(共36张PPT)
分式与分式方程
回顾与思考
北师大版八年级下册
内容总览
教学目标
01
知识架构
02
知识梳理
03
课堂练习
04
课堂总结
05
板书设计
06
目录
作业布置
07
教材分析
在本章的学习中，学生已经掌握了分式的概念与分式加减乘除法的运算，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，
教学目标
知识与技能：
（1）使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算；
（2）提高学生分式的基本运算技能．
数学能力：
（1）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；
（2）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力．
知识架构
分式与分式方程
分式的概念
分式的基本性质
分式乘除法法则
分式加减法法则
分式方程
分式方程的解法
分式方程的应用
知识梳理
环节一：认识分式
练一练
A
A
C
知识梳理
2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。
环节二：分式的基本性质
练一练
C
A
知识梳理
3.分式的运算：
分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。
分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。
分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。
环节三：分式的运算
练一练
知识梳理
环节四：分式方程
4. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。
解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。
解分式方程的步骤：
（1）.方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。
（2）.解这个整式方程。
（3）.把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。
（4）.写出原方程的根。
知识梳理
增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。
分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。
练一练
知识梳理
环节五：分式方程的运用
5.列方程应用题的步骤是什么？
(1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；
(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；
(3)列：根据等量关系正确列出方程；
(4)解：认真仔细；
(5)检：不要忘记检验；
（6）答：不要忘记写。
练一练
D
典例精析
典例精析
典例精析
典例精析
例9 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度
典例精析
课堂练习
【知识技能类作业 必做题：】
B
C
B
课堂练习
x≠3
-1
1
2或3或5
x≤1且x≠-2
课堂练习
【知识技能类作业 选做题：】
普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克．
至少把B块试验田改1.5亩种植杂交水稻
课堂练习
【综合实践类作业】
9．阳春三月，草长莺飞，春花烂漫，为让学生们近距离接触大自然，积累写作素材，提高写作能力．永州某中学文学社组织学生到距离学校40千米的永州植物园参观，共租用了一辆大客车和一辆小汽车，两车同时从学校出发，已知小汽车速度是大客车的1.5倍，小汽车司机小李因不留神从植物园的大门驶过，后发现路况不对，只好停下车来向路人询问，方知已经驶过植物园7千米，于是立即调头，恰好在植物园的大门口与大客车相遇，已知小李因问路而耽误了6分钟，求两车的速度分别是多少？
课堂练习
解：设大客车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为1.5x千米/小时，
由题意可知：
解得x＝40，
经检验：x＝40是原方程的根．
答：大客车的速度为40千米/小时，则小汽车的速度为60千米/小时．
课堂总结
本节课你有那些收获？
还有什么疑问？
布置作业
【知识技能类作业 必做题：】
C
A
C
布置作业
布置作业
【知识技能类作业 选做题：】
三
分式的基本性质
布置作业
不正确
布置作业
【综合实践类作业】
9.为了维护交通安全，山西各地出台了电动自行车的相关规定，规定中要求驾驶人和乘坐人员应该佩戴安全头盔．某商店用1 800元购进一批电动自行车头盔，销售发现供不应求，于是，又用7 200元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵20元．
