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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册第五章
课标要求 1、通过分式和分式方程描述数量关系的过程，体会模型思想，建立符合意识，发展合理推理，体会数学基本思想。2、能结合具体情境发现并提出数学问题，尝试用不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题。3、经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识分式和分式方程，掌握必要的运算技能，探索具体问题中的数量关系。4、能积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲，有克服困难的意识，具备学好数学的信心。
内容分析 本章是继整式之后对代数式的进一步的研究，主要内容为：①分式的概念和基本性质，分式的约分和通分，以及分式的加、减、乘、除、乘方的运算；②可化为一元一次方程的分式方程；③零指数幂和负整数指数幂。分式不同于整式的另一种有理式，是代数式中最重要的基本概念，分式方程是另一种有理方程，解分式方程比解整式方程更为复杂，然而分式或分式方程更适合某些问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。本章内容是数与代数的重要组成部分，是对整式和一元一次方程的深化和拓展。
学情分析 通过前期的学习，学生初步养成了自主探究意识，一方面，学生学习了整式的加减乘除的运算，具备了研究分式的基础知识和方法；另一方面，分式是分数的代数化，学生可以通过类比进行学习。另外，在学习本章之前，学习了一元一次方程和二元一次方程组，他们对整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路比较熟悉，分式方程的未知数在分母中，它们的解法比以前学过的整式方程较复杂，随着问题复杂化的增加，学生需要不断提高认识问题的水平，这种认识水平的提高，是构建知识体系过程中不可缺少的。
单元目标 教学目标知识与技能1、掌握分式的定义，了解分式方程的定义。2、掌握分式的基本性质，能熟练的对分式进行约分和通分，熟练的进行分式的四则运算，能熟练的解可化为一元一次方程法人分式方程，理解增根的原因，会检验分式的根，能列出分式方程解决问题。3、理解并掌握零指数幂和负整数指数幂，能用科学计数法表示绝对值比较小的数，能进行分式的混合运算。过程与方法经历用字母表示现实情境中的数量关系（分式或分式方程）的过程，了解分式和分数方程的概念，体验分式或分式方程描述现实生活中数量关系的模型，发展符号感。经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式的基本性质、分式四则运算法则。发展学生合理的推理能力和代数恒等变形能力。情感态度与价值观在学习过程中发展学生思维的缜密性，让学生感受分式的实际意义，从而激发学生学习分式的兴趣，增强学生的责任感。（二）教学重点、难点重点.掌握分式的基本性质，分式的四则运算、分式方程及其运用。难点：分式的混合运算，分式方程的运用。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1认识分式12分式的基本性质13分式的乘除14同分母分式的加减15异分母分式的加减16分式方程（1）17分式方程（2）18回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识分式1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别； 2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型． 3、培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流．1、学生判断那些整式，掌握整式的分母不含有未知数。2、用分式表示数量3、学生体会分式的意义，熟悉判断分析的方法。4、学生自学例题，小组讨论分式在什么情况下：有意义、无意义，值为0，值为正数，值为负数。环节一：温故知新环节二：情景导入环节三：探究新知环节四：典例分析。分式的基本性质通过类比分数的基本性质，使学生理解和掌握分式的基本性质；掌握分式约分的方法；掌握什么是最简分式。2、使学生会用类比思想方法探究新知，培养类比转化的思维能力，使学生掌握分式的基本性质，培养正确进行分式变形的运算能力。3、情感目标：通过教学培养学生学习数学的兴趣。1、学生思考给出的两个代数式是否相等，判断的依据是什么？2、小组讨论利用类比思想得出分式的基本性质。3、自学例题1、2.得出分式约分的基本方法、约分的根据和约分的最终目标。环节一：旧知导入环节二：讲授新知分式的乘除1.类比分数的乘除运算探索分式的乘除运算法则。
2.会进行简单分式的乘除运算。3.能解决一些与分式乘除运算有关的简单的实际问题。4. 在故事情境中激发学生学习数学的兴趣，促进良好的数学观的养成。数学生活化，学好数学，为幸福人生奠基。1、回顾旧知，唤醒记忆。2、教师讲授例题，学生边学边练，并说出每一步的计算依据。3、用分式的知识解决实际问题，教师关注学困生环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例分析同分母分式的加减1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。 3、通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想。学会如何做人。1、用分式表示数。2、完成同分母分数加减法计算。3、类比同分母分式加减计算。4、学习例题。