福建省厦门市同安第一中学2023-2024学年高二下学期第1次月考(4月)数学试卷（PDF版，无答案）

同安一中 2023～2024 学年下学期第 1 次月考
高二数学试卷
本卷满分 150分，考试时间 120分钟
一、选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的。）
1 f (x) x3 lim f (1 x) f (1)．设函数 ，则 （ ）
x 0 x
A．3 B．2 C．1 D． 1
2．在等差数列 an 中，若 a2 a6 12， a5 8，则a10等于（ ）
A．20 B．18 C．16 D． 12
3 A3 n 2．若 n 12Cn ，则n （ ）
A．4 B．6 C．7 D．8
4．在 (2 x)5的展开式中， x2项的系数为（ ）
A．1 B．10 C．40 D．80
5 m．若函数 f x ln x 在 1,3 x 上为增函数，则 m的取值范围为（ ）
A． , 1 B． 1, C． 3, D． , 3
6．著名数学家华罗庚先生曾说过，“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分
家万事休”.在数学的学习和研究中，经常用函数的图象来研究函数的性质，也经常用函数的解析式
f (x) cos x
来琢磨函数的图象的特征.函数 ln x x2 1 的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
x2 27．已知椭圆C : y2 2 1(a b 0) 的左右焦点分别是 F1 c,0 ,F2 c,0 ，过 F2的直线交椭圆于M ,N两a b
点，若 OM c（O为坐标原点）， MF1 3 NF2 ，则椭圆C的离心率为（ ）
A 2 B 3 C 3 D 2 5． ． ． ．
2 3 2 5
8．设 a 2ln1.01，b ln1.02， c 0.02，则（ ）
A．a b c B．b a c C．b2023～2024（下）高二年第 1 次月考数学试卷 试卷第 1页，总 4页
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二、多选题（本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求。全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分。）
9．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有 24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有 42种
C．甲乙不相邻的排法种数为 82种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有 20种
10．如图所示，棱长为 3的正方体 ABCD A1B1C1D1中， P为线段 A1B上的动点（不含端点），则下列
结论正确的是（ ）
A．D1P AB1
B ．D1P与 AC所成的角可能是 6
C． AP DC1是定值
D．当 A1P 2PB时，点C1到平面D1AP的距离为 2
11．已知函数 f (x) ax cos x的定义域为 0, ，则下列说法正确是（ ）
A．若函数 f x 无极值，则 a 1
B．若 x1， x2为函数 f (x)的两个不同极值点，则 f (x1) f (x2 ) a
C．存在a R，使得函数 f x 有两个零点
D 1．当 a 1时，对任意 x 0, π ，不等式 f x x2 ex恒成立
2
三、填空题（本题共 3小题，每小题 5分，共 15分）
12．已知曲线 y (mx 2)e x 在 (0,2)处的切线的斜率为 1，则m .
13．2024年伊始，随着“广西沙糖桔”“马铃薯公主”等热梗的不断爆出，哈尔滨火
爆出圈，成为旅游城市中的“顶流”.某班级五位同学也准备共赴一场冰雪之约，制
定了“南方小土豆，勇闯哈尔滨”的出游计划，这五位同学准备在行程第一天在圣
索菲亚教堂，冰雪大世界，中央大街三个景点中选择一个去游玩，已知每个景点
至少有一位同学会选，五位同学都会进行选择并且只能选择其中一个景点，若学
生甲和学生乙准备选同一个景点，则不同的选法种数是 .
2023～2024（下）高二年第 1 次月考数学试卷 试卷第 2页，总 4页
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14．已知函数 f x ex 1 x，函数 g x x 1 ln x，则函数 g x 的极小值点为 ；
若 x 1， f x ag x 恒成立，则实数 a的取值范围为 ．
四、解答题（共 77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
15．（13 2分）设函数 f x ln x ax 1，a R ．
(1) 1 1 当 a 时，求函数 y f (x)在 , 2 的最值；2 e
(2)讨论函数 y f x 的单调性.
16．（15分）如图所示，等边 ABC所在平面与菱形 ACDE所在平面相垂直， AC 2， EAC 120 ，
BC / /FD， FD 1.
(1)求证： EF / /平面 ABC；
(2)求平面 ABC与平面 BEF所成角的余弦值.
17．（15分）某公园有一块如图所示的区域OACB，该场地由线段OA、OB、AC及曲线段BC围成.经
测量， AOB 90 ，OA OB 100米，曲线BC是以OB为对称轴的抛物线的一部分，点C到OA、OB
的距离都是50米.现拟在该区域建设一个矩形游乐场OEDF ，其中点D在曲线段BC上，点 E、 F分
别在线段OA、OB上，且该游乐场最短边长不低于30米.设DF x米，游乐场的面积为S平方米.
(1)试建立平面直角坐标系，求曲线段BC的方程；
(2)求面积S关于 x的函数解析式 S f x ；
(3)试确定点D的位置，使得游乐场的面积S最大.（结果精确到 0.1米）
(参考数据： 6 2.45， 3 1.73 )
2023～2024（下）高二年第 1 次月考数学试卷 试卷第 3页，总 4页
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2 2
18 x y．（17分）已知椭圆C : 1 a b 0 的右焦点为 F 3,0 ，直线 l : x sin y cos b 0 π 与C
a2 b2
相交于A、 B两点．
(1)求直线 l被圆O : x2 y2 a2所截的弦长；
π
(2) AB 24当 时，
2 5
．
（i）求C的方程；
（ii）证明：对任意的 0, π ，△ABF的周长为定值．
19 17 x 2．（ 分）已知函数 f x e ax a 0 ．
(1)若 x 0, 时，函数 f (x)有 2个不同的零点，求 a的取值范围；
(2)已知 f x 为函数 f x 的导函数， f x 在R上有极小值 0，对于某点P x0 , f x0 ， f x 在 P点的
切线方程为 y g x ，若对于 x R，都有 x x0 f x g x 0，则称 P为好点．
①求 a的值；
②求所有的好点．
2023～2024（下）高二年第 1 次月考数学试卷 试卷第 4页，总 4页
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