(1)第一批头盔的进货单价是多少元？
(2)若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4 200元，那么销售单价至少为多少元？
布置作业
板书设计
分式与分式方程
分式的概念
分式的基本性质
分式乘除法法则
分式加减法法则
分式方程
分式方程的解法
分式方程的应用
谢谢
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分课时教学设计
课时《分式与分式方程》回顾与思考教学设计
课型 新授课口 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 在本章的学习中，学生已经掌握了分式的概念与分式加减乘除法的运算，本课时安排让学生对本章内容进行回顾与思考，旨在把学生头脑中零散的知识点用一条线有机地组合起来，从而形成一个知识网络，使学生对这些知识点不再是孤立地看待，而是在应用这些知识时，能顺藤摸瓜地找到对应的及相关的知识点，同时能把这些知识加以灵活运用，
学习者分析 学生的技能基础：学生已经学习了分式及分式的运算等有关概念，对分式及其运算有了初步的认识，但对技巧性较高的运算题还不熟悉． 学生活动经验基础： 在本章内容的学习过程中，学生已经经历了观察、对比、类比、讨论等活动方法，获得了解决实际问题所必须的一些数学活动经验基础，同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．
教学目标 知识与技能： （1）使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算； （2）提高学生分式的基本运算技能． 数学能力： （1）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力； （2）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力．
教学重点 （1）分式的四则运算（2）分式方程的解法（3）分式方程的应用
教学难点 用分式的整数解决实际问题
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：知识架构教师活动1： 学生活动1： 展示预习作业（知识架构图）活动意图说明： 检查预习效果，展示知识架构图环节二：知识梳理教师活动2： 1.分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 分式有意义的条件是分母不为零；【B≠0】 分式没有意义的条件是分母等于零；【B=0】 分式值为零的条件分子为零且分母不为零。【B≠0且A=0 即子零母不零】 例题1 （1）.下列式子中，是分式的是（ A ） A. B. C. D. （2）.当取某个值时，分式的值不存在，则此时所取的值是 A. B. C. D. (3).当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（C ） A. B. C. D. 2.分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变。,（） 例题2： （1）. 若，则的值是 C A. B. C. D. （2）.下列各等式中成立的有（A） ; A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 (3).化简：[-] (4).化简分式的结果为 []. 3.分式的运算： 分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母。 分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式乘方法则： 分式乘方要把分子、分母分别乘方。 分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减。异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减。 例题3; （1）； （2）； （3）； （4）. 解：（1）原式；（2）原式； （3）原式；（4）原式.; 4. 分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。 解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。 解分式方程的步骤： 方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。2.解这个整式方程。3.把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。4.写出原方程的根。 增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根。 