总结：记得给多项式的分子添去括号，注意符号的变化，所得结果要化简；分母互为相反式时，改变一下运算符号即可变为同分母。5、完成边学边练。环节一：情景导入环节二：探究新知环节三：典例分析异分母分式的加减会找最简公分母，能进行分式的通分；理解并掌握异分母分式加减法的法则；经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，训练学生的分式运算能力。培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识。学生回答问题，2、小组讨论小明、小亮的解法。3、用类比的方法得出异分母分式加减法的计算法则。4、找出4小题的公分母。5、学生完成例题1中的（2）、（3）题。6、小组交流完成例题2。环节一：问题引入环节二：探究新知环节三：典例分析分式方程（1）1、知识与技能：理解分式方程的意义．理解解分式方程的基本思路和解法．2、过程与方法：理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．3、情感态度与价值观 ：通过学习，激发学生学习欲望，主动参与数学学习活动中，同时感悟数学来源于生活又用于生活。211回顾所学知识。给方程分类。3、判断那些方程是整式方程；那些是分式方程。4、根据题意用分式方程表示数量关系。5、类比整式方程的解法推导解分式方程得步骤。6、学生独立解答例题2、3、小组讨论解答例题3环节一：回顾知识环节二：探究新知环节三：典例分析分式方程（2）1、用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题，并用它解决现实情境中的问题 2、经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力. 3、通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．1、回顾旧知。2、学生逐个问题思考引入新课。3、小组合作完成例题1的学生并总结列分式方程解应用题的一般步骤。4、学生独立完成例题2的学习。环节一：回顾知识环节二：情景导入环节三：用分式方程解决实际问题。回顾与思考知识与技能：（1）使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算； （2）提高学生分式的基本运算技能．数学能力：（1）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；（2）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力．1、展示预习作业（知识架构图）。2、教师引导学生梳理知识，学生完成针对性练习。3、小组合作完成相应练习，交流解题方法环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：典例精析
《分式与分式方程》单元教学设计
活动一：温故知新
活动二：情景导入
任务一：认识分式
活动三：探究新知
分
式
与
分
式
方
程
活动四：典例分析
任务二：分式的基本性质
活动一：旧知导入
活动二：探究新知
活动一：知识回顾
任务三：分式的乘除
活动二：探究新知
活动三：典例分析
活动一：情景导入
任务四：同分母分式的加减
活动二：探究新知
活动三：典例分析
活动一：问题引入
活动二：探究新知
任务五：异分母分式的加减
活动三：典例分析
活动一：知识回顾
任务六：分式方程（1）
分
式
与
分
式
方
程
活动二：探究新知
活动三：典例分析
活动一：知识回顾
活动二：情景导入
任务七：分式方程（2）
活动三：用分式方程解决问题
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
任务八：回顾与思考
活动三：典例精析
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分课时教学设计
课时《分式与分式方程》5.4分式方程（1）教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节共二个课时,即分式方程的认知、解分式方程,以及分式方程在实际问题中的应用。教学时要有意识地进一步提高学生的阅读理解能力，鼓励学生从多角度思考问题，解释所获得结果的合理性。对于常用的数量关系，虽然学生以前大都接触过，但在本节的教学中仍要注意复习、总结，并抓住用两个已知量表示第三个量的表达式，引导学生举一反三，进一步提高分析问题与解决问题的能力。
学习者分析 学生的知识技能基础：能熟练准确地解一元一次方程；已学过分式的定义；了解分式有意义的条件；能利用分式的基本性质进行约分通分；课前预习知晓分式方程的概念 。 学生活动经验基础：八年级的学生已经具备了一定的自主探究能力和分析问题的能力，并对发现新问题以及寻求解决办法有相当的兴趣和积极的愿望．
教学目标 1、知识与技能：理解分式方程的意义．理解解分式方程的基本思路和解法． 2、过程与方法：理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法． 3、情感态度与价值观 ：通过学习，激发学生学习欲望，主动参与数学学习活动中，同时感悟数学来源于生活又用于生活。21教育网
教学重点 解分式方程的基本思路和解法．
