中小学教育资源及组卷应用平台
24.2.1 点与圆的位置关系
【知识梳理】
知识点一 点和圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外 点在圆的外部 点在的外部.
点在圆上 点在圆周上 点在的圆周上.
点在圆内 点在圆的内部 点在的内部.
知识点二 三点定圆的方法
经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个．
经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个．
3）经过三点时：
情况一：过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；
情况二：若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
知识点三 三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
3）外接圆圆心和三角形位置关系：
1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；
2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；
3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
【基础训练】
1．下面有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆．其中错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【解析】解：①任意三点确定一个圆；错误，应该的不在同一直线上的三点可以确定一个圆；
②相等的圆心角所对的弧相等；错误，应该是在同圆或等圆中；
③平分弦的直径垂直于弦；并且平分弦所对的弧，错误，此弦不是直径；
④三角形的外心到它的三顶点的距离相等，此选项正确；
⑤任意一个三角形一定有一个外接圆，并且只有一个外接圆，故正确.
故答案选C
2.已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则可以得到的正确图形可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【详解】解：∵⊙O的半径OA长1，若OB＝，
∴OA＜OB，
∴点B在圆外，
故选：D．
3.在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A．0＜r＜3 B．r＞4 C．0＜r＜5 D．r＞5
【答案】D
【详解】∵点P的坐标为（3，4），∴OP5．
∵点P（3，4）在⊙O内，∴OP＜r，即r＞5．
故选D．
4.若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的外接圆的半径是（ ）
A．1 B．2.4 C．2.5 D．5
【答案】C
【详解】∵
∴三角形为直角三角形，其外接圆直径为5，故其半径为2.5
故选：C
5.需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）
A．AB，AC边上的中线的交点 B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点 D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
【答案】B
【解析】本题实质上是要确定三角形外接圆的圆心，三角形外接圆的圆心是三边垂直平分线的交点，故选B．
6.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心（ ）．
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD．
故选：D．
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】外心在BC的垂直平分线上，则外心纵坐标为-1.
故选C.
8.数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a，半径为4．若点A在内，则（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】B
【详解】解：∵点A在内，
∴AB=∣a﹣6∣＜4，即﹣4＜a﹣6＜4，
解得：2＜a＜10，
故选：B．
9.在Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为_____．
【答案】5
【详解】由勾股定理得：AB＝＝10，
∵∠ACB＝90°，
∴AB是⊙O的直径，
∴这个三角形的外接圆直径是10；
∴这个三角形的外接圆半径长为5，
故答案为5．
10.一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是______．
【答案】6.5cm或2.5cm
【详解】试题解析：点P应分为位于圆的内部与外部两种情况讨论：
①当点P在圆内时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是4+9=13cm，因而半径是6.5cm；
②当点P在圆外时，最近点的距离为4cm，最远点的距离为9cm，则直径是9 4=5cm，因而半径是2.5cm.
故答案为6.5cm或2.5cm.
11.在△ABC中，已知AB＝AC＝4cm，BC＝6cm，P是BC的中点，以点P为圆心，3cm为半径画⊙P，则点A与⊙P的位置关系是 点A在⊙P内 ．
【详解】解：如图，连接AP，∵AB＝AC＝4cm，BC＝6cm，P是BC的中点，
∴BP＝CP＝3cm，AP⊥BC，∴∠APB＝90°，
∴在Rt△APB中，由勾股定理得：AP（cm），
∵3，∴点A在⊙P内．故答案为：点A在⊙P内．
12.如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为
【答案】
【解析】，AD是的平分线
，且AD是BC边上的中线（等腰三角形的三线合一）是BC的垂直平分线
是AC的垂直平分线点O为外接圆的圆心，OA为外接圆的半径
外接圆的面积为．
13.如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 ；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