分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。 例题4： 解：（1）方程两边同时乘以x（x-1）得： 3x-2（x-1）=0， 解得：x=-2， 检验：当x=-2时，x（x-1）≠0， ∴x=-2是原分式方程的解； （2）方程两边同时乘以2（x-2）得： 2（1-x）=x-2（x-2）， 解得：x=-2， 检验：当x=-2时，2（x-2）≠0， ∴x=-2是原分式方程的解．; 5.列方程应用题的步骤是什么？ (1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（6）答：不要忘记写。 例题5：某工厂生产、两种型号的扫地机器人型机器人比型机器人每小时的清扫面积多；清扫所用的时间型机器人比型机器人多用分钟两种型号扫地机器人每小时分别清扫多少面积？若设型扫地机器人每小时清扫，根据题意可列方程为 A. : B. C. D. 学生活动2： 教师引导学生梳理知识，学生完成针对性练习。活动意图说明： 通过知识梳理并针对性练习，使学生对分式的基本性质、乘除法、加减法等基本运算有一个更深层次的认识环节三：典例分析教师活动三 例6计算： 分析：本题若把，＋1单独通分，则运算较为复杂；一般情况下，把分母为1的整式看作一个整体进行通分，运算较为简便． 解：原式 例7 已知，求的值． 思路点拨: 当已知条件为形如的连比等式，所要求值的分式是一个含有而又不易化简的分式时，通常设，将其变形为,然后再代入分式求值． 解析：设，则，代入 例8 已知分式方程的解为非负数，求a的取值范围 解析：方程两边同时乘以得 由题意得，，且 ，且． 例9 某市在旧城改造过程中，需要整修一段全长2400m的道路．为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际工作效率比原计划提高了20%，结果提前8小时完成任务．求原计划每小时修路的长度． 思路点拨：设原计划每小时修路x m，则实际每小时修路m，因此原计划需要小时完成任务，实际只用小时即可，利用实际比原计划提前8小时完成任务列方程。 解析：设原计划每小时修路x m， 则根据题意可得， 解得， 经检验，x＝50是原方程的解． 答：原计划每小时修路50米．学生活动三 小组合作完成相应练习，交流解题方法。活动意图说明 通过设置恰当的、有一定梯度的题目，关注学生知识技能的发展和不同层次的需求．
板书设计
课堂练习 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列函数中，自变量x的取值范围是的函数是（ B ） A． B． C． D． 2．已知 ，则 的值是（ C ） A． B． C．2 D．-2 3．分式化简后的结果为（ B ） A． B． C． D． 4．若分式有意义，则x的取值范围是[]． 5．当x＝[-1]时，分式无意义，当x＝[1]时，分式的值为0． 6．分式的值是整数，则正整数的值等于[2或3或5]． 7．若式子有意义，则实数x的取值范围是 [x≤1且x≠-2]． 选做题 8被誉为“世界杂交水稻之父”的“共和国勋章”获得者袁隆平，成功研发出杂交水稻，杂交水稻的亩产量是普通水稻的亩产量的2倍．现有两块试验田，块种植杂交水稻，块种植普通水稻，块试验田比块试验田少4亩． (1)块试验田收获水稻9600千克、块试验田收获水稻7200千克，求普通水稻和杂交水稻的亩产量各是多少千克？ (2)为了增加产量，明年计划将种植普通水稻的块试验田的一部分改种杂交水稻，使总产量不低于17700千克，那么至少把多少亩块试验田改种杂交水稻？ 答案：(1)普通水稻亩产量是600千克，杂交水稻的亩产量是1200千克． (2)至少把B块试验田改亩种植杂交水稻． 【综合拓展类作业】 9．阳春三月，草长莺飞，春花烂漫，为让学生们近距离接触大自然，积累写作素材，提高写作能力．永州某中学文学社组织学生到距离学校40千米的永州植物园参观，共租用了一辆大客车和一辆小汽车，两车同时从学校出发，已知小汽车速度是大客车的1.5倍，小汽车司机小李因不留神从植物园的大门驶过，后发现路况不对，只好停下车来向路人询问，方知已经驶过植物园7千米，于是立即调头，恰好在植物园的大门口与大客车相遇，已知小李因问路而耽误了6分钟，求两车的速度分别是多少？ 解：设大客车的速度为x千米/小时，则小汽车的速度为1.5x千米/小时， 由题意可知：， 解得x＝40， 经检验：x＝40是原方程的根． 答：大客车的速度为40千米/小时，则小汽车的速度为60千米/小时．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列关于x的式子中，属于分式方程的是( C ) A. B.＝1 C.＝4 D.＋＝x 2．若分式有意义，则x的取值范围是( A ) A．x≠－3 B．x≠0 C．x≠ D．x≠3 3．化简－的结果是( C ) A．－x2＋2x B．－x2＋6x C．－ D. 4．解分式方程－＝0去分母时，方程两边同乘的最简公分母是[x(x＋1)]． 5．某种商品m千克的售价为n元，那么这种商品8千克的售价为[]元． 6.若x2＋3x＝－1，则x－＝[－2 ]． 7．若关于x的分式方程＝4的解是非负数，则b的取值范围是; [b≤12且b≠6]． 