教学难点 理解解分式方程时可能无解的原因．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识回顾教师活动1： 1.什么是方程？ 含有未知数的等式叫做方程。 2.什么是方程的解？ 使方程的左右两边相等的未知数的值。 3.什么是一元一次方程？ 只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式. 4.解一元一次方程的步骤？ 去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。 5.将以下方程进行分类 学过的方程：①② 没学过的方程：③④学生活动1： 1回顾所学知识。 2、给方程分类。活动意图说明： 回顾知识，为新授奠基。给方程分类，顺理成章引出分式方程的定义环节二、探究新知教师活动2： 活动一：探究分式方程的定义 1、定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 满足条件：1 、是方程； 2、分母中含有未知数。 小试牛刀 下列代数式哪些是分式方程？哪些是整式方程？ 分式方程 分式方程 整式方程 分式方程 整式式方程 分式方程 活动二：列分式方程 甲、乙两地相距 1 400 km，乘高铁列车从甲地到乙地比乘特快列车少用 9 h，已知高铁列车的平均行驶速度是特快列车的 2.8 倍． （1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？ 等量关系： 列车的速度×行驶时间=1400 乘特快列车的行驶时间﹣乘高铁列车行驶时间=9 高铁列车的平均速度=特快列车平均速度× 2.8 （2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？ （3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h，那么 y 满足怎样的方程？ 边学边练 为了帮助遭受自然灾害地区重建家园，某学校号召同学自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为4800 元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多 20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为 x 人，那么 x 满足怎样的方程？ 活动三：解分式方程 解： 解： （1）去分母得， （1）去分母， 3(3x-1)+2(5x+2)=2×6-(4x-2) 方程两边同乘x(x-2)，得：x=3(x-2) （2）去括号， （2）去括号， 得9x-3+10x+4=12-4x+2 得x=3x-6 （3）移项， （3）移项， 得9x+10x+4x=12+2+3-4 得x-3x=-6 （4）合并同类项，得23x=13 （4） 合并同类项， 得-2x=-6 （5）使x的系数化为1 （5）使x的系数化为1， x=3 问：x=3是方程x=3(x-2)的解吗？是方程 的解吗？ 解分式方程的基本思路是什么？ 解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程左右两边同乘最简公分母，然后解方程即可. 在上面的方程中, x=2不是原方程的根, 因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根. 解分式方程为什么有时会产生增根呢？ 原因：去分母时在分式方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式（最简公分母）.当乘的这个整式的值为零时，就产生了增根. 因此，解分式方程必须检验。学生活动2： 判断那些方程是整式方程；那些是分式方程。 根据题意用分式方程表示数量关系。 类比整式方程的解法推导解分式方程得步骤。 活动意图说明： 经历探究分式方程的定义、列分式方程、解方式方程，体验数学在日常生活中的运用；通过解整式方程类比解分式方程的过程，并知道产生增根的原因，养成解分式方程检验的习惯环节三：典例分析教师活动三 例2.解方程 解：方程两边都乘 2x，得 960 - 600 = 90x 解这个方程，得 x = 4 经检验，x = 4 是原方程的根 例3: 关于X的分式方程 有增根，求 a的值. 解：∵方程有增根，∴x-1=0，x=1 方程两边同乘以(x-1) ,得：2x+a-(x-1)=0 (1) X=1 把x-1代入（1）得2+a-0=0 a=-2学生活动三 学生独立解答例题2、 小组讨论解答例题3活动意图说明 通过例题2、3的练习，使学生了解解分式方程的过程和增根的原因，学会检验。
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．分式方程＋＝1的解是【】． 2．已知x＝3是关于x的方程－＝1的一个解，则k＝【2】． 3．(1)当m＝【2】时，解分式方程＝会出现增根； (2)若分式方程＝有增根，则增根为【1】． 4．(1)解方程－＝时，去分母，方程两边同乘的最简公分母为 【3x(x＋1)(x－1)】 5．如果关于x的分式方程＝1＋有增根，那么m的值为( C ) A．－3 B．3 C．4 D．10 6．分式方程＋＝1的解为( A ) A．x＝－1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝－2 7．已知关于x的分式方程＝1的解是负数，则m的取值范围是( D ) A．m≤3 B．m≤3且m≠2 C．m<3 D．m<3且m≠2 选做题： 8.已知关于x的分式方程＋＝. ①若方程的增根为x＝1，求m的值； ②若方程无解，求m的值． 解：方程两边都乘(x＋2)(x－2)，并整理，得 (m＋1)x＝－5. ①∵x＝1是分式方程的增根， ∴1＋m＝－5.解得m＝－6. ②当m＋1＝0时，该方程无解，此时m＝－1； 当m＋1≠0时，要使原方程无解，则x＝1或x＝－2. 当x＝1时，由(1)得m＝－6；当x＝－2时，则－2(m＋1)＝－5，解得m＝1.5. 综上，m的值为－1或－6或1.5. 【综合拓展类作业】 9.一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相同，求江水的流速． 解：设江水的流速为x km/h，根据题意，得 ＝，解得x＝10. 经检验，x＝10是原方程的解． 答：江水的流速为10 km/h.
