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课时24.4 弧长和扇形的面积
【知识梳理】
圆锥
设的半径为，圆心角所对弧长为，
弧长公式： （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
扇形面积公式：
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式：（为母线）
备注：圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积
常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：
公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法
【基础训练】
1.150°的圆心角所对的弧长是5πcm，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．1.5cm B．3cm C．6cm D．12cm
【答案】C
【详解】设此弧所在圆的半径为rcm，
∵150°的圆心角所对的弧长是5πcm，
∴，
解得，r＝6，
故选：C．
2.若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
【答案】B
【详解】试题分析：设母线长为R，底面半径为r，
∴底面周长=2πr，底面面积=πr2，侧面面积=πrR，
∵侧面积是底面积的2倍，
∴2πr2=πrR，
∴R=2r，
设圆心角为n，有=2πr=πR，
∴n=180°．
故选B．
3.如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上，剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C都在圆周上，将剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．3 cm B．2cm C．6cm D．12cm
【答案】A
【解析】AB＝cm，∴
∴圆锥的底面圆的半径＝÷（2π）＝3cm．
故选A．
4.将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开 若不考虑接缝，它是一个半径为12cm，圆心角为的扇形，则
A．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为8cm B．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cm
C．圆锥形冰淇淋纸套的高为 D．圆锥形冰淇淋纸套的高为
【答案】C
【解析】解：解：半径为12cm，圆心角为120°的扇形弧长是：（cm）
设圆锥的底面半径是r（cm）则：2πr=8π，解得：r=4即个圆淋的底面半径是4cm；
圆锥形冰淇淋纸套的高为（cm）．
故答案为C．
5.如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】D
【解析】∵正方形的边长为4∴
∵是正方形的对角线∴∴
∴圆锥底面周长为，解得∴该圆锥的底面圆的半径是，
故选：D．
6.如图， ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠B+∠C＝180°，
∵∠C＝110°，
∴∠B＝70°，
∵OB＝OE，
∴∠B＝∠OEB，
∴∠OEB＝70°，
∴∠AOE＝∠B+∠OEB＝70°+70°＝140°，
∵AB＝2，AB为⊙O的直径，
∴OA＝OB＝OE＝1，
∴的长为：，
故选：C．
7.一个扇形的半径为6cm，圆心角为90°，则这个扇形的弧长为_______，这个面积为_____．
【答案】
【解析】解：由题意得： ，．
故答案为；．
8.如图，半圆的直径AB长为6cm，O是圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠ADC＝108°，则扇形OAC的面积为 π ．（结果保留π．）
【解答】解：∵四边形ABCD是圆内接四边形，∠ADC＝108°，
∴∠ABC＝180°﹣108°＝72°，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝72°，
∴∠AOC＝144°，
∴扇形OAC的面积为：π，
故答案为π．
9.求下列阴影部分的周长：（单位：dm）
【答案】21.45dm．
【解析】由题意及图形可得：阴影部分的周长为两个弧长加两个半径差
【能力提升】
1.如图，一个半径为1的⊙O1经过一个半径为的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图，⊙O的半径为，⊙O1的半径为1，点O在⊙O1上，连接OA，OB，OO1，∵OA=，O1A=O1O=1，则有（）2=12+12，∴OA2=O1A2+O1O2，∴△OO1A为直角三角形，∴∠AOO1=45°，同理可得∠BOO1=45°，∴∠AOB=90°，∴AB为⊙O1的直径，∴S阴影部分=S半圆AB﹣S弓形AB=S半圆AB﹣（S扇形OAB﹣S△OAB）=S半圆AB﹣S扇形OAB+S△OAB=π×12﹣ +××=1．故选A．
2.如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与的关系为（ ）
A．R=2 B．R=4 C．R=2 D．R=6
【答案】B
【解析】扇形的弧长是：=，圆的半径为r，则底面圆的周长是，
∵恰好围成如图所示的圆锥，∴=，∴R=4r，
故选：B．
3.如图，在中，，，以直角边为直径作交于点，则图中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】解：如图连接OD、CD．∵AC是直径，∴∠ADC=90°．
∵∠A=30°，∴∠ACD=90°﹣∠A=60°．∵OC=OD，∴△OCD是等边三角形．
∵BC是切线，∴∠ACB=90°．∵BC=，∴AB=，AC=6，
∴S阴=S△ABC﹣S△ACD﹣（S扇形OCD﹣S△OCD）==．
故选：A．
4.如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 2 ．
【解答】解：如图，作点D关于OB的对称点D′，连接D′C交OB于点E′，连接E′D、OD′，
此时E′C+E′D最小，即：E′C+E′D＝CD′，
