1.3两条直线的位置关系 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

1.3 两条直线的位置关系 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知直线：，：若，则实数（ ）
A．或 B． C． D．与
2．若直线：与直线：平行，则的值为（ ）
A．2 B． C．2或 D．或
3．过点且与直线平行的直线方程是（ ）
A． B．
C． D．
4．直线，直线与平行，且直线与垂直，则（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．已知命题：，使得斜率存在的两直线与垂直，若命题是真命题，则实数的值为（ ）
A． B． C． D．或
6．已知两条不重合的直线和．若，则实数的值为（ ）
A． B． C．1 D．或1
7．已知直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
8．若直线与直线垂直，则实数a的取值是（ ）
A．或 B．
C． D．
二、多选题
9．已知两条直线的方程分别为与，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则
B．若，则两条平行直线之间的距离为
C．若，则
D．若，则直线一定相交
10．（2023秋·河北石家庄·高二石家庄市第四中学校考阶段练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（ ）
A．
B．
C．以点为直角顶点的直角三角形
D．以点为直角顶点的直角三角形
11．已知直线与直线，下列说法正确的是（）
A．当时，直线的倾斜角为
B．直线恒过点
C．若，则
D．若，则
12．已知直线，则下列结论正确的是（ ）
A．若直线与直线平行，则
B．直线倾斜角的范围为
C．当时，直线与直线垂直
D．直线过定点
三、填空题
13．设直线l经过点，则当点与直线l的距离最远时，直线l的方程为 ．
14．直线：，：它们的夹角为
15．在直角坐标系xOy上有两点 ，给定三个条件：①，②，③.请从上述三个条件中选出两个分别填在下列空白处（只填代号），使其构成一个真命题：当且仅当 .
16．已知直线与互相平行，则 ，与之间的距离为 .
四、解答题
17．已知直线的方程为，若在轴上的截距为，且．
(1)求直线的方程；
(2)已知直线经过与的交点，且在轴上截距是在轴上的截距的2倍，求的方程．
18．已知的顶点，的平分线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
(1)求直线的解析式；
(2)求顶点的坐标．
19．已知在平面直角坐标系中，已知的三个顶点为，，，求：
(1)所在直线的方程；
(2)边上的高所在直线的方程.
20．已知直线．
(1)若直线与直线垂直，且经过，求直线的斜截式方程；
(2)若直线与直线平行，且与两坐标轴围成的三角形的面积为2，求直线的一般式方程．
21．在中，BC边上的高所在直线的方程为，的平分线所在直线方程为，若点B的坐标为（1，2）.
(1)求点A和点C的坐标；
(2)求AC边上的高所在的直线l的斜截式方程.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】依据直线平行的公式计算可求出的值，注意检验直线重合.
【详解】，，解得：或.
当时，直线：，直线：，两直线重合；
当时，经检验，满足题意；
综上，.
故选：C
2．C
【分析】依题意可得，求出的值，再检验即可.
【详解】直线：与直线：平行，
则，解得或，
当时，此时直线：与直线：平行，
当时，此时直线：与直线：平行，
故或
故选：C
3．A
【分析】根据直线与（）平行，先设出所求直线方程，代入已知点的坐标，可求待定系数.
【详解】设与直线平行的直线方程是，
代入点，得，解得，
所以所求的直线方程是．
故选:A
4．B
【分析】
根据求出的值，即可得出答案.
【详解】因为直线与平行，
并且直线，所以，.
又因为直线与垂直，所以，.
所以.
故选：B.
5．A
【分析】
根据两直线垂直的关系可构造方程组求得的值，结合两直线斜率存在可得到结果.
【详解】若两直线垂直，则，解得：或，
当时，直线可化为，即斜率不存在，不合题意；
当时，两直线斜率均存在，满足题意；
若命题是真命题，则.
故选：A.
6．B
【分析】
根据平行可解得实数，验证可得正确的选项.
【详解】因为，故，故或，
当时，的方程均为，它们重合，故舍去；
当时，，，它们平行，
故选：B.
7．B
【分析】根据直线的垂直关系可得，利用基本不等式即可求得答案.
【详解】因为直线与直线垂直，
所以，即，所以，
当且仅当或时等号成立．
即的最小值为4，
故选：B
8．A
【分析】由两直线垂直的条件，列方程求实数a的值.
【详解】直线与直线垂直，
则有，解得或，
故选：A．
9．ACD
【分析】A选项，根据平行关系得到方程，得到，检验后A正确；B选项，根据平行线间距离公式求出B错误；C选项，根据垂直关系得到方程，求出答案；D选项，由A选项可知D正确.
【详解】对于，两条直线的方程分别为与，
当，则，解得，经检验，满足两直线平行，故A正确；
对于，若，则，所以平行线间的距离，故错误；
对于，当，则，解得，故正确；
对于D，由选项A得：当，则直线一定相交，故D正确.