选做题 8.下面是小彬同学进行分式化简的过程，请认真阅读并完成相应任务． －＝－············第一步 ＝－···········第二步 ＝－···········第三步 ＝2x－6－2x－1···········第四步 ＝－7. ···········第五步 任务一： 以上化简步骤中，第 三 步是进行分式的通分，通分的依据是：分式的基本性质 任务二： 本题解答是否正确？不正确 ； 如果正确，请指出第四步变形的依据________， 如果错误，请写出该分式化简的正确步骤． 解：原式=－＝－ ＝－＝－ ＝＝＝－. 【综合拓展类作业】 9.为了维护交通安全，山西各地出台了电动自行车的相关规定，规定中要求驾驶人和乘坐人员应该佩戴安全头盔．某商店用1 800元购进一批电动自行车头盔，销售发现供不应求，于是，又用7 200元再购进一批头盔，第二批头盔的数量是第一批的3倍，但单价比第一批贵20元． (1)第一批头盔的进货单价是多少元？ (2)若两次购进头盔按同一价格销售，两批全部售完后，获利不少于4 200元，那么销售单价至少为多少元？ 解：(1)设第一批头盔的进货单价为x元，则第二批头盔的进货单价为(x＋20)元． 根据题意，得＝3×，解得x＝60. 经检验，x＝60是原方程的根，故符合题意． 答：第一批头盔的进货单价为60元． (2)设销售单价为y元，由题意可知两次购进的总数量为4×＝120(个)， ∵总利润不少于4 200元， ∴120y－(1 800＋7 200)≥4 200，解得y≥110. 答：销售单价至少为110元．
教学反思
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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版 册、章 下册第五章
课标要求 1、通过分式和分式方程描述数量关系的过程，体会模型思想，建立符合意识，发展合理推理，体会数学基本思想。2、能结合具体情境发现并提出数学问题，尝试用不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效的解决问题。3、经历从具体情境中抽象出符号的过程，认识分式和分式方程，掌握必要的运算技能，探索具体问题中的数量关系。4、能积极参与数学活动，对数学有好奇心和求知欲，有克服困难的意识，具备学好数学的信心。
内容分析 本章是继整式之后对代数式的进一步的研究，主要内容为：①分式的概念和基本性质，分式的约分和通分，以及分式的加、减、乘、除、乘方的运算；②可化为一元一次方程的分式方程；③零指数幂和负整数指数幂。分式不同于整式的另一种有理式，是代数式中最重要的基本概念，分式方程是另一种有理方程，解分式方程比解整式方程更为复杂，然而分式或分式方程更适合某些问题的数学模型，它们具有整式或整式方程不可替代的特殊作用。本章内容是数与代数的重要组成部分，是对整式和一元一次方程的深化和拓展。
学情分析 通过前期的学习，学生初步养成了自主探究意识，一方面，学生学习了整式的加减乘除的运算，具备了研究分式的基础知识和方法；另一方面，分式是分数的代数化，学生可以通过类比进行学习。另外，在学习本章之前，学习了一元一次方程和二元一次方程组，他们对整式方程特别是一元一次方程的解法及其基本思路比较熟悉，分式方程的未知数在分母中，它们的解法比以前学过的整式方程较复杂，随着问题复杂化的增加，学生需要不断提高认识问题的水平，这种认识水平的提高，是构建知识体系过程中不可缺少的。
单元目标 教学目标知识与技能1、掌握分式的定义，了解分式方程的定义。2、掌握分式的基本性质，能熟练的对分式进行约分和通分，熟练的进行分式的四则运算，能熟练的解可化为一元一次方程法人分式方程，理解增根的原因，会检验分式的根，能列出分式方程解决问题。3、理解并掌握零指数幂和负整数指数幂，能用科学计数法表示绝对值比较小的数，能进行分式的混合运算。过程与方法经历用字母表示现实情境中的数量关系（分式或分式方程）的过程，了解分式和分数方程的概念，体验分式或分式方程描述现实生活中数量关系的模型，发展符号感。经历通过观察、归纳、类比、猜想，获得分式的基本性质、分式四则运算法则。发展学生合理的推理能力和代数恒等变形能力。情感态度与价值观在学习过程中发展学生思维的缜密性，让学生感受分式的实际意义，从而激发学生学习分式的兴趣，增强学生的责任感。（二）教学重点、难点重点.掌握分式的基本性质，分式的四则运算、分式方程及其运用。难点：分式的混合运算，分式方程的运用。