由题意得，∠COD＝∠DOB＝∠BOD′＝30°，
∴∠COD′＝90°，
∴CD′2，
∴的长l，
∴阴影部分周长的最小值为2．
故答案为：2．
5.如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．
【答案】．
【解析】如图，连接OM交AB于点C，连接OA、OB，由题意知，OM⊥AB，且OC=MC=1，
在RT△AOC中，∵OA=2，OC=1，∴cos∠AOC=，AC=
∴∠AOC=60°，AB=2AC=2，∴∠AOB=2∠AOC=120°，
则S弓形ABM=S扇形OAB-S△AOB==，
S阴影=S半圆-2S弓形ABM=π×22-2（）=2．
故答案为2．
6.如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为_____．
【答案】
【解析】如图，连接OE，作OF⊥DE于点F，
∵四边形ABCD是平行四边形，且∠A＝150°，∴∠D＝30°，则∠COE＝2∠D＝60°，
∵CD＝4，∴CO＝DO＝2，∴OF＝OD＝1，DF＝ODcos∠ODF＝2×＝，
∴DE＝2DF＝2，∴图中阴影部分的面积为＋×2×1＝，
故答案为．
7.等边三角形的边长为1厘米，面积为0.43平方厘米．以点为圆心，长为半径在三角形外画弧，交的延长线于点，形成扇形；以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，形成扇形；以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，形成扇形．（1）求所得的图形的周长；（结果保留）（2）照此规律画至第十个扇形，求所围成的图形的面积以及所画出的所有弧长的和．（结果保留）
【答案】（1）厘米；（2）平方厘米，厘米．
【解析】（1）由已知得：扇形ADC的半径长为1，圆心角为120°；扇形DBE半径长为2，圆心角为120°；扇形ECF半径长为3，圆心角为120°．故据弧长公式可得：扇形ADC弧长；扇形DBE弧长；扇形ECF弧长；
故图形CDEFC的周长为：．
（2）根据扇形面积公式可得：
第一个扇形的面积为，由上一问可知其弧长为；
第二个扇形的面积为，弧长为；
第三个扇形的面积为，弧长为；
总结规律可得第个扇形面积为，第个扇形弧长为．
故画至第十个图形所围成的图形面积和为：；
所有的弧长和为：．
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课时24.4 弧长和扇形的面积
【知识梳理】
圆锥
设的半径为，圆心角所对弧长为，
弧长公式： （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关）
扇形面积公式：
母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。
圆锥体表面积公式：（为母线）
备注：圆锥的表面积=扇形面积=底面圆面积
常见组合图形的周长、面积的几种常见方法：
公式法；② 割补法；③ 拼凑法；④ 等积变换法
【基础训练】
1.150°的圆心角所对的弧长是5πcm，则此弧所在圆的半径是（ ）
A．1.5cm B．3cm C．6cm D．12cm
2.若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为 （ ）
A．120° B．180° C．240° D．300°
3.如图，从一块直径为24cm的圆形纸片上，剪出一个圆心角为90°的扇形ABC，使点A，B，C都在圆周上，将剪下的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面圆的半径是（ ）
A．3 cm B．2cm C．6cm D．12cm
4.将某圆锥形的冰淇淋纸套沿它的一条母线展开 若不考虑接缝，它是一个半径为12cm，圆心角为的扇形，则
A．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为8cm B．圆锥形冰淇淋纸套的底面半径为6cm
C．圆锥形冰淇淋纸套的高为 D．圆锥形冰淇淋纸套的高为
5.如图，正方形的边长为4，以点为圆心，为半径画圆弧得到扇形（阴影部分，点在对角线上）．若扇形正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（ ）
A． B．1 C． D．
6.如图， ABCD中，∠C＝110°，AB＝2，以AB为直径的⊙O交BC于点E，则的长为（ ）
A． B． C． D．
7.一个扇形的半径为6cm，圆心角为90°，则这个扇形的弧长为_______，这个面积为_____．
8.如图，半圆的直径AB长为6cm，O是圆心，C是半圆上的点，D是上的点，若∠ADC＝108°，则扇形OAC的面积为 π ．（结果保留π．）
9.求下列阴影部分的周长：（单位：dm）
【能力提升】
1.如图，一个半径为1的⊙O1经过一个半径为的⊙O的圆心，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．1 B． C． D．
2.如图，从一圆形纸片上剪出一个半径为R、圆心角为90°的扇形；和一半径为的圆，使之恰好围成如图所示的圆锥，则R与的关系为（ ）
A．R=2 B．R=4 C．R=2 D．R=6
3.如图，在中，，，以直角边为直径作交于点，则图中阴影部分的面积是( )
A． B． C． D．
4.如图，在扇形BOC中，∠BOC＝60°，OD平分∠BOC交弧BC于点D．点E为半径OB上一动点．若OB＝2，则阴影部分周长的最小值为 2 ．
5.如图，半径为1的半圆形纸片，按如图方式折叠，使对折后半圆弧的中点M与圆心O重合，则图中阴影部分的面积是________．
6.如图，在平行四边形ABCD中，AB＜AD，∠A＝150°，CD＝4，以CD为直径的⊙O交AD于点E，则图中阴影部分的面积为_____．
7.等边三角形的边长为1厘米，面积为0.43平方厘米．以点为圆心，长为半径在三角形外画弧，交的延长线于点，形成扇形；以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，形成扇形；以点为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点，形成扇形．（1）求所得的图形的周长；（结果保留）（2）照此规律画至第十个扇形，求所围成的图形的面积以及所画出的所有弧长的和．（结果保留）
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