(共38张PPT)
分式与分式方程
5.2分式的乘除
北师大版八年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾
02
探究新课
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教材分析
本节课选自北师大版八下数学《5.2分式的乘除法》的第一课时。学生在小学就已经会很熟练的进行分数的乘除法运算，上一章又学习的因式分解，本章学习的分式的意义，分式的基本性质等，都为本节课的学习做好了知识上的铺垫。分式是分数的“代数化”，与分数的约分、分数的乘除法有密切的联系，也为后面学习分式的混合运算、分式方程等做了准备。
教学目标
1.类比分数的乘除运算探索分式的乘除运算法则。
2.会进行简单分式的乘除运算。
3.能解决一些与分式乘除运算有关的简单的实际问题。
4. 在情境中激发学生学习数学的兴趣，促进良好的数学观的养成。数学生活化，学好数学，为幸福人生奠基。
温故知新
（1）一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的 时,水高多少
长方体容器的高为 ,
水高为
（2）大拖拉机m天耕地a hm2,小拖拉机n天耕地b hm2,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍
大拖拉机的工作效率是 hm2/天,小拖拉机的工作效率是 hm2/天,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的 倍.
温故知新
1、把下列各式分解因式：
（1）、a2+2a= _________ (2)、a2-9=__________
(3)、 x2-2x+1=__________
a(a+2)
(a+3) (a-3)
(x-1)2
2、化简下列各式：
解：原式=
解：原式=
温故知新
1、约分定义？它的步骤是什么？
分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分
约分的基本步骤：
(1)若分子﹑分母都是单项式，则约简系数，并约去相同字母的最低次幂；
(2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式．
2、最简分式定义？
最简分式：分子和分母没有公因式的分式叫最简分式.
探究新知
Ⅰ、观察下列运算：
类比分数的乘法法则我们尝试计算
新知讲解
分式乘法法则
两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.
用符号语言表达：
新知讲解
例1 计算：（1） （2）
解：（1）原式
（2）原式=
归纳：按照分式的乘法法则进行分式乘法运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式.
边学边练
解：原式=
解：原式=
探究新知
Ⅱ、观察下列运算：
类比分数的除法法则我们尝试计算
新知讲解
分式除法法则
两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.
用符号语言表达：
讲授新知
例2 计算：（1） （2）
解：(1)原式
解：(2)原式
分式的乘除法运算，当分子、分母是多项式时，一般应先因式分解，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯路.
边学边练
解：原式=
解：原式=
探究新知
Ⅲ、根据乘方的意义和分式乘法的法则计算:
根据以上计算推导可得:
分式乘方法则
分式的乘方等于分子分母分别乘方.
用符号语言表达：
边学边练
D
D
A
B
典例分析
例题1、通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜的皮厚都是d .
(1)西瓜瓤与西瓜的体积各是多少
(2)西瓜瓤与西瓜的体积的比是多少
(3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算
典例精析
(1)
解：设西瓜的半径为R , 球的体积公式是
则:
(2)
(3)
R越大， 越 , 越 , 越 , 越 .
小
大
大
大
所以，买大西瓜较划算
典例精析
例题2“丰收1号”小麦的试验田是边长为am的正方形减去一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg.
（1）哪种小麦的单位面积产量高？
（2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？
1m
am
（a－1）m
典例精析
典例精析
（2）
所以 “丰收2号”小麦的单位面积产量是“丰收1号”小麦的单位面积产量的 倍.
课堂练习
【知识技能类作业 必做题：】
B
B
A
课堂练习
1+x或x+1．
课堂练习
【知识技能类作业 选做题：】
课堂练习
【综合实践类作业】
8.计算下面各题
课堂练习
课堂总结
1.分式的分子、分母都是几个因式的积的形式，可先约去分子、分母的公因式，再按照法则进行计算.