【答案】（1）见解析；（2）（2，0）；（3）点D在⊙M内；
【详解】解：（1）如图1，点M就是要找的圆心；
（2）圆心M的坐标为（2，0）．故答案为（2，0）；
（3）圆的半径AM==．
线段MD==＜，所以点D在⊙M内．
【能力提升】
1.如图，在等边三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，点P，Q，M是AB与格线的交点，则△ABC的外心是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
【答案】B
【详解】由题意可知，∠BCN=60°，∠ACN=30°，
∴∠ACB=∠ACN+∠BCN=90°，
∴△ABC是直角三角形，
∴△ABC的外心是斜边AB的中点，
∵点Q是AB中点，
∴△ABC的外心是点Q，
故选B．
2.如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
【答案】D
【详解】解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝70°，
∴∠A＝180° 70°×2＝40°，
∵点O是△ABC的外心，
∴∠BOC＝40°×2＝80°，
故选：D．
3.如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线
【答案】B
【解析】解：连接OB，OC，令M为OP中点，连接MA，MB，
∵B，C为切点，∴∠OBP=∠OAP=90°，∵OA=OB，OP=OP，∴Rt△OPB≌Rt△OPA，
∴BP=AP，∠OPB=∠OPA，∠BOC=∠AOC，∴为等腰三角形，故A正确；
∵△OBP与△OAP为直角三角形，OP为斜边，∴PM=OM=BM=AM
∴点A、B都在以为直径的圆上，故C正确；
∵∠BOC=∠AOC，OB=OA，OC=OC，∴△OBC≌△OAC，∴∠OCB=∠OCA=90°，∴PC⊥AB，
∵△BPA为等腰三角形，∴为的边上的中线，故D正确；
无法证明与相互垂直平分，
故选：B．
4.如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是_____．
【答案】
【解析】
如图，
根据三角形的外心是它的三边垂直平分线的交点．结合图形发现其外心的位置，再根据勾股定理得外接圆的半径==．
故答案为.
5.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A、B、C三点都在圆外，则x的取值范围是______．
【答案】0＜x＜3
【详解】解：在直角△ABD中，CD=AB=4，AD=3，
则BD= =5．
∵点A、B、C三点都在圆外，
∴0＜x＜3．
故答案为0＜x＜3.
6.联想三角形外心的概念，我们可定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．例：如图，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，则PA=_____．
【答案】或2
【解析】解：在直角三角形ABC中，斜边BC=5，AB=3，根据勾股定理，可得：，且准外心P在AC上，即PA=PC或PB=PC，
①当PA=PC时，设PA=x，则PC=AC-PA=4-x，即x=4-x，解得：x=2；
②当PB=PC，设PA=x，则PC=AC-PA=4-x，且ABP也是直角三角形，故，即，解得：；
故答案为：或2．
7.如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．
【详解】解（1）连接OA并延长AO交BC于E，∵AB＝AC，∴弧AB＝弧AC，
∵AE过圆心O，∴AE垂直平分BC（平分弧的直径垂直平分弧所对的弦），
∴AE平分∠BAC，∴∠BAC＝2∠BAE，∵OA＝OB，∴∠ABD＝∠BAE，∴∠BAC＝2∠ABD；
（2）设∠ABD＝x，由（1）知∠BAC＝2∠ABD＝2x，∴∠BDC＝3x，△BCD是等腰三角形，
①若BD＝BC，则∠C＝∠BDC＝3x，
∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝3x，在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴3x+3x+2x＝180°，解得x＝22.5°，∴∠BCD＝3x＝67.5°，
②若BC＝CD，则∠BDC＝∠CBD＝3x，∴∠ABC＝∠ACB＝4x，
在△ABC中，∠ABC+∠C+∠BAC＝180°，
∴4x+4x+2x＝180°，∴x＝18°，∴∠BCD＝4x＝72°，
综上所述，△BCD是等腰三角形，∠BCD为67.5°或72°．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
24.2.1 点与圆的位置关系
【知识梳理】
知识点一 点和圆的位置关系
位置关系 图形 定义 性质及判定
点在圆外 点在圆的外部 点在的外部.
点在圆上 点在圆周上 点在的圆周上.
点在圆内 点在圆的内部 点在的内部.
知识点二 三点定圆的方法
经过点的圆：以点以外的任意一点为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆有无数个．
经过两点的圆：以线段中垂线上任意一点作为圆心，以的长为半径，即可作出过点的圆，这样的圆也有无数个．
3）经过三点时：
情况一：过三点的圆：若这三点共线时，过三点的圆不存在；
情况二：若三点不共线时，圆心是线段与的中垂线的交点，而这个交点是唯一存在的，这样的圆有唯一一个．
三点定圆的画法：
1）连接线段AB,BC。
2）分别作线段AB,BC的垂直平分线。两条垂直平分线交点为O，此时OA=OB=OC,于是点O为圆心，以OA为半径，便可作出经过A、B、C的圆，这样的圆只能是一个。
定理：不在同一直线上的三点确定一个圆．
知识点三 三角形的外接圆
1）经过三角形三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心，这个三角形叫做这个圆的内接三角形．
2）三角形外心的性质：
①三角形的外心是指外接圆的圆心，它是三角形三边垂直平分线的交点，它到三角形各顶点的距离相等；
②三角形的外接圆有且只有一个，即对于给定的三角形，其外心是唯一的，但一个圆的内接三角形却有无数个，这些三角形的外心重合.