单元知识结构框架及课时安排 单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数1认识分式12分式的基本性质13分式的乘除14同分母分式的加减15异分母分式的加减16分式方程（1）17分式方程（2）18回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识分式1、了解分式的概念，明确分式和整式的区别； 2、让学生经历用字母表示实际问题中数量关系的过程，体会分式是表示现实世界中的一类量的数学模型． 3、培养学生观察、归纳、类比的思维，让学生学会自主探索，合作交流．1、学生判断那些整式，掌握整式的分母不含有未知数。2、用分式表示数量3、学生体会分式的意义，熟悉判断分析的方法。4、学生自学例题，小组讨论分式在什么情况下：有意义、无意义，值为0，值为正数，值为负数。环节一：温故知新环节二：情景导入环节三：探究新知环节四：典例分析。分式的基本性质通过类比分数的基本性质，使学生理解和掌握分式的基本性质；掌握分式约分的方法；掌握什么是最简分式。2、使学生会用类比思想方法探究新知，培养类比转化的思维能力，使学生掌握分式的基本性质，培养正确进行分式变形的运算能力。3、情感目标：通过教学培养学生学习数学的兴趣。1、学生思考给出的两个代数式是否相等，判断的依据是什么？2、小组讨论利用类比思想得出分式的基本性质。3、自学例题1、2.得出分式约分的基本方法、约分的根据和约分的最终目标。环节一：旧知导入环节二：讲授新知分式的乘除1.类比分数的乘除运算探索分式的乘除运算法则。
2.会进行简单分式的乘除运算。3.能解决一些与分式乘除运算有关的简单的实际问题。4. 在故事情境中激发学生学习数学的兴趣，促进良好的数学观的养成。数学生活化，学好数学，为幸福人生奠基。1、回顾旧知，唤醒记忆。2、教师讲授例题，学生边学边练，并说出每一步的计算依据。3、用分式的知识解决实际问题，教师关注学困生环节一：知识回顾环节二：探究新知环节三：典例分析同分母分式的加减1、类比同分数加减法的法则归纳出同分母分式的加减法法则。2、理解同分母的分式加减法的运算法则，能进行同分母的分式加减及分母互为相反式的分式加减法运算。 3、通过学习认识到数与式的联系，理解事物拓延的内在本质，丰富数学情感与思想。学会如何做人。1、用分式表示数。2、完成同分母分数加减法计算。3、类比同分母分式加减计算。4、学习例题。总结：记得给多项式的分子添去括号，注意符号的变化，所得结果要化简；分母互为相反式时，改变一下运算符号即可变为同分母。5、完成边学边练。环节一：情景导入环节二：探究新知环节三：典例分析异分母分式的加减会找最简公分母，能进行分式的通分；理解并掌握异分母分式加减法的法则；经历异分母分式的加减运算和通分的探讨过程，训练学生的分式运算能力。培养学生在学习中转化未知问题为已知问题的能力和意识；进一步通过实例发展学生的符号感和用数学的意识。学生回答问题，2、小组讨论小明、小亮的解法。3、用类比的方法得出异分母分式加减法的计算法则。4、找出4小题的公分母。5、学生完成例题1中的（2）、（3）题。6、小组交流完成例题2。环节一：问题引入环节二：探究新知环节三：典例分析分式方程（1）1、知识与技能：理解分式方程的意义．理解解分式方程的基本思路和解法．2、过程与方法：理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程的验根方法．3、情感态度与价值观 ：通过学习，激发学生学习欲望，主动参与数学学习活动中，同时感悟数学来源于生活又用于生活。211回顾所学知识。给方程分类。3、判断那些方程是整式方程；那些是分式方程。4、根据题意用分式方程表示数量关系。5、类比整式方程的解法推导解分式方程得步骤。6、学生独立解答例题2、3、小组讨论解答例题3环节一：回顾知识环节二：探究新知环节三：典例分析分式方程（2）1、用分式方程的数学模型反映现实情境中的实际问题，并用它解决现实情境中的问题 2、经历运用分式方程解决实际问题的过程，发展抽象概括、分析问题和解决问题的能力. 3、通过创设贴近学生生活实际的现实情境，增强学生的应用意识，培养学生对生活的热爱．1、回顾旧知。2、学生逐个问题思考引入新课。3、小组合作完成例题1的学生并总结列分式方程解应用题的一般步骤。4、学生独立完成例题2的学习。环节一：回顾知识环节二：情景导入环节三：用分式方程解决实际问题。回顾与思考知识与技能：（1）使学生进一步熟悉分式的意义及分式的运算； （2）提高学生分式的基本运算技能．数学能力：（1）提高学生的运算能力，发展学生的合情推理能力；（2）注重学生对分式的理解，提高学生分析问题的能力．1、展示预习作业（知识架构图）。2、教师引导学生梳理知识，学生完成针对性练习。3、小组合作完成相应练习，交流解题方法环节一：知识架构环节二：知识梳理环节三：典例精析
《分式与分式方程》单元教学设计
活动一：温故知新
活动二：情景导入
任务一：认识分式
活动三：探究新知
分
式
与
分
式
方
程
活动四：典例分析
任务二：分式的基本性质
活动一：旧知导入
活动二：探究新知
活动一：知识回顾
任务三：分式的乘除
活动二：探究新知
活动三：典例分析
活动一：情景导入
任务四：同分母分式的加减
活动二：探究新知
活动三：典例分析
活动一：问题引入
活动二：探究新知
任务五：异分母分式的加减
活动三：典例分析
活动一：知识回顾
任务六：分式方程（1）
分
式
与
分
式
方
程
活动二：探究新知
活动三：典例分析
活动一：知识回顾
活动二：情景导入
任务七：分式方程（2）
活动三：用分式方程解决问题
活动一：知识架构
活动二：知识梳理
任务八：回顾与思考
活动三：典例精析
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