2.分子或分母是多项式的按以下方法进行：
①将原分式中含同一字母的各多项式按降幂(或升幂)排列；在乘除过程中遇到整式则视其为分母为1，分子为这个整式的分式；
②把各分式中分子或分母里的多项式分解因式；
③应用分式乘除法法则进行运算；(注意:结果为最简分式或整式．)
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
B
B
A
作业布置
D
[1]
作业布置
【知识技能类作业 选做题】
作业布置
【综合实践类作业】
8．计算下列各式
作业布置
作业布置
板书设计
分式的乘除
乘法运算
除法运算
分式的乘除法的实际应用
乘方
谢谢
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分课时教学设计
课时《分式与分式方程》5.2分式的乘除教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课选自北师大版八下数学《5.2分式的乘除法》的第一课时。学生在小学就已经会很熟练的进行分数的乘除法运算，上一章又学习的因式分解，本章学习的分式的意义，分式的基本性质等，都为本节课的学习做好了知识上的铺垫。分式是分数的“代数化”，与分数的约分、分数的乘除法有密切的联系，也为后面学习分式的混合运算、分式方程等做了准备。
学习者分析 八年级学生具有很强的感性认识的基础，对具体的实践活动十分感兴起，在课堂中思维活跃，乐于表现自己，但在推理方面还不够严谨。采用自主学习与合作学习相结合的学习方式，留给学生足够的自主活动、相互交流的空间，让学生在观察中不断发现数学问题、在实践中领悟数学思想，逐步形成科学的数学价值观。
教学目标 1.类比分数的乘除运算探索分式的乘除运算法则。
2.会进行简单分式的乘除运算。 3.能解决一些与分式乘除运算有关的简单的实际问题。 4. 在故事情境中激发学生学习数学的兴趣，促进良好的数学观的养成。数学生活化，学好数学，为幸福人生奠基。
教学重点 分式的乘除运算法则的理解与运用
教学难点 分子、分母是多项式的分式的乘除法的运算
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：复习旧知，导入新课教师活动1： 一、情景引入 （1）一个长方体容器的容积为V,底面的长为a,宽为b,当容器内的水占容积的 时,水高多少 大拖拉机m天耕地a hm,小拖拉机n天耕地b hm,大拖拉机的工作效率是小拖拉机的工作效率的多少倍 二、复习旧知 2、约分定义？它的步骤是什么？ 分式的约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分 约分的基本步骤： (1)若分子﹑分母都是单项式，则约简系数，并约去相同字母的最低次幂； (2)若分子﹑分母含有多项式，则先将多项式分解因式，然后约去分子﹑分母所有的公因式． 3、最简分式定义？ 最简分式：分子和分母没有公因式的分式叫最简分式.。学生活动1： 回顾旧知，唤醒记忆。活动意图说明： 复习旧知，激发学生兴趣，调动学生思维的积极性，快速融入本节课学习环节二：探究分式乘除的计算法则教师活动2： Ⅰ、观察下列运算： 分式乘法法则 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. 用符号语言表达 归纳：按照分式的乘法法则进行分式乘法运算，如果运算结果不是最简分式，一定要进行约分，使运算结果化成最简分式. 边学边练 Ⅱ、观察下列运算： 类比分数的除法法则我们尝试计算 分式除法法则 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. 用符号语言表达： 例2 计算：（1） （2） 分式的乘除法运算，当分子、分母是多项式时，一般应先因式分解，并在运算过程中约分，可以使运算简化，避免走弯 边学边练 Ⅲ、根据乘方的意义和分式乘法的法则计算: 根据以上计算推导可得: 分式乘方法则 分式的乘方等于分子分母分别乘方. 用符号语言表达： 边学边练 学生活动2： 教师讲授例题，学生边学边练，并说出每一步的计算依据。活动意图说明： 按分式乘法、分式除法、分式乘方探究分式乘除的计算法则，使学生会根据法则，理解每一步的算理，从而进行简单的分式的乘除法运算，需要给学生强调的是分式运算的结果通常要化成最简分式或整式，对于这一点，很多学生在开始学习分式计算时往往没有注意到结果要化简。环节三：实际应用教师活动三 例题1、通常购买同一品种的西瓜时,西瓜的质量越大,花费的钱越多.因此人们希望西瓜瓤占整个西瓜的比例越大越好.假如我们把西瓜都看成球形,并把西瓜瓤的密度看成是均匀的,西瓜的皮厚都是d .（已知球的体积） 西瓜瓤与西瓜的体积各是多少 (2)西瓜瓤与西瓜的体积的比是多少 (3)你认为买大西瓜合算还是买小西瓜合算 例题2“丰收1号”小麦的试验田是边长为am的正方形减去一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为（a－1）m的正方形，两块试验田的小麦都收获了500kg. （1）哪种小麦的单位面积产量高？ （2）高的单位面积产量是低的单位面积产量的多少倍？ 学生活动三 用分式的知识解决实际问题，教师关注学困生活动意图说明 解决一些与分式有关的简单的实际问题，增强学生代数推理的能力与应用意识。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列等式成立的是( B ) A．(－3)－2＝－9 B．(－3)－2＝ C．＝a14 D．＝－a2b6 2．在|﹣2|，﹣（+2），2﹣1，0这四个数中，最小的数是（ B ） A．|﹣2| B．