3）外接圆圆心和三角形位置关系：
1.锐角三角形外接圆的圆心在它的内部（如图1）；
2.直角三角形外接圆的圆心在斜边中点处（即直角三角形外接圆半径等于斜边的一半，如图2）；
3.钝角三角形外接圆的圆心在它的外部（如图3）.
【基础训练】
1．下面有关圆的一些结论：①任意三点确定一个圆；②相等的圆心角所对的弧相等；③平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；④三角形的外心到三角形三个顶点的距离都相等；⑤任意一个三角形一定有一个外接圆,并且只有一个外接圆．其中错误的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.已知⊙O的半径OA长为1，OB＝，则可以得到的正确图形可能是（ ）
A．B．C．D．
3.在平面直角坐标系xOy中，若点P（3，4）在⊙O内，则⊙O的半径r的取值范围是（ ）
A．0＜r＜3 B．r＞4 C．0＜r＜5 D．r＞5
4.若一个三角形的三边长分别为3，4，5，则这个三角形的外接圆的半径是（ ）
A．1 B．2.4 C．2.5 D．5
5.需要配制一块同样大小的玻璃镜，工人师傅在一块如图所示的玻璃镜残片的边缘描出了点A，B，C，给出三角形ABC，则这块玻璃镜的圆心是（ ）
A．AB，AC边上的中线的交点 B．AB，AC边上的垂直平分线的交点
C．AB，AC边上的高所在直线的交点 D．∠BAC与∠ABC的角平分线的交点
6.10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心（ ）．
A． B． C． D．
7.如图，在平面直角坐标系xOy中，点A为（0，3），点B为（2，1），点C为（2，-3）．则经画图操作可知：△ABC的外心坐标应是（ ）
A． B． C． D．
8.数轴上有两个点A和B，点B表示实数6，点A表示实数a，半径为4．若点A在内，则（ ）
A．或 B． C． D．
9.在Rt△ABC中，两直角边的长分别为6和8，则这个三角形的外接圆半径长为_____．
10.一点和⊙O上的最近点距离为4cm，最远距离为9cm，则这个圆的半径是______．
11.在△ABC中，已知AB＝AC＝4cm，BC＝6cm，P是BC的中点，以点P为圆心，3cm为半径画⊙P，则点A与⊙P的位置关系是 ．
12.如图，中，AB=AC，AD是∠BAC的平分线，EF是AC的垂直平分线，交AD于点O.若OA =3，则外接圆的面积为
13.如图，在平面直角坐标系中，A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）在图中画出经过A、B、C三点的圆弧所在圆的圆心M的位置；
（2）点M的坐标为 ；
（3）判断点D（5，﹣2）与⊙M的位置关系．
【能力提升】
1.如图，在等边三角形网格中，△ABC的顶点都在格点上，点P，Q，M是AB与格线的交点，则△ABC的外心是（ ）
A．点P B．点Q C．点M D．点N
2.如图，△ABC中，AB=AC，∠ABC=70°，点O是△ABC的外心，则∠BOC的度数为（ ）
A．40° B．60° C．70° D．80°
3.如图，、为⊙O的切线，切点分别为A、B，交于点C，的延长线交⊙O于点D．下列结论不一定成立的是（ ）
A．为等腰三角形 B．与相互垂直平分
C．点A、B都在以为直径的圆上 D．为的边上的中线
4.如图，网格的小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫做格点．△ABC的三个顶点都在格点上，那么△ABC的外接圆半径是_____．
5.如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以顶点D为圆心作半径为x的圆，使点A、B、C三点都在圆外，则x的取值范围是______．
6.联想三角形外心的概念，我们可定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．例：如图，若PA=PB，则点P为△ABC的准外心．已知△ABC为直角三角形，斜边BC=5，AB=3，准外心P在AC边上，则PA=_____．
7.如图，△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，BO的延长交边AC于点D．
（1）求证：∠BAC＝2∠ABD；（2）当△BCD是等腰三角形时，求∠BCD的大小．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
