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24.1.1 圆
【知识梳理】
圆的概念：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：圆心；半径(其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小)．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
【基础训练】
1．下列说法错误的是（ ）．
A．圆有无数条对称轴 B．在同一个圆内，直径的长度是半径长度的2倍
C．圆的位置由圆心决定 D．在圆中，连接圆心和圆上任意一点的线段都相等
2.如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦．
A．2 B．3 C．4 D．5
3.、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4.如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
5.如图，点C、D在圆O上，AB是直径，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD=（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
6.下列4个说法中：①直径是弦；②弦是直径；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④弧是半圆； 正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7.如图，的半径为，，则经过点的弦长可能是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．12
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
9．如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
10.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是__．
11.已知⊙O的半径为3cm，A为⊙O上一定点，P在⊙O上沿圆周运动（不与A重合），则弦AP的长度为整数的值有 个，这样的弦共有 条．
12.如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆心角的度数是__________．
13.已知：如图，在中，是直径，为不是直径的弦，求证：是中最长的弦．
14.如图，在中，，的中点．（1）求证：三点在以为圆心的圆上；（2）若，求证：四点在以为圆心的圆上．
【能力提升】
1.如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若的度数是，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
2.如图是的直径，点是上一点，，则的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
3.如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
4.如图，CD是的直径，E为上一点，，A为DC延长线上一点，AE交于点B，且，则的度数为__________．
5.如图，点、、在上，，，则的度数为______．
6.如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________．
7.已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
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24.1.1 圆
【知识梳理】
圆的概念：在一个平面内，线段绕它固定的一个端点旋转一周，另一个端点所形成的图形叫圆．这个固定的端点叫做圆心，线段叫做半径．以点为圆心的圆记作⊙O，读作圆O．
特点：圆是在一个平面内，所有到一个定点的距离等于定长的点组成的图形．
确定圆的条件：圆心；半径(其中圆心确定圆的位置，半径长确定圆的大小)．
补充知识：
1）圆心相同且半径相等的圆叫做同圆；
2）圆心相同，半径不相等的两个圆叫做同心圆；
3）半径相等的圆叫做等圆．
弦的概念：连结圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径，并且直径是同一圆中最长的弦．
弧的概念：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．以为端点的弧记作，读作弧AB．在同圆或等圆中，能够重合的弧叫做等弧．
圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆．
在一个圆中大于半圆的弧叫做优弧，
小于半圆的弧叫做劣弧．
弦心距概念：从圆心到弦的距离叫做弦心距．
【基础训练】
1．下列说法错误的是（ ）．
A．圆有无数条对称轴 B．在同一个圆内，直径的长度是半径长度的2倍
C．圆的位置由圆心决定 D．在圆中，连接圆心和圆上任意一点的线段都相等
【答案】D
【详解】A选项：圆直径所在的直线均为圆的对称轴，有无数条，故A正确．
B选项：在同一个圆内，直径长度为长度半径的2倍，故B正确．
C选项：圆的位置由圆心决定，大小由半径决定，故C正确．
D选项：连接圆心和圆上任一点得半径，而半径的长度均相等，而不是线段相等，故D错误．
故选D．
2.如图，在中，点B、O、C和点A、O、D分别在同一条直线上，则图中有（ ）条弦．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【详解】解：图中的弦有AE、AD、CD这3条故选B
3.、是半径为的上两个不同的点，则弦的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】
∵圆中最长的弦为直径，
∴．
∴故选D．
4.如图所示，MN为⊙O的弦，∠N＝50°，则∠MON的度数为（ ）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【解析】∵OM＝ON，∴∠M＝∠N＝50°，
∴∠MON＝180°﹣2×50°＝80°．
故选：C．
5.如图，点C、D在圆O上，AB是直径，∠BOC=110°，AD∥OC，则∠AOD=（ ）
A．70° B．60° C．50° D．40°
【答案】D
【详解】
∵∠BOC＝110°，∠BOC＋∠AOC＝180°
∴∠AOC＝70°
∵AD∥OC，OD＝OA
∴∠D＝∠A＝70°
∴∠AOD＝180° 2∠A＝40°
故选：D．
6.下列4个说法中：①直径是弦；②弦是直径；③任何一条直径所在的直线都是圆的对称轴；④弧是半圆； 正确的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【详解】
解：①直径是最长的弦，故正确；
②最长的弦才是直径，故错误；
③过圆心的任一直线都是圆的对称轴，故正确；
④半圆是弧，但弧不一定是半圆，故错误，
正确的有两个，
故选B．
7.如图，的半径为，，则经过点的弦长可能是（ ）
A．3 B．5 C．9 D．12
【答案】C
【详解】
当经过点O、P的弦是直径时，弦最长为10；
当弦与OP垂直时，根据垂径定理，得
半弦长= =4，
所以最短弦为8；
所以符合题意的弦长为8到10，
故选C.
8.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=40°，以C为圆心，CB为半径的圆交AB于点D，连接CD，则∠ACD=（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
【答案】A
【详解】
∵∠A=40°，
∴∠B=90°-40°=50°.