﹣（+2） C．0 D．2﹣1 3．化简的结果为，则（ A ） A．4 B．3 C．2 D．1 4．计算：＝[ ]． 5．化简： []． 6．代数式化简的结果是，则整数1+x或x+1． 当时，[ ]（填“＞”“＜”“＝”） 选做题： 7.先化简：÷[－÷]，再选一组你喜欢的x，y的值代入求值. 解：原式＝－. 当x＝3，y＝2时，原式＝－. 【综合拓展类作业】 8．计算：（1） [答案（1）] （2） [答案（2）] 9.有甲、乙两筐水果，甲筐水果重(x－1)2千克，乙筐水果重(x2－1)千克(其中x>1)，售完后，两筐水果都卖了50元． (1)哪筐水果的单价卖得低？ (2)高的单价是低的单价的多少倍？ 解：(1)甲筐水果的单价为，乙筐水果的单价为. ∵0<(x－1)2作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．的计算结果为（ B ） A． B． C． D． 2．如果，那么等于（ B ） A．6 B．9 C．12 D．81 3．化简÷的结果是( A ) A． B． C． D．2(x＋1) 4．计算，则x的值是 D A．3 B．1 C．0 D．3或0 5．计算：[1]． 6．计算[]． 选做题 7.先化简，再求值：()3÷()2·[]2，其a＝－，b＝. 解：原式＝. 当a＝－，b＝时，原式＝－6. 【综合拓展类作业】 8．计算下列各式 （1）； 【答案（1），】 （2）． 【答案（2）】 9.设
化简；
当时，记此时的值为；当时，记此时的值为；解关于的不等式：，并将解集在数轴上表示出来．
解：；
由于， 解得：
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册第五章
课标要求 1、通过分式和分式方程描述数量关系的过程，体会模型思想，建立符合意识，发展合理推理，体会数学基本思想。2、能结合具体情境发现并提出数学问题，尝试用不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题。3、经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识分式和分式方程，掌握必要的运算技能，探索具体问题中的数量关系。4、能积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲，有克服困难的意识，具备学好数学的信心。
内容分析 本章是继整式之后对代数式的进一步的研究，主要内容为：①分式的概念和基本性质，分式的约分和通分，以及分式的加、减、乘、除、乘方的运算；②可化为一元一次方程的分式方程；③零指数幂和负整数指数幂。分式不同于整式的另一种有理式，是代数式中最重要的基本概念，分式方程是另一种有理方程，解分式方程比解整式方程更为复杂，然而分式或分式方程更适合某些问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。本章内容是数与代数的重要组成部分，是对整式和一元一次方程的深化和拓展。
学情分析 通过前期的学习，学生初步养成了自主探究意识，一方面，学生学习了整式的加减乘除的运算，具备了研究分式的基础知识和方法；另一方面，分式是分数的代数化，学生可以通过类比进行学习。另外，在学习本章之前，学习了一元一次方程和二元一次方程组，他们对整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路比较熟悉，分式方程的未知数在分母中，它们的解法比以前学过的整式方程较复杂，随着问题复杂化的增加，学生需要不断提高认识问题的水平，这种认识水平的提高，是构建知识体系过程中不可缺少的。
单元目标 教学目标知识与技能1、掌握分式的定义，了解分式方程的定义。2、掌握分式的基本性质，能熟练的对分式进行约分和通分，熟练的进行分式的四则运算，能熟练的解可化为一元一次方程法人分式方程，理解增根的原因，会检验分式的根，能列出分式方程解决问题。3、理解并掌握零指数幂和负整数指数幂，能用科学计数法表示绝对值比较小的数，能进行分式的混合运算。过程与方法经历用字母表示现实情境中的数量关系（分式或分式方程）的过程，了解分式和分数方程的概念，体验分式或分式方程描述现实生活中数量关系的模型，发展符号感。经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式的基本性质、分式四则运算法则。发展学生合理的推理能力和代数恒等变形能力。情感态度与价值观在学习过程中发展学生思维的缜密性，让学生感受分式的实际意义，从而激发学生学习分式的兴趣，增强学生的责任感。（二）教学重点、难点重点.掌握分式的基本性质，分式的四则运算、分式方程及其运用。难点：分式的混合运算，分式方程的运用。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1认识分式12分式的基本性质13分式的乘除14同分母分式的加减15异分母分式的加减16分式方程（1）17分式方程（2）18回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识分式1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别； 2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型． 3、培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流．1、学生判断那些整式，掌握整式的分母不含有未知数。2、用分式表示数量3、学生体会分式的意义，熟悉判断分析的方法。4、学生自学例题，小组讨论分式在什么情况下：有意义、无意义，值为0，值为正数，值为负数。环节一：温故知新环节二：情景导入环节三：探究新知环节四：典例分析。分式的基本性质通过类比分数的基本性质，使学生理解和掌握分式的基本性质；掌握分式约分的方法；掌握什么是最简分式。2、使学生会用类比思想方法探究新知，培养类比转化的思维能力，使学生掌握分式的基本性质，培养正确进行分式变形的运算能力。3、情感目标：通过教学培养学生学习数学的兴趣。1、学生思考给出的两个代数式是否相等，判断的依据是什么？2、小组讨论利用类比思想得出分式的基本性质。3、自学例题1、2.得出分式约分的基本方法、约分的根据和约分的最终目标。环节一：旧知导入环节二：讲授新知分式的乘除1.类比分数的乘除运算探索分式的乘除运算法则。
