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24.3 正多边形和圆
【知识梳理】
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．
正多边形的相关概念：
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
半径、边心距，边长之间的关系：
画圆内接正多边形方法：
量角器
（作法操作复杂，但作图较准确）
量角器+圆规
（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）
圆规+直尺
（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）
【基础训练】
1．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】解：根据题意可得，这个多边形的边数为：360÷72=5，
∴这个多边形的内角和为：（5-2）×180°=540°．
故选：B．
2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
【答案】B
【详解】
∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，
∴∠ADC=180°﹣∠ABC=180°﹣70°=110°，
故选：B．
3.如图，是正五边形的外接圆，则的度数是( )
A．50° B．48° C．36° D．30°
【答案】C
【解析】∵在正五边形ABCDE中，AE=DE=CD=BC，∠E=∠C=∠EDC=108°，
∴∠EDA=∠BDC==36°，
∴∠ADB=∠EDC -∠EDA-∠BDC =108°-36°-36°=36°，
故选：C．
4.如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】∵为中点，
∴,
∴∠ADB=∠ABD，AB=AD，
∵，
∴∠CBD=∠ADB=∠ABD，
∵四边形内接于，
∴∠ABC+∠ADC=180°，
∴3∠ADB+60°=180°，
∴ =40°，
故选：A．
5.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：正六边形的面积为：，
六个小半圆的面积为：，中间大圆的面积为：，
所以阴影部分的面积为：，
故选：A．
6.如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是______．
【答案】8
【详解】
试题解析：这个多边形的边数是
故答案为8.
7.如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需_____个五边形．
【答案】7
【详解】延长正五边形的相邻两边，交于圆心，
∵正五边形的外角等于360°÷5=72°，
∴延长正五边形的相邻两边围成的角的度数为：180°-72°-72°=36°，
∴360°÷36°=10，
∴排成圆环需要10个正五边形，
故 排成圆环还需 7个五边形．
故答案为7．
8.已知⊙O的面积为4π，则⊙O的内接正六边形的面积是 6 ．
【解答】解：∵⊙O的面积为4π，
∴⊙O的半径为2，
过点O作OH⊥AB于点H，连接OA，OB，
∴AHAB，
∵∠AOB360°＝60°，OA＝OB，
∴△OAB是等边三角形，
∴AB＝OA＝2，
∴AHOA＝1，
∴OHAH，
∴S正六边形ABCDEF＝6S△OAB＝626，
故答案为：6．
9.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对角线CF和BE相交于点N，对角线DF与BE相交于点M，则MN＝_____．
【答案】1
【解析】∵正六边形ABCDEF的边长为2，且对角线CF和BE相交于点N，∴∠FNE=60°，
∴△ENF是等边三角形，∴∠FNM=60°，FN=EF=2，
∵对角线DF与BE相交于点M，∴∠FMN=90°，∴MN=FN=2=1，
故答案为：1．
10.如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），求的余角的度数．
【答案】54°
【详解】
如图，连接．
∵五边形是正五边形，
∴，
∴，
∴90°-36°=54°，
∴的余角的度数为54°．
【能力提升】
1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
【答案】B
【详解】∵四边形ABCD内接于⊙O，∠A=130°，
∴∠C=180°-130°=50°，
∵AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠A=50°，
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBC=25°，
∴∠BDC=180°-25°-50°=105°，
故选B．
2.已知四个正六边形如图摆放在圆中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ）
A．3 B． C． D．
【解答】解：连接AD交PM于O，则点O是圆心，过点O作ON⊥DE于N，连接MF，取MF的中点G，连接GH，GQ，
由对称性可知，OM＝OP＝EN＝DN＝1，
由正六边形的性质可得ON＝2，
∴ODOF，
∴MF1，
