1.2直线方程 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

1.2 直线方程 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点，过点P向直线：和：作垂线，垂足分别为点M，N，则线段MN的长是（ ）
A． B． C． D．
2．已知两点，，动点在线段AB上运动，则xy的最大值为（ ）
A． B． C．3 D．4
3．已知直线经过点，且与直线垂直，则直线的方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．在平面直角坐标系中，是坐标原点，设函数的图象为直线，且与轴、轴分别交于、两点，给出下列四个命题：
①存在正实数，使的面积为的直线仅有一条；
②存在正实数，使的面积为的直线仅有二条；
③存在正实数，使的面积为的直线仅有三条；
④存在正实数，使的面积为的直线仅有四条．
其中，所有真命题的序号是（ ）．
A．①②③ B．③④ C．②④ D．②③④
5．设，对于直线：，下列说法中正确的是（ ）
A．的斜率为 B．在轴上的截距为
C．不可能平行于轴 D．与直线平行
6．如图所示，直线与的图象只可能是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，则（ ）
A． B． C． D．
8．在平面直角坐标系中，点在直线上.若向量，则在上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．下列说法正确的是（ ）
A．直线必过定点
B．直线在y轴上的截距为1
C．直线的倾斜角为
D．点，直线与线段相交，则实数m的取值范围是或
10．对于直线：，下列说法错误的是（ ）
A．直线恒过定点 B．直线斜率必定存在
C．时直线的倾斜角为 D．时直线在轴上的截距为
11．已知直线l：，则（ ）
A．直线l过点 B．直线l的斜率为
C．直线l的倾斜角为 D．直线l在轴上的截距为1
12．已知点，，直线：与线段有交点，则可以为（ ）
A．6 B．2 C．1 D．-1
三、填空题
13．已知直线：的倾斜角为，则 .
14．设直线与曲线有三个不同的交点A，B，C，且，则直线的方程为 .
15．方程所表示的曲线围成的图形面积为 .
16．是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足，点E是BD所在直线上一点，若，则 ；向量在向量上的投影向量记为，则实数m的取值范围为 ．
四、解答题
17．设直线l的方程为．
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)若，直线l与x、y轴分别交于M、N两点，求△OMN面积取最值时，直线l的方程．
18．已知直线方程为(m－1)x＋(m＋2)y－3－3m＝0.
(1)求证：无论m为何值，直线一定经过第一象限；
(2)若直线分别与x轴、y轴的正半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时直线的方程.
19．已知直线方程为，其中．
(1)当变化时，求点到直线的距离的最大值；
(2)若直线分别与x轴、y轴的负半轴交于A，B两点，求△AOB面积的最小值及此时的直线方程．
20．已知直线过点．
(1)若直线在轴上的截距、在轴上的截距的满足，求直线的方程；
(2)若直线与两坐标轴的正半轴分别交于，两点，为坐标原点，当的面积最小时，求直线的方程．
21．如图，在两条互相垂直的道路，的一角有一个电线杆，电线杆底部到道路的垂直距离为4米，到道路的垂直距离为3米，现在要过电线杆的底部靠近道路的一侧修建一条人行直道，使得人行道与两条垂直的道路围成的直角三角形的面积最小，则人行道的长度为多少米．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】根据题意得到四点共圆，且圆的直径为OP，且此圆也为的外接圆，由正弦定理进行求解.
【详解】如图，∵，，
∴四点共圆，且圆的直径为OP，且此圆也为的外接圆，
设半径为，则，
在中，由正弦定理得，
∴，
又，的倾斜角分别是，
∴，而，
∴.

故选：C
2．C
【分析】先写出直线AB的方程；再利用基本不等式即可求解.
【详解】由，可得：，
则直线AB的方程为：，即.
又因为动点在线段AB上运动，
所以，
则，当且仅当，即，时等号成立，
所以.最大值为3.
故选：C.
3．D
【分析】根据垂直关系设出直线的方程，代入点求出答案.
【详解】直线与直线垂直，
设直线的方程是
将代入直线中，，解得，
故直线的方程为.
故选：D.
