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24.2.3 圆与圆的位置关系
【知识梳理】
圆和圆的位置关系（基础）
设的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
外离 两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部． 两圆外离
外切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部． 两圆外切
相交 两个圆有两个公共点． 两圆相交
内切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部． 两圆内切
内含 两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例． 两圆内含
【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
【基础训练】
1．已知点，，如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，那么⊙A与⊙B的位置关系（ ）
A．内切 B．外切 C．内含 D．外离
【答案】A
【详解】解：∵点A（4，0），B，0，3），
∴AB= =5，
∵⊙A与⊙B的半径分别为：2与7，
∴半径差为：7-2=5，
∴这两圆的位置关系是：内切．
故选：A．
2.已知⊙O和⊙O＇的半径分别为5 cm和7 cm，且⊙O和⊙O＇相切，则圆心距OO＇为（ ）
A．2 cm B．7 cm C．12 cm D．2 cm或12 cm
【答案】D
【解析】解：当⊙O和⊙O'相外切时，OO'=5+7=12cm；
当⊙O和⊙O'相内切时，OO'=7－5=2cm．故选：D．
3．已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（ ）．
A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交
B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切
C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交
D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切
【答案】A
【详解】∵⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，
∴AB＝5＝2+3，AC＝6＝2+4，BC＝6＜3+4
根据圆与圆之间的位置关系可知：⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交．
故选：A．
4.已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（ ）
A．r≥1 B．r≤5 C．1＜r＜5 D．1≤r≤5
【答案】D
【详解】解：如图，当⊙B在⊙O内部且有唯一公共点时，⊙B的半径为：3-2=1，
当⊙O在⊙B内部且有唯一公共点时，⊙B的半径为3+2＝5，
∴如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是1≤r≤5，
故答案为：D．
5.对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
【答案】A
【详解】
解：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，是真命题；
②如果第一个圆上的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，故原命题是假命题；故选：A．
6．如图，将两枚同样大小的硬币放在桌子上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了（ ）
A．1圈 B．1.5圈 C．2圈 D．2.5圈
【答案】C
【详解】解：设左面那个圆的水平直径的左右端点分别为A，B，则当它走到右侧的时候切点为A，自转一圈，回到初始位置自转2圈，
故选：C．
7．已知和的半径长分别是方程的两根，且，则和的位置关系为（ ）
A．相交 B．内切 C．内含 D．外切
【答案】A
【详解】解：解方程x2-6x+8=0得：
x1=2，x2=4，
∵O1O2=5，x2-x1=2，x2+x1=6，
∴x2-x1＜O1O2＜x2+x1．
∴⊙O1与⊙O2相交．
故选A．
8．如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为，半径为5.如果两圆内含，那么的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】根据两圆圆心坐标可知，圆心距=|a-0|=|a|，
因为两圆内含时，圆心距＜5-3，
即|a|＜2，解得-2＜a＜2．
故选B．
9．⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是______．
【答案】2≤r≤8
【详解】∵⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2
∴CA=8
∵⊙C与⊙O有公共点，即⊙C与⊙O相交
∴r=2或r=8或2即2≤r≤8
故答案为2≤r≤8.
