，MN是⊙O的直径，点A是半圆上一个三等分点，点B是的中点，点B'是点B关于MN的对称点，⊙O的半径为1，则AB'的长等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【解析】连接OB、OB′，∵点A是半圆上一个三等分点，∴∠AON＝60°，
∵点B是的中点，∴∠BON＝30°，
∵点B'是点B关于MN的对称点，∴∠B′ON＝30°，
∴∠AOB′＝90°，∴AB′，故选：B．
4.如图，圆心角∠AOB＝20°，将 旋转n°得到，则的度数是______度．
【答案】20
【详解】解：
∵将旋转n°得到,
∴
∴∠DOC=∠AOB=20°，
∴的度数为20度．
故答案为20．
5.如图，AB为⊙O的直径，C是BA延长线上一点，点D在⊙O上，且CD＝OA，CD的延长线交⊙O于点E，若∠C＝23°，则∠EOB的度数为 ．
【解析】∵CD＝OA，OA＝OD，∴CD＝OD，
∵∠C＝23°，∴∠DOC＝∠C＝23°，∴∠EDO＝∠C+∠DOC＝46°，
∵OD＝OE，∴∠E＝∠EDO＝46°，∴∠DOE＝180°﹣∠E﹣∠EDO＝88°，
∵∠DOC＝23°，∴∠EOB＝180°﹣∠DOC﹣∠DOE＝180°﹣23°﹣88°＝69°，
故答案为：69°．
6.如图，AB，CD是⊙O的两条弦，M，N分别为AB，CD的中点，且∠AMN＝∠CNM，AB＝6，则CD＝ ．
【解析】连接OM，ON，OA，OC，∵M、N分别为AB、CD的中点，
∴OM⊥AB，ON⊥CD，∴AMAB，CNCD，
∵∠AMN＝∠CNM，∴∠NMO＝∠MNO，即OM＝ON，
在Rt△AOM与Rt△CON中，，∴Rt△AOM≌Rt△CON（HL），
∴AM＝CN，∴AB＝CD＝6．故答案是：6．
7.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，以点A为圆心，AC长为半径作圆，交BC于点D，交AB于点E，连接DE．（1）若∠ABC＝20°，求∠DEA的度数；
（2）若AC＝3，AB＝4，求CD的长．
【解析】（1）如图，连接AD．
∵∠BAC＝90°，∠ABC＝20°，∴∠ACD＝70°．
∵AC＝AD，∴∠ACD＝∠ADC＝70°，
∴∠CAD＝180°﹣70°﹣70°＝40°，∴∠DAE＝90°﹣40°＝50°．
又∵AD＝AE，∴．
（2）如图，过点A作AF⊥CD，垂足为F．
∵∠BAC＝90°，AC＝3，AB＝4，∴BC＝5．
又∵ AF BC AC AB，∴，∴．
∵AC＝AD，AF⊥CD，∴．
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