1.1直线的倾斜角与斜率 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

1.1直线的倾斜角与斜率 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．已知直线的一个方向向量为，则直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．如图，已知直线的斜率分别为，则（ ）
A． B．
C． D．
4．已知直线l过点且一个方向向量为，则l在y轴上的截距为（ ）
A． B．1 C． D．5
5．已知直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为，，则“"是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6．已知直线的倾斜角为，则（ ）
A． B． C． D．0
7．已知直线的倾斜角为，则的值是（ ）
A． B． C． D．
8．已知点，若过点的直线与线段相交，求直线的斜率的取值范围为（　）
A．或 B．或
C． D．
二、多选题
9．已知点，，斜率为k的直线l过点，则下列斜率k的取值范围能使直线l与线段相交的有（ ）
A． B． C． D．
10．已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　）
A． B． C． D．
11．已知直线，其中，，的图象如图所示，直线，的斜率分别为，，纵截距分别为，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知在直角坐标系中，等边的顶点A与原点重合，且AB的斜率为，则BC的斜率可能为（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．已知函数，若对任意的恒成立，则实数的取值范围是 ．
14．已知直线过点，则直线的斜率为 ．
15．已知直线过点、，则直线倾斜角大小为 .
四、解答题
16．已知坐标平面内三点，，.
(1)求直线，，的斜率和倾斜角；
(2)若为的边上一动点，求直线的斜率的取值范围.
17．已知坐标平面内两点.
(1)当直线的倾斜角为锐角和钝角时，分别求出的取值范围；
(2)若直线的方向向量为，求的值.
18．已知点，，，点Q是线段AB上的动点．
(1)求直线PQ的斜率的范围；
(2)求直线PQ的倾斜角的范围．
19．如图，已知三点，，．

(1)求直线AB，BC，CA的斜率；
(2)求直线BC，CA的倾斜角．
20．已知坐标平面内三点，，．
(1)求直线AB的斜率和倾斜角；
(2)若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，求点D的坐标．
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参考答案：
1．C
【分析】
设直线的倾斜角为，由题意得，可得倾斜角．
【详解】
设直线的倾斜角为，，
由直线的一个方向向量为，得，
则.
故选：C．
2．B
【分析】
根据直线斜率公式结合已知直线的方向向量可以直接求出直线的斜率.
【详解】因为直线的一个方向向量为，所以直线的斜率为.
故选：B
3．D
【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】
设直线的倾斜角分别为，
由题图知，直线的倾斜角为钝角，.
又直线的倾斜角均为锐角，且，
，
.
故选：D.
4．A
【分析】设l在y轴上的截距为，根据斜率公式列式求解即可.
【详解】因为直线l一个方向向量为，可知直线l的斜率，
设l在y轴上的截距为，即直线l过点，
则，解得.
故选：A.
5．D
【分析】由题意得，再结合必要不充分条件的定义、斜率与倾斜角的关系，特殊角的三角函数值即可得解.
【详解】由题意两直线均有斜率，所以，
当时，取，则，
但，即充分性不成立；
当时，取，则，
但，即必要性不成立；
综上，“”是“”的既不充分也不必要条件.
故选：D.
6．C
【分析】由直线斜率与倾斜角的关系，求的值.
【详解】直线的斜率为，所以，
解得.
故选：C.
7．B
【分析】根据直线的斜率求出，再利用余弦的二倍角公式、弦化切可得答案.
【详解】因为，
所以
.
故选：B.
8．A
【详解】由题知直线过定点，进而作出图形，数形结合求解即可得答案.
【分析】解：直线方程为转化为，
所以直线过定点，且与线段相交，如图所示，
则直线的斜率是，
直线的斜率是，
则直线与线段相交时，它的斜率的取值范围是或.
故选：A．
9．AB
【分析】根据题意，画出图象，结合斜率公式，即可求解.
【详解】根据题意，在平面直角坐标系中，作出A，B，P三点，如图所示．
当直线l与线段相交时，或，
所以斜率k的取值范围是或斜率不存在，
结合选项，选项A、B符合题意．
故选：AB．
10．BD
【分析】设轴上点或轴上点，根据斜率公式，列出方程，即可求解.
【详解】设轴上点或轴上点，
因为直线的倾斜角为，可得，得，
解得，故点的坐标为或.
故选：BD.
11．AC
【分析】根据倾斜角和斜率的关系以及截距的定义判断.
【详解】解：由图可知，，，
故选：AC．
12．AD
【分析】设AB的倾斜角，BC的倾斜角，其中，作出可能的图形，由图形得出与的关系，再由两角和的正切公式求得直线的斜率．
【详解】设AB的倾斜角，BC的倾斜角，如图所示：
或
则或，，
当时，，
当时，，
故选：AD．
13．
【分析】作出在内的图象，数形结合，将问题转化为斜率问题求解即可.
【详解】由得，作出在内的图象如图所示，
设，
直线恒过定点，
直线的斜率，直线的斜率，
所以数形结合可知，即的取值范围为．
故答案为：.

14．/
【分析】根据斜率公式可求斜率.
【详解】直线的斜率为，
故答案为：.
15．
【分析】
求出直线的斜率，即可得出直线的倾斜角.
【详解】设直线的倾斜角为，则，，故.
故答案为：.
16．(1)答案见解析
(2)
【分析】（1）由斜率公式计算出斜率，然后可得倾斜角；
（2）根据点移动时，直线夹在直线和直线之间，运动时不可能与轴垂直，由此可得斜率范围．
【详解】（1）解：因为，，，
由斜率公式，可得，
再由直线倾斜角的定义得：
直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，直线的倾斜角为.
（2）如图所示，当直线由绕点逆时针转到时，直线与线段恒有交点，
即在线段上，此时的斜率由增大到，
所以的取值范围为.
17．(1)答案见解析．
(2)
【分析】
（1）由斜率为正或为负求解；
（2）由坐标得方向向量，然后利用向量共线得结论．
【详解】（1）直线的倾斜角为锐角时，，解得，
直线的倾斜角为钝角时，，解得或，
所以直线的倾斜角为锐角时，，为钝角时，或；
（2）由已知，又直线的方向向量为，
所以，解得．
18．(1)
(2)
【分析】（1）两点式求直线的斜率，数形结合判断直线PQ的斜率的范围即可；
（2）由（1）所得斜率范围，结合倾斜角范围确定直线PQ的倾斜角的范围.
【详解】（1）如下图，，，
则直线PQ的斜率范围为.

（2）令直线倾斜角为，而直线对应倾斜角分别为，
则直线PQ的倾斜角范围为.
19．(1)，，；
(2)直线BC的倾斜角为，直线CA的倾斜角为.
【分析】
（1）利用两点式求直线斜率；
（2）由所求的对应直线斜率，结合倾斜角范围及斜率、倾斜角关系求倾斜角大小.
【详解】（1）直线AB的斜率；
直线BC的斜率；
直线CA的斜率．
（2）设直线BC的倾斜角为，由，则倾斜角．
设直线CA的倾斜角为，由，则倾斜角．
20．(1)直线AB的斜率为，倾斜角；
(2)
【分析】（1）由A，B的坐标可得直线AB的斜率及倾斜角；
（2）由平行四边形利用向量的相等，可得D的坐标.
【详解】（1）因为，，可得，
所以可得倾斜角为；
（2），，．
设，若A，B，C，D可以构成平行四边形，且点D在第一象限，

可得，即，解得，
即点D的坐标为
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