4．D
【分析】
根据题意，求得的面积为，结合基本不等式，求得时，得到当且仅当时，等号成立，所以；当时，时，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】
由正弦与和轴交点的坐标分别为，
所以的面积为，
当时，，
当且仅当时，等号成立，所以，
所以，当，结合对勾函数性质，在时有两个值，
当时，，
当且仅当时取等号，当时，在时，有两个值，
所以，当时，，则直线过原点，不存在的面积为，所以故①不正确；
当时，仅有两条直线使的面积为，所以②正确；
当 时，仅有三条直线使的面积为，所以③正确；
当时，仅有四条直线使的面积为，所以④正确；
综上所述，真命题的序号是②③④.
故选：D.
5．B
【分析】
将直线变形结合斜率、截距的概念即可分别判断AB，令即可排除CD.
【详解】直线：即，它的斜率为，在轴上的截距为，故A错，B对，
令，则直线：与轴平行，且与直线垂直，故CD错误.
故选：B.
6．D
【分析】
根据两直线分别经过第几象限，对应的一次项系数和常数项需要满足的条件对选项一一判断即可得出答案.
【详解】对A，由经过第一，四，三象限，可知，，
由过第一，二，三象限知，，故本选项错误；
对B，由经过第一，二，四象限，可知，，
由过第一，二，三象限知，，故本选项错误；
对C，由经过第一，三，四象限，可知，，
由过第一，三，四象限知，，故本选项错误；
对D，由经过第一，二，四象限，可知，，
由过第一，二，四象限知，，故本选项正确；
故选：D.
7．B
【分析】根据直线方程求出直线的斜率，进而求出倾斜角，最后得出答案.
【详解】直线的斜率为，所以倾斜角为，
因为直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，所以.
故选：B.
8．C
【分析】确定直线的方向向量，结合数量积的运算判断出为直线的法向量，结合投影向量的含义即可求得答案.
【详解】由题意设直线的方向向量为，则，
而，则，即为直线的法向量，
又O到直线的距离为，
故在上的投影向量为，

故选：C
9．AC
【分析】根据直线过定点、纵截距、倾斜角、数形结合等知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，过定点，A选项正确.
B选项，直线即，纵截距为，B选项错误.
C选项，直线的斜率为，
倾斜角为，C选项正确.
D选项，直线即过定点，
画出图象如下图所示，
其中，
直线的斜率为，所以或，
解得或，所以D选项错误.
故选：AC

10．BC
【分析】求出直线过定点坐标即可判断A，当时斜率不存在，即可判断B，求出直线的斜率，从而得到倾斜角，即可判断C，求出直线与轴的交点，即可判断D.
【详解】直线，令，则，所以直线恒过定点，故A正确；
当时，直线斜率不存在，故B不正确；
当时直线，即，则直线的斜率为，
所以直线的倾斜角为，故C不正确；
当时直线，令，解得，即直线在轴上的截距为，故D正确；
故选：BC．
11．ACD
【分析】根据直线方程逐项分析判断即可.
【详解】直线l：，即直线l：，
令，可得，即直线l过点，故A正确；
可知直线l的斜率为，故B错误；
设直线l的倾斜角为，可知，
所以，即直线l的倾斜角为，故C正确；
直线l在轴上的截距为1，故D正确；
故选：ACD.
12．ABC
【分析】求得直线恒过定点，求得斜率，结合图象可求得的范围，进而可得结果.
【详解】由直线：，可得，
故过定点，斜率为，
所以而的斜率不存在，
结合图形可知：，即.
故选：ABC.
13．
【分析】根据直线倾斜角与斜率的关系可得，再根据同角三角函数的关系求解即可.
【详解】，
，
故答案为：
14．
【分析】依题意，求出曲线的对称中心，再将与联立，写出韦达定理，利用弦长公式求出值，即得直线方程.
【详解】因是奇函数，图象关于原点对称，故曲线 关于点对称.
由于直线与曲线的三个交点为A，B，C，且，故由对称性知.
又因直线不符合题意，故可设，B，C两点的横坐标分别为，
将直线与联立，可得，即
则为方程的两根，于是，
由，可得，
即，从而整理得
因为，所以，于是直线的方程为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：本题主要考查三次函数的对称性和弦长问题，属于较难题.
解题关键在于，结合函数解析式特点，迅速判断函数图象为中心对称图形，求得点坐标，设出直线方程，与曲线方程联立消元后，借助于弦长公式即可求得值.
15．18
【分析】分类作出图形即可求解.
【详解】当时，原方程为；
当时，原方程为；
当时，原方程为；
当时，原方程为.