由正六边形的性质可知，△GFH、△GHQ、△GQM都是正三角形，
∴FHMF，
故选：D．
3.如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，2）
【解答】解：连接OA，
∠AOH＝30°，AH＝2，
∴OH2，
∵六边形ABCDEF是正六边形，
∴正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
2020÷6＝336…4，
∴当n＝2020时，顶点A的坐标为（﹣2，﹣2），
故选：B．
4.如图，在正五边形ABCDE中，点F是DE的中点，连接CE与BF交于点G，则∠CGF＝ 126 °．
【解答】解：连接BE，BD，
∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BE＝BD，DE＝DC，∠CDE＝108°，
∴∠DCE＝∠DEC＝36°，
∵BE＝BD，DF＝EF，
∴BF⊥DE，
∴∠BFE＝90°，
∴∠BFG＝∠GFE+∠GEF＝90°+36°＝126°，
故答案为：126．
5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝CD，
∴，
∵E是的中点，
∴，
∴，
∴AE＝DE．
（2）解：连接BD，过点D作DF⊥DE交EC的延长线于F．
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠DBC＝∠DEC＝45°，DA＝DC，
∵∠EDF＝90°，
∴∠F＝90°﹣45°＝45°，
∴DE＝DF，
∵∠ADC＝∠EDF＝90°，
∴∠ADE＝∠CDF，
在△ADE和△CDF中，
，
∴△ADE≌△CDF（AAS），
∴AE＝CF，
∴S△ADE＝S△CDF，
∴S四边形AECD＝S△DEF，
∵EFDE＝EC+DE，EC＝1，
∴1+DEDE，
∴DE1，
∴S△DEFDE2．
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24.3 正多边形和圆
【知识梳理】
正多边形概念：各条边相等，并且各个内角也都相等的多边形叫做正多边形．
正多边形的相关概念：
正多边形的中心：正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．
正多边形的半径：正多边形外接圆的半径叫做正多边形的半径．
正多边形的中心角：正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．
正多边形的边心距：中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．
半径、边心距，边长之间的关系：
画圆内接正多边形方法：
量角器
（作法操作复杂，但作图较准确）
量角器+圆规
（作法操作简单，但作图受取值影响误差较大）
圆规+直尺
（适合做特殊正多边形，例如正四边形、正八边形、正十二边形…..）
【基础训练】
1．如果一个正多边形的中心角等于，那么这个多边形的内角和为（ ）
A． B． C． D．
2.如图，已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=70°，则∠ADC的度数是（ ）
A．70° B．110° C．130° D．140°
3.如图，是正五边形的外接圆，则的度数是( )
A．50° B．48° C．36° D．30°
4.如图，四边形内接于，，为中点，，则等于（ ）
A． B． C． D．
5.如图，圆内接正六边形的边长为4，以其各边为直径作半圆，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
6.如果一个正多边形的中心角为45°，那么这个正多边形的边数是______．
7.如图，若干全等正五边形排成环状．图中所示的是前3个五边形，要完成这一圆环还需_____个五边形．
8.已知⊙O的面积为4π，则⊙O的内接正六边形的面积是 6 ．
9.如图，已知正六边形ABCDEF的边长为2，对角线CF和BE相交于点N，对角线DF与BE相交于点M，则MN＝_____．
10.如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），求的余角的度数．
【能力提升】
1.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A＝130°，则∠BDC的度数为（ ）
A．100° B．105° C．110° D．115°
2.已知四个正六边形如图摆放在圆中，顶点A，B，C，D，E，F在圆上．若两个大正六边形的边长均为2，则小正六边形的边长是（ ）
A．3 B． C． D．
3.如图，边长为4的正六边形ABCDEF的中心与坐标原点O重合，AF∥x轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°，当n＝2020时，顶点A的坐标为（ ）
A．（﹣2，2） B．（﹣2，﹣2） C．（2，﹣2） D．（2，2）
4.如图，在正五边形ABCDE中，点F是DE的中点，连接CE与BF交于点G，则∠CGF＝ 126 °．
5.如图，正方形ABCD内接于⊙O，E是的中点，连接AE，DE，CE．
（1）求证：AE＝DE；
（2）若CE＝1，求四边形AECD的面积．
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