10．两圆的半径分别是x2﹣5x＋6＝0的两根，圆心距是6，则这两圆的位置关系是_____．
【答案】外离
【详解】解：∵x2﹣5x＋6＝0，
∴（x﹣2）（x﹣3）＝0，
∴x＝2或x＝3，
∵R、r是方程x2﹣5x＋6＝0的两根，
∴R＝3，r＝2，
∵R＋r＝5，两圆的圆心距等于6，
∴两圆位置关系是外离．
故答案是：外离．
11．已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为___．
【答案】4．
【详解】
∵两圆外切，圆心距为7，若其中一个圆的半径为3
∴另一个圆的半径＝7﹣3＝4．故答案为4．
12．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB＝10，BC＝21，sinB＝．
（1）求AC的长；
（2）求⊙A、⊙B、⊙C半径．
【答案】（1）17；（2）rA＝3，rB＝7，rC＝14
【详解】
解：（1）如上图作AH⊥BC于H，
在中，∵AB＝10，＝，
∴AH＝8，BH＝6，
∵BC＝21，
∴CH＝15，
在中，AC＝＝＝17．
∴AC＝17
（2）如图设切点分别为D、E、F，AE＝AD＝x，BE＝BF＝y，CF＝CD＝z，
则有，解得
∴＝3，＝7，＝14．
【能力提升】
1．⊙O的半径为3cm，点M是⊙O外一点，OM=4cm，则以M为圆心且与⊙O相切的圆的半径一定是（ ）
A．1cm或7cm B．1cm C．7cm D．不确定
【答案】A
【详解】解：由以M为圆心且与⊙O相切，可得：⊙O与⊙M内切或外切，则有：
①当⊙O与⊙M内切时，
∵⊙O的半径为3cm，OM=4cm，
∴⊙M的半径为4+3=7cm；
②当⊙O与⊙M外切时，
∵⊙O的半径为3cm，OM=4cm，
∴⊙M的半径为4-3=1cm；
综上所述：当以M为圆心且与⊙O相切时，⊙M的半径为1cm或7cm；
故选A．
2．在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
【答案】C
【详解】根据题中条件，在Rt△AOB中，OA=4，OB=3，
∴AB=，
∵两圆半径为和，
∴圆心距＝+＝5，
∴两圆外切，有三条公切线．
故选C．
3．如图，两圆外切于P点，且通过P点的公切线为L，过P点作两直线，两直线与两圆的交点为A、B、C、D，其位置如图所示，若AP=10，CP=9，则下列角度关系何者正确？（ ）
A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB
【答案】D
【解析】详解：如图，
∵直线l是公切线
∴∠1=∠B，∠2=∠A，
∵∠1=∠2，
∴∠A=∠B，
∴AC∥BD，
∴∠C=∠D，
∵PA=10，PC=9，
∴PA＞PC，
∴∠C＞∠A，
∴∠D＞∠B．
故选：D．
4．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）
A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7
【答案】A
【详解】设⊙A与直线OP相切时切点为D，连接AD，
∴AD⊥OP，
∵∠O=30°，AD=2，
∴OA=4，
当⊙B与⊙A相内切时，设切点为C，如图1，
∵BC=3，
∴OB=OA+AB=4+3﹣2=5；
当⊙A与⊙B相外切时，设切点为E，如图2，
∴OB=OA+AB=4+2+3=9，
∴半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是：5＜OB＜9，
故选A．
5．已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
【答案】C
【详解】设⊙A的半径为X,⊙B的半径为Y,⊙C的半径为Z.
解得
故选C
6．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为m、n，且m、n满足，圆心距O1O2=，则两圆的位置关系为_______．
【答案】相交．
【解析】试题分析：∵⊙O1和⊙O2的半径分别为m、n，且m、n满足，∴m﹣1=0，n﹣2=0，解得：m=1，n=2，∴m+n=3，∵圆心距O1O2=，
∴两圆的位置关系为：相交．故答案为相交．
7．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O为原点建立平面直角坐标系，圆心为 A（3，0）的⊙A被y轴截得的弦长BC=8．
解答下列问题：
（1）求⊙A 的半径；
（2）请在图中将⊙A 先向上平移 6 个单位，再向左平移8个单位得到⊙D，并写出圆心D的坐标；
（3）观察你所画的图形，对⊙D 与⊙A 的位置关系作出合情的猜想，并直接写出你的结论．
【答案】（1）⊙A的半径是5；（2）图详见解析，圆心D的坐标是（﹣5，6）；（3）⊙D 与⊙A 的位置关系是外切．
【详解】（1）解：∵x轴⊥y轴，A在x轴上，
∴BO=CO=4，
连接AB，由勾股定理得：AB==5，
答：⊙A的半径是5．
（2）解：如图：
圆心D的坐标是（﹣5，6）．
（3）解：⊙D 与⊙A 的位置关系是外切．
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24.2.3 圆与圆的位置关系