作出上述四个方程图象如图：
由图可知，所求面积为.
故答案为：18
16． 2
【分析】建立适当的平面直角坐标系，可得点的坐标（用中的参数表示），结合点E是BD所在直线上一点，即可得第一空答案；由题意，利用投影数量的几何意义可求其范围.
【详解】
由题意以点为原点，所在直线分别为轴，轴，
因为是等腰直角三角形，∠A＝90°，，点D满足，
所以，即，
设点的坐标为，
所以，
所以点的坐标为，
因为点在直线上面，
所以，即，
所以（这里的是指中的）；
因为向量在向量上的投影向量记为，
所以，
如图，于，过作直线平行于，过作该直线的垂线，垂足为，
当为锐角时，，当且仅当重合时等号成立；
当为直角时，；
当为钝角时，即，
综上，.
【点睛】关键点睛：第一空的关键是得点坐标，结合三点共线，第二空的关键是将问题转换为方程有解即可顺利得解.
17．(1)或
(2)
【分析】（1）根据题意，求出在两个坐标轴上的截距，求出，表达出来直线方程；（2）由（1）和，利用△OMN面积取最值，求出的值，表达直线方程.
【详解】（1）由，令，令，
由直线方程在两坐标轴上的截距相等，则，解得或，
故直线方程：或
（2）由（1）可知，，
当且仅当，即取等号.
即直线方程：.
18．(1)证明见解析
(2)面积的最小值是4，此时直线的方程为2x＋y－4＝0
【详解】（1）证明：（m－1）x＋（m＋2）y－3－3m＝0可化为（x＋y－3）m＝x－2y＋3.由得∴直线必过定点（1，2），所以直线一定经过第一象限.
（2）解：（解法1）设直线的斜率为k，则其方程为y－2＝k（x－1）（k＜0），∴OA＝1－，OB＝2－k，∴S△AOB＝·OA·OB＝|（1－）（2－k）|＝|－|.∵k＜0，∴－k＞0，∴S△AOB＝ [－]＝ [4＋（－）＋（－k）]≥ [4＋2]＝4，当且仅当－＝－k，即k＝－2时取等号，∴△AOB面积的最小值是4，此时直线的方程为y－2＝－2（x－1），即2x＋y－4＝0.
（解法2）设直线l的方程为＋＝1，其中a＞0，b＞0，∵直线l过点P（1，2），∴＋＝1≥2，当且仅当＝时取等号，∴ab≥8，∴S△AOB＝ab≥4，当＝时取等号.由＝，＋＝1，得a＝2，b＝4，∴直线l的方程为2x＋y－4＝0.
19．(1)
(2)△AOB面积的最小值为4，此时的直线方程.
【分析】（1）把直线方程整理成关于的方程，由恒等式知识可得定点坐标，点到直线的距离的最大时，一定有与该直线垂直，可得结论．
（2）求出直线与两坐标轴交点坐标，得三角形面积，然后由基本不等式得最小值及参数值．
【详解】（1）直线方程为，
可化为，
令，解得，所以直线恒过定点.
设定点为，当变化时，与该直线垂直时，点到直线的距离最大，
可知点与定点的连线的距离就是所求最大值，为
（2）由于直线经过定点，直线的斜率存在且，
可设直线方程为可得与轴 轴的负半轴交于，两点，∴，，解得.
∴，
当且仅当时取等号，面积的最小值为4，
此时直线的方程为：，即：.
20．(1)或
(2)
【分析】
（1）分直线过原点和不过原点，利用截距式直线方程解题即可；
（2）利用点斜式直线方程以及基本不等式解题即可.
【详解】（1）根据题意：直线在轴上的截距是在轴上的截距的3倍，
当直线不过原点时，设直线为，
将代入可得，
所以直线的方程为；
当直线过原点时，直线的斜率为，
所以直线的方程为即．
综上，直线的方程为或；
（2）设直线的方程为，
所以，，
所以，
当且仅当时，，（舍），
所以直线的方程为即．
21．10
【分析】建立平面直角坐标系，设出直线方程为，分别写出点坐标，进而根据三角形面积公式结合均值不等式求解即可.
【详解】如图建立平面直角坐标系，
根据题意设人行道所在直线方程为，
所以，，
所以的面积，
因为，所以，
当且仅当，即时取等号，
此时，，
所以人行道的长度为 米.
答案第1页，共2页
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