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1. 解方程1＋＝时，去分母，得( C ) A．(x－1)(x－3)＋2＝x＋5 B．1＋2(x－3)＝(x－5)(x－1) C．(x－1)(x－3)＋2(x－3)＝(x－5)(x－1) D．(x－3)＋2(x－3)＝x－5 2. 方程＝的解为( D ) A．x＝－1 B．x＝0 C．x＝ D．x＝1 3. 分式方程＋1＝的解是( D ) A．x＝1 B．x＝－2 C．x＝ D．x＝2 4. 关于x的分式方程＝2的解是负数，则字母m的取值范围是( B ) A．m＞2 B．m＜2 C．m＞－2 D．m＜－2 5. 当x＝【-7】时，与的值相等． 6. 分式方程－＝0的解为【x=5】. 7. 方程＝－的解为x＝3，则a的值为【5】． 8. 若分式方程－＝2有增根，则这个增根是【x=1】． 选做题 9.已知方程＋＝的解为y＝k，求关于x的方程＝－1的解． 解：方程＋＝的两边都乘y2－9，得y－(y＋3)＝3(y－3)． 解这个方程，得y＝2. 经检验，y＝2是原分式方程的解， 所以k＝2.所以＝－1，解得x＝－11 【综合拓展类作业】 10.解分式方程： (1)－＝1. (2) －＝1. 解（1）：方程两边都乘(x＋1)(x－1)得，(x－1)2－3＝(x＋1)(x－1)， 解得x＝－， 检验：当x＝－时，(x＋1)(x－1)≠0， ∴x＝－是原方程的解． 解（2）：方程两边同乘(x＋1)(x－1)，得(x＋1)2－4＝(x＋1)(x－1)， 整理得2x－2＝0， 解得x＝1 .检验：当x＝1时，(x＋1)(x－1)＝0， ∴x＝1是增根，应舍去． ∴原方程无解．
教学反思
21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共31张PPT)
分式与分式方程
5.4分式方程（1）
北师大版八年级下册
内容总览
教学目标
01
复习回顾/新知导入
02
探究新课/新知讲解
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教材分析
本节共二个课时,即分式方程的认知、解分式方程,以及分式方程在实际问题中的应用。教学时要有意识地进一步提高学生的阅读理解能力，鼓励学生从多角度思考问题，解释所获得结果的合理性。对于常用的数量关系，虽然学生以前大都接触过，但在本节的教学中仍要注意复习、总结，并抓住用两个已知量表示第三个量的表达式，引导学生举一反三，进一步提高分析问题与解决问题的能力。
教学目标
1、知识与技能：理解分式方程的意义．理解解分式方程的基本思路和解法．
2、过程与方法：理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．
3、情感态度与价值观 ：通过学习，激发学生学习欲望，主动参与数学学习活动中，同时感悟数学来源于生活又用于生活。21教
知识回顾
1.什么是方程？
含有未知数的等式叫做方程。
2.什么是方程的解？
使方程的左右两边相等的未知数的值。
3.什么是一元一次方程？
只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式.