【知识梳理】
圆和圆的位置关系（基础）
设的半径分别为（其中），两圆圆心距为，则两圆位置关系如下表：
位置关系 图形 定义 性质及判定
外离 两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部． 两圆外离
外切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，每个圆上的点都在另一个圆的外部． 两圆外切
相交 两个圆有两个公共点． 两圆相交
内切 两个圆有唯一公共点，并且除了这个公共点之外，一个圆上的点都在另一个圆的内部． 两圆内切
内含 两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例． 两圆内含
【说明】圆和圆的位置关系，又可分为三大类：相离、相切、相交，其中相离两圆没有公共点，它包括外离与内含两种情况；相切两圆只有一个公共点，它包括内切与外切两种情况．
【基础训练】
1．已知点，，如果⊙A的半径为2，⊙B的半径为7，那么⊙A与⊙B的位置关系（ ）
A．内切 B．外切 C．内含 D．外离
2.已知⊙O和⊙O＇的半径分别为5 cm和7 cm，且⊙O和⊙O＇相切，则圆心距OO＇为（ ）
A．2 cm B．7 cm C．12 cm D．2 cm或12 cm
3．已知⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为2、3、4，且AB＝5，AC＝6，BC＝6，那么这三个圆的位置关系（ ）．
A．⊙A与⊙B、⊙C外切，⊙B与⊙C相交
B．⊙A与⊙B、⊙C相交，⊙B与⊙C外切
C．⊙B与⊙A、⊙C外切，⊙A与⊙C相交
D．⊙B与⊙A、⊙C相交，⊙A与⊙C外切
4.已知⊙O的半径OA长为3，点B在线段OA上，且OB＝2，如果⊙B与⊙O有公共点，那么⊙B的半径r的取值范围是（ ）
A．r≥1 B．r≤5 C．1＜r＜5 D．1≤r≤5
5.对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（ ）
A．①是真命题，②是假命题 B．①是假命题，②是真命题
C．①、②都是真命题 D．①、②都是假命题
6．如图，将两枚同样大小的硬币放在桌子上，固定其中一枚，而另一枚则沿着其边缘滚动一周，这时滚动的硬币滚动了（ ）
A．1圈 B．1.5圈 C．2圈 D．2.5圈
7．已知和的半径长分别是方程的两根，且，则和的位置关系为（ ）
A．相交 B．内切 C．内含 D．外切
8．如图，小圆的圆心在原点，半径为3，大圆的圆心坐标为，半径为5.如果两圆内含，那么的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
9．⊙O的直径AB＝6，C在AB延长线上，BC＝2，若⊙C与⊙O有公共点，那么⊙C的半径r的取值范围是______．
10．两圆的半径分别是x2﹣5x＋6＝0的两根，圆心距是6，则这两圆的位置关系是_____．
11．已知两圆外切，圆心距为7，其中一个圆的半径为3，那么另一个圆的半径长为___．
12．如图，⊙A、⊙B、⊙C两两外切，AB＝10，BC＝21，sinB＝．
（1）求AC的长；
（2）求⊙A、⊙B、⊙C半径．
【能力提升】
1．⊙O的半径为3cm，点M是⊙O外一点，OM=4cm，则以M为圆心且与⊙O相切的圆的半径一定是（ ）
A．1cm或7cm B．1cm C．7cm D．不确定
2．在平面直角坐标系中如图所示，两个圆的圆心坐标分别是(3，0)和(0，-4)，半径分别是和，则这两个圆的公切线（和两圆都相切的直线）有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
3．如图，两圆外切于P点，且通过P点的公切线为L，过P点作两直线，两直线与两圆的交点为A、B、C、D，其位置如图所示，若AP=10，CP=9，则下列角度关系何者正确？（ ）
A．∠PBD＞∠PAC B．∠PBD＜∠PAC C．∠PBD＞∠PDB D．∠PBD＜∠PDB
4．如图，已知∠POQ=30°，点A、B在射线OQ上（点A在点O、B之间），半径长为2的⊙A与直线OP相切，半径长为3的⊙B与⊙A相交，那么OB的取值范围是（ ）
A．5＜OB＜9 B．4＜OB＜9 C．3＜OB＜7 D．2＜OB＜7
5．已知⊙A与⊙B外切，⊙C与⊙A、⊙B都内切，且AB＝5，AC＝6，BC＝7，那么⊙C的半径长是（ ）
A．11 B．10 C．9 D．8
6．已知⊙O1和⊙O2的半径分别为m、n，且m、n满足，圆心距O1O2=，则两圆的位置关系为_______．
7．如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为1个单位，以O为原点建立平面直角坐标系，圆心为 A（3，0）的⊙A被y轴截得的弦长BC=8．
解答下列问题：
（1）求⊙A 的半径；
（2）请在图中将⊙A 先向上平移 6 个单位，再向左平移8个单位得到⊙D，并写出圆心D的坐标；
（3）观察你所画的图形，对⊙D 与⊙A 的位置关系作出合情的猜想，并直接写出你的结论．
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