故选：ACD.
10．AC
【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断.
【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，
对于B，因为，所以，所以B错误，
对于C，因为，，所以，
所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确，
对于D，因为，，所以，所以D错误，
故选：AC
11．BD
【分析】利用直线斜率与倾斜角的关系判断A，利用直线过定点的求解判断B，利用直线平行与垂直的性质判断CD，从而得解.
【详解】A中，当时，直线的斜率，设其倾斜角为，
所以，则，所以A不正确；
B中，直线，整理可得，
令，可得，
即直线恒过定点，所以B正确；
C中，当时，两条直线方程分别为：，
则两条直线重合，所以C不正确；
D中，当时，两条直线方程分别为：，
显然两条直线垂直，所以D正确.
故选：BD.
12．BC
【分析】选项A，由两直线斜率都存在，利用斜率相等且截距不等求解即可；选项B，由斜率与倾斜角关系，先求斜率范围再得倾斜角范围；选项C，利用斜率关系可得；选项D，令求解可得.
【详解】选项A，存在斜率，
直线方程可化为：，
直线也存在斜率，方程可化为，
由，则两直线平行的充要条件为，
即解得或，故A错误；
选项B，由直线的斜率，
则倾斜角的范围为，故B正确；
选项C，当时，直线，斜率为，
又直线的斜率为，则两直线斜率之积为，故两直线垂直，C正确；
选项D，，令，得，
故直线过定点，不过，D错误.
故选：BC.
13．
【分析】由题可知当直线时，点与直线的距离最大，即求直线方程.
【详解】当直线时，点与直线的距离最大，
此时直线的斜率为，
所以直线的斜率为.
所以此时的方程为,即为.
故答案为：.
14．
【分析】直接利用夹角公式得到答案.
【详解】设两条直线的斜率为的斜率为，
这两条直线的夹角为，则，
由两条直线的夹角公式得，所以.
故答案为：.
15．或
【分析】找出互为充要条件的两个条件即可得.
【详解】若①成立，则有，
即，故①是②的充分条件，
但当时，③不成立，故①不是③的充分条件；
若②成立，则有，
故，故②是①的充分条件，
但当时，③不成立，故②不是③的充分条件；
故①与②互为充要条件.
故答案为：或.
16．
【分析】根据直线平行的充要条件和平行直线的距离公式可得.
【详解】因为直线与互相平行，
所以，解得，
则，
所以与之间的距离.
故答案为：；.
17．(1)
(2)或
【分析】（1）根据两直线垂直的关系求得直线的斜率，再利用直线的斜截式即可得解；
（2）联立与的直线方程，求得它们的交点，再利用截距式与待定系数法即可得解.
【详解】（1）由直线的方程为，，可得直线的斜率为，
又在轴上的截距为，
所以直线的方程为.
（2）联立，解得，
因为直线在轴上截距是在轴上的截距的2倍，且过点，
当直线过原点时，方程为：，
当直线不过原点时，设方程为，，
则，解得，
故方程为，即；
综上所述：的方程为或.
18．(1)；
(2).
【分析】（1）先根据得，根据点斜式可得直线的直线方程；
（2）先求出直线的方程，联立即得点坐标.
【详解】（1）因为直线所在直线方程为，所以，
，
则直线的方程为，即．
（2）联立，解得，所以.
由的平分线为知，，
则直线的方程为，即．
联立，解得.
所以.
19．(1)；
(2).
【分析】（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.
（2）利用垂直关系结合（1）求出直线的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即得.
【详解】（1）由，，得直线的斜率为，
所以所在直线的方程为，即.
（2）由（1）知，直线的斜率为，而，
则边上的高所在直线的斜率为，
所以直线的方程为，即.
20．(1)
(2)
【分析】（1）根据垂直设，代入得到直线方程，再化成斜截式即可；
（2）设，得到面积表达式求出值即可.
【详解】（1）由题意设直线的方程为:，
由直线经过得:，解得:，
直线的方程为:，即.
（2）由题意设直线的方程为:，
令，则;令，则，
所以直线两坐标轴围成的三角形的面积三角形的面积，
解得:，
所以直线的一般式方程为.
21．(1)，
(2)
【分析】（1）先求出A的坐标，再求出AC所在直线方程和BC所在直线方程，最后联立方程求出C的坐标；
（2）先求出直线l的斜率，再求出直线l的斜截式方程.
【详解】（1）由已知A是BC边上的高所在直线与的角平分线所在直线的交点，
由，得，故，
又因为,所以直线AB和直线AC的倾斜角互补，所以
又
所以AC所在直线方程为，BC所在直线方程为，
由，得，
所以点A和点C的坐标为，；
（2）由（1）知AC所在直线方程为，
所以直线l的斜率为，
因为，所以直线l所在的方程为，即，
所以直线l的斜截式方程为.
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