1.4点到直线的距离 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

1.4 点到直线的距离 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为（ ）
A． B． C． D．2
2．已知点是圆上的两点，若，则的最大值为（ ）
A．16 B．12 C．8 D．4
3．平行直线与之间的距离为（ ）
A． B． C． D．
4．若点到直线的距离为4，则（ ）
A．2 B．3 C．5 D．7
5．已知直线l的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为，则直线l的方程为（　　）
A．y＝6x＋ B．y＝6x＋6
C．y＝6x±6 D．y＝6x－6
6．如图，直线交x轴于A点，将一块等腰直角三角形纸板的直角顶点置于原点O，另两个顶点M，N恰好落在直线上，若点N在第二象限内，则的值为（ ）
A． B． C． D．
7．已知直线l：，点、，设，，下列条件中可以推出直线l与线段AB的延长线相交的是（ ）
A． B． C． D．
8．点关于直线对称的点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知直线，直线，则（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时，与之间的距离为1 D．直线过定点
10．已知直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则或
C．原点到直线的最大距离为 D．若的倾斜角分别为，且，则
11．已知直线：，下列说法正确的是（ ）
A．直线过定点
B．当时，关于轴的对称直线为
C．点到直线的最大距离为
D．直线一定经过第四象限
12．若直线：，：，：，：，则（ ）
A． B．与之间的距离为
C． D．与的倾斜角互补
三、填空题
13．设直线，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点．若，则的值为 ．
14．已知△ABC的三个顶点分别是A(1,3)，B(3,1)，C(－1,0),则△ABC的面积为 .
15．已知，，则两点间的距离为 .
16．已知的三个顶点的坐标为、、，则边上的高所在的直线方程是 ；的面积是 .
四、解答题
17．在平行四边形中，，边所在直线的方程分别为和．
(1)求边所在直线的方程和点到直线的距离；
(2)求线段垂直平分线所在的直线方程；
(3)求过点且在轴和轴截距相等的直线方程．
18．已知三条直线和，且与的距离是．
(1)求的值；
(2)能否找到一点，使同时满足下列三个条件：①点是第一象限的点；②点到的距离是点到的距离的；③点到的距离与点到的距离之比是，若能，求点的坐标；若不能，请说明理由．
19．已知直线：，：，其中为实数.
(1)当时，求直线，之间的距离；
(2)当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程.
20．已知的三个顶点，，．
(1)求边上中线所在直线的方程；
(2)已知点满足，且点在线段的中垂线上，求点的坐标．
21．已知等腰的一个顶点在直线：上，底边的两端点坐标分别为，．
(1)求边上的高所在直线方程；
(2)求点到直线的距离．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】根据光学的性质，根据对称性可先求关于直线的对称点，后求直线，可得、两点坐标，进而由可得.
【详解】如图，设点关于直线的对称点为，
则得，即，
由题意知与直线不平行，故，
由，得，即，
故直线的斜率为，
直线的直线方程为：，
令得，故，
令得，故由对称性可得，
由得，即，
解得，得或，
若，则第二次反射后光线不会与轴相交，故不符合条件．
故，
故选：B
2．B
【分析】题目转化为、到直线的距离之和，变换得到，利用数形结合转化求解即可．
【详解】因为，、，在圆上，，
因为，则是等腰直角三角形，
表示、到直线的距离之和的倍，
原点到直线的距离为，如图所示：
，，是的中点，作于，
且，，，
，当且仅当三点共线，且在的两侧时等号成立，
又，故的最大值为
的最大值为．
故选：B．
3．C
【分析】先通过平行求出，再利用平行线的距离公式求解.
【详解】因为，所以，，
解得，所以，
故两平行直线间的距离．
故选：C．
4．D
【分析】根据点到直线距离公式列出方程，求出答案.
【详解】点到直线的距离为4，
可得，解得.
故选：D.
5．C
【详解】
解析：设所求直线l的方程为y＝6x＋b.令x＝0，∴ y＝b，与y轴的交点为（0，b）；令y＝0，∴ x＝－，与x轴的交点为（－，0）.∵ 被两坐标轴所截得的线段长为，∴ （－）2＋b2＝37，解得b＝±6，因此所求直线方程为y＝6x±6.
6．A
【分析】
过O作于C，过N作于D，根据等面积求出，运用在直角三角形等知识求出结果.
【详解】设直线与y轴的交点为B，过O作于C，过N作于D，
因为N在直线上且在第二象限内，设，
则，又，即，
所以，在中，由三角形的面积公式得：，
所以，
在中，，所以，
即，
在中，，即，
解得：，因为N在第二象限内，所以，
所，所以，
故选：A.
7．C
【分析】
根据已知条件，利用点与直线位置关系对选项逐一分析判断，即可得到本题的答案．
【详解】
对于A，因为，此时有，
则,故直线l与线段所在直线平行；故A错误；
对于B，当时，，即 ，
即，在直线上，，不在直线上，不合题意，B错误；
对于C，由，得到，则有，
由直线分平面区域的点满足“同侧同号，异侧异号”，可知点、分布在直线的同侧，
且由，得到，
所以，则到直线的距离大于到直线的距离，即直线l与线段的延长线相交，所以C正确，
对于D，由，得到，
由直线分平面区域的点满足“同侧同号，异侧异号”，可知点、分布在直线的两侧，选项D错误；
故选：C
8．D
【分析】设所求对称点的坐标为，根据垂直平分列方程组求解即可.