2.会进行简单分式的乘除运算。3.能解决一些与分式乘除运算有关的简单的实际问题。4. 在故事情境中激发学生学习数学的兴趣，促进良好的数学观的养成。数学生活化，学好数学，为幸福人生奠基。1、回顾旧知，唤醒记忆。2、教师讲授例题，学生边学边练，并说出每一步的计算依据。3、用分式的知识解决实际问题，教师关注学困生环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例分析同分母分式的加减1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。 3、通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想。学会如何做人。1、用分式表示数。2、完成同分母分数加减法计算。3、类比同分母分式加减计算。4、学习例题。总结：记得给多项式的分子添去括号，注意符号的变化，所得结果要化简；分母互为相反式时，改变一下运算符号即可变为同分母。5、完成边学边练。环节一：情景导入环节二：探究新知环节三：典例分析异分母分式的加减会找最简公分母，能进行分式的通分；理解并掌握异分母分式加减法的法则；经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，训练学生的分式运算能力。培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识。学生回答问题，2、小组讨论小明、小亮的解法。3、用类比的方法得出异分母分式加减法的计算法则。4、找出4小题的公分母。5、学生完成例题1中的（2）、（3）题。6、小组交流完成例题2。环节一：问题引入环节二：探究新知环节三：典例分析分式方程（1）1、知识与技能：理解分式方程的意义．理解解分式方程的基本思路和解法．2、过程与方法：理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．3、情感态度与价值观 ：通过学习，激发学生学习欲望，主动参与数学学习活动中，同时感悟数学来源于生活又用于生活。211回顾所学知识。给方程分类。3、判断那些方程是整式方程；那些是分式方程。4、根据题意用分式方程表示数量关系。5、类比整式方程的解法推导解分式方程得步骤。6、学生独立解答例题2、3、小组讨论解答例题3环节一：回顾知识环节二：探究新知环节三：典例分析分式方程（2）1、用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题，并用它解决现实情境中的问题 2、经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力. 3、通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．1、回顾旧知。2、学生逐个问题思考引入新课。3、小组合作完成例题1的学生并总结列分式方程解应用题的一般步骤。4、学生独立完成例题2的学习。环节一：回顾知识环节二：情景导入环节三：用分式方程解决实际问题。回顾与思考知识与技能：（1）使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算； （2）提高学生分式的基本运算技能．数学能力：（1）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；（2）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力．1、展示预习作业（知识架构图）。2、教师引导学生梳理知识，学生完成针对性练习。3、小组合作完成相应练习，交流解题方法环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：典例精析
《分式与分式方程》单元教学设计
活动一：温故知新
活动二：情景导入
任务一：认识分式
活动三：探究新知
分
式
与
分
式
方
程
活动四：典例分析
任务二：分式的基本性质
活动一：旧知导入
活动二：探究新知
活动一：知识回顾
任务三：分式的乘除
活动二：探究新知
活动三：典例分析
活动一：情景导入
任务四：同分母分式的加减
活动二：探究新知
活动三：典例分析
活动一：问题引入
活动二：探究新知
任务五：异分母分式的加减
活动三：典例分析
活动一：知识回顾
任务六：分式方程（1）
分
式
与
分
式
方
程
活动二：探究新知
活动三：典例分析
活动一：知识回顾
活动二：情景导入
任务七：分式方程（2）
活动三：用分式方程解决问题
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
任务八：回顾与思考
活动三：典例精析
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