∵CB=CD,
∴∠BCD＝180°-50°×2=80°，
∴∠ACD=90°-80°=10°
故选A
9．如图，一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，点对应，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：连接OC、OD，如图，
∵一块直角三角板的斜边与量角器的直径重合，
∵，，是等边三角形，∴，∴是等腰三角形；
∵是等边三角形的外角，，∴，
∴，∴．故选：B．
10.如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，CD⊥AB，垂足为D，已知CD=4，OD=3，求AB的长是__．=
【答案】10
【详解】
连接OC，在Rt△OCD中，CD＝4，OD＝3，根据勾股定理可得OC=5，所以直径AB=2OC=10.
11.已知⊙O的半径为3cm，A为⊙O上一定点，P在⊙O上沿圆周运动（不与A重合），则弦AP的长度为整数的值有 个，这样的弦共有 条．
【解析】∵⊙O的半径为3cm，∴直径AB＝6cm，
∴弦长的整数值有1，2，3，4，5，6六种可能，这样的弦共有11条，
故答案为6，11．
12.如图，⊙O的半径是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，则弦AB所对的圆心角的度数是__________．
【答案】
【详解】解：作OD⊥AB，∵P是弦AB上的动点，且1≤OP≤2，∴OD=1，
∵⊙O的半径是2，∴，∵OA=OB，∴，
∴弦AB所对的圆心角，故答案为： ．
13.已知：如图，在中，是直径，为不是直径的弦，求证：是中最长的弦．
【答案】见解析
【详解】
证明：如图，连接，，
、、、是圆的半径，
．
是圆的直径，
．
、、是三角形的三边，
．
即．
是中最长的弦．
14.如图，在中，，的中点．（1）求证：三点在以为圆心的圆上；（2）若，求证：四点在以为圆心的圆上．
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】（1）连结OC，在中，，的中点，
∴OC=OA=OB，∴三点在以为圆心的圆上；
（2）连结OD，∵，∴OA=OB=OC=OD，
∴四点在以为圆心的圆上.
【能力提升】
1.如图，已知是的直径，过点的弦平行于半径，若的度数是，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
解：∵OB∥DC，∴∠BOC=∠C=40°，
∵OA=OB，∴∠A=∠B，
又∠A+∠B=∠BOC=40°，∴∠B=∠BOC=20°，
故选A．
2.如图是的直径，点是上一点，，则的度数是（ ）
A．55° B．60° C．65° D．70°
【答案】D
【详解】
∵，OA=OC，
∴∠ACO=，
∴=，
故选：D．
3.如图，两个同心圆中有两条互相垂直的直径，其中大圆的半径是2，则图中阴影部分的面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
解：根据题意，大圆、小圆都被两条互相垂直的直径平均分成4份，由圆的旋转对称性，可得阴影部分的面积刚好拼成大圆的一半，阴影部分面积：π×22＝2π，
故选：B．
4.如图，CD是的直径，E为上一点，，A为DC延长线上一点，AE交于点B，且，则的度数为__________．
【答案】16°
【详解】
连接OB
设∠A=x，则∠AOB=x
即∠A的度数为16°
故答案为：16°．
5.如图，点、、在上，，，则的度数为______．
【答案】
【详解】
解：∵ ACOB，
∴∠ACO=∠COB．∠CAB=∠B，
∵，OA=OB，
∴∠BAO=∠B=20 ，
∴∠CAB=∠B=20 ，
∴∠CAO=∠BAO+∠CAB=20 +20 =40 ，
∵OA=OC，
∴∠CAO=∠C=40，
∴∠BOC=∠C=40 ，
故答案为：40 ．
6.如图，在等腰中，，点P在以斜边AB为直径的半圆上，M为PC的中点．当点P沿半圆从点A运动至点B时，点M运动的路径长是________．
【答案】
【详解】取AB中点O，连接OP，OC，取OC中点D，连接MD，
∵为等腰直角三角形，∴，
，，
由题意可知，点M的运动路径是以点D为圆心，以为半径的半圆，
点M的运动路径长，故答案为：．
7.已知：如图，圆O是△ABC的外接圆，AO平分∠BAC．
（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）当OA＝4，AB＝6，求边BC的长．
【答案】（1）见解析；（2）3
【解析】解：（1）连接OB、OC，∵OA＝OB＝OC，OA平分∠BAC，∴∠OBA＝∠OCA＝∠BAO＝∠CAO，
在△OAB和△OAC中， ，∴△OAB≌△OAC（AAS），
∴AB＝AC，即△ABC是等腰三角形；
（2）延长AO交BC于点H，∵AH平分∠BAC，AB＝AC，∴AH⊥BC，BH＝CH，
设OH＝b，BH＝CH＝a，∵BH2+OH2＝OB2， OA＝4，AB＝6，则 ①
BH2+AH2＝AB2，OA＝4，AB＝6，则 ②
②－①得： 把代入①得：（舍）
∴BC＝2a＝3．
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