4.解一元一次方程的步骤？
去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。
知识回顾
将以下方程进行分类
已学过的方程
学过的方程：
没学过的方程
①②
③④
新知讲解
活动一：探究分式方程的定义
定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。
满足条件：1 、是方程；
2、方程中含有分母；
3、分母中含有未知数。
新知讲解
小试牛刀：
下列代数式哪些是分式方程？哪些是整式方程？
分式方程
分式方程
整式方程
分式方程
分式方程
整式方程
新知讲解
活动二：列分式方程
甲、乙两地相距 1 400 km，乘高铁列车从甲地到
乙地比乘特快列车少用 9 h，已知高铁列车的平均
行驶速度是特快列车的 2.8 倍．
（1）你能找出这一问题中的所有等量关系吗？
等量关系：
列车的速度×行驶时间=1400
乘特快列车的行驶时间﹣乘高铁列车行驶时间=9
高铁列车的平均速度=特快列车平均速度× 2.8
新知讲解
（2）如果设特快列车的平均行驶速度为 x km/h，那么 x 满足怎样的方程？
（3）如果设小明乘高铁列车从甲地到乙地需 y h，那么 y 满足怎样的方程？
边学边练
为了帮助遭受自然灾害地区重建家园，某学校号召同学自愿捐款．已知七年级同学捐款总额为4800 元，八年级同学捐款总额为5000元，八年级捐款人数比七年级多 20人，而且两个年级人均捐款额恰好相等．如果设七年级捐款人数为 x 人，那么 x 满足怎样的方程？
新知讲解
活动三：解分式方程
解：
（1）去分母得，
3(3x-1)+2(5x+2)=2×6-(4x-2)
（2）去括号，
得9x-3+10x+4=12-4x+2
（3）移项，
得9x+10x+4x=12+2+3-4
（4）合并同类项，得23x=13
（5）使x的系数化为1，
解：
（1）去分母，
方程两边同乘x(x-2)，得：x=3(x-2)
（2）去括号，
得x=3x-6
（3）移项，
得x-3x=-6
（4）合并同类项， 得-2x=-6
（5）使x的系数化为1，
得x=3
探究新知
x=3是方程x=3(x-2)的解吗？是方程 的解吗？
解分式方程的基本思路是什么？
解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程，具体做法是“去分母”，即方程左右两边同乘最简公分母，然后解方程即可.
探究新知
探究新知
在上面的方程中, x=2不是原方程的根, 因为它使得原分式方程的分母为零，我们称它为原方程的增根.
解分式方程为什么有时会产生增根呢
原因：去分母时在分式方程的两边同乘了一个可能使分母为零的整式（最简公分母）.当乘的这个整式的值为零时，就产生了增根.
因此，解分式方程必须检验。
典例分析
例2.解方程
解：方程两边都乘 2x，得
960 - 600 = 90x
解这个方程，得 x = 4
经检验，x = 4 是原方程的根．
典例精析
例3: 关于 的分式方程 有增根，求 的值。
解：∵方程有增根，∴x-1=0，x=1
方程两边同乘以(x-1) ,得：
将 代入(1)式得：
课堂练习
【知识技能类作业 必做题：】
课堂练习
C
A
D
课堂练习
【知识技能类作业 选做题：】
课堂练习
课堂练习
【综合实践类作业】
9.一艘轮船在静水中的最大航速为30 km/h，它以最大航速沿江顺流航行120 km所用时间与以最大航速逆流航行60 km所用的时间相同，求江水的流速．
课堂总结
1、分式方程的定义。
2、列分式方程的关键是什么？
3、解分式方程的基本思路是什么？
4、为什么解分式方程要检验？
5、如何对分式方程的根进行检验？
作业布置
【知识技能类作业 必做题】
C
D
D
作业布置
B
作业布置
【知识技能类作业 选做题】
作业布置
【综合实践类作业】
作业布置
板书设计
解分式方程的基本思路：
整式方程 分式方程
.
去分母
两边同乘最简公分母
可能会增根哦
去分母
去括号
移项
合并同类项
化未知数系数为1
去分母
去括号
移项
合并同类项
化未知数系数为1
检验
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