【详解】设所求对称点的坐标为，
则，解得，
故点关于直线对称的点的坐标为.
故选：D.
9．BC
【分析】
通过的取值结合选项验证可得A,B,C的正误，利用求直线过定点的方法可得D的正误.
【详解】对于A，时，，显然与不垂直，A不正确；
对于B，时，，因为，所以，B正确；
对于C，当时，且，解得，
此时，与之间的距离为，C正确；
对于D，，令，解得，
所以直线过定点，D不正确.
故选：BC.
10．AC
【分析】
根据直线垂直和平行得到关于的方程，解出即可判断AB，求出所过定点即可求出最大值，从而判断C；首先排除斜率不存在的情况，再利用二倍角的正切公式得到关于的方程，解出即可.
【详解】对A，若，则，解得，故A正确；
对B，若，则且，解得，故B错误；
对C，因为，则过定点，
所以原点到直线的距离，所以的最大值为，故C正确；
对D，的倾斜角为，若时，与轴垂直，所以，
而，所以，此时直线的斜率为，
所以，所以，与假设矛盾，所以，所以直线的斜率存在，
即，由得，
所以，得到，解得，
当，直线斜率均为负数，倾斜角都为钝角，不满足，故D错误.
故选：AC.
11．ABC
【分析】
化简直线方程，联立方程组，可判定A正确；由直线，结合对称性和直线方程，可判定B正确；结合直线时，点到直线的距离最大，可判定C正确；根据直线不一定经过第四象限，可判定D错误.
【详解】
对于A，由直线，可得，
联立方程组，解得，所以直线过定点，所以A正确；
对于B，当时，直线，
在直线上取两点，则点关于轴对称的点，
点关于轴对称的点，
所以关于轴对称直线为，即，所以B正确；
对于C，由A项知直线过定点，
则当直线时，点到直线的距离最大，
最大距离为，所以C正确；
对于D， 直线不一定经过第四象限，比如：当时，直线：不经过第四象限，所以D错误.
故选：ABC.
12．BCD
【分析】根据直线方程判断直线的平行关系，可判定AC的真假；根据平行线的距离公式，判断B的真假；根据倾斜角和斜率的关系，判断D的真假.
【详解】由，得，所以与重合，，A错误，C正确．
与之间的距离为，B正确．
因为与的斜率互为相反数，所以与的倾斜角互补，D正确．
故选：BCD
13．
【分析】先求得点关于的对称点A，再由入射点P的坐标，再由点A，P，M三点共线，求得点M的坐标，再求得点P关于x轴的对称点，再根据三点共线求得点N的坐标求解.
【详解】解：如图所示：
点关于的对称点为，
由，解得，所以，
因为点A，P，M三点共线，则，
令，得，所以，
点P关于x轴的对称点，
因为点三点共线，则，
令，的，所以，
所以，
解得或（舍去），
故答案为：
14．5
【详解】
由题知AB＝＝2，边AB所在直线的方程为＝，即x＋y－4＝0，所以点C（－1，0）到直线AB的距离d＝＝，因此S△ABC＝×2×＝5.
15．10
【分析】
根据题意，由两点间距离公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】，，
则两点间的距离为：.
故答案为：10.
16． 24
【分析】（1）先求出直线的斜率，进而得边上的高的斜率，由点斜式写出方程即可；
（2）先求出及直线方程，再由点到直线距离公式求得到的距离，即可求得面积.
【详解】由，则边上的高的斜率3，
又经过点，故方程为，化简为；
又，
直线的方程为，整理为，
而点到的距离为，
则的面积为.
故答案为：，24
17．(1)；
(2)；
(3)和．
【分析】
（1）直线BC和直线AD平行，据此求出BC斜率，再根据BC过C，根据直线点斜式方程即可求解，再根据点到直线距离公式可求A到直线BC的距离；
（2）求出AC的斜率并求出线段AC中点坐标，根据点斜式方程即可求解；
（3）根据题意利用点斜式方程，表示出直线的横截距和纵截距，列方程即可求解．
【详解】（1）由的方程为，
可得直线的斜率为3，又经过点，
则直线的方程为，即；
点到直线的距离为；
（2）由，可得的中点坐标为，
又直线的斜率为，则线段垂直平分线斜率为，
则其所在的直线方程为，即为；
（3）由，解得，
由题意可得所求直线的斜率存在且不为0，
设所求直线的方程为，
今，则，
今，则，
由题意可得，
解得和，
则所求直线方程为和．
18．(1)
(2)能，
【分析】
（1）根据平行间的距离公式建立方程，求解可得答案；
（2）设存在点满足，由平行间的距离公式可求得或．得出满足条件②的点满足或．再由点到直线的距离公式可得或，联立方程，求解可得结论.
【详解】（1）
因为可化为，所以与的距离为．
因为，所以．
（2）
设存在点满足，则点在与，平行直线上．
且，即或．
所以满足条件②的点满足或．
若点满足条件③，由点到直线的距离公式，有，即，
所以或，因为点在第一象限，所以不成立．
联立方程和，解得（舍去），
联立方程和，解得，
所以即为同时满足条件的点.
19．(1)
(2)
【分析】（1）直接根据两直线平行的公式计算出，再由两直线间的距离公式求解即可；
（2）求出两直线的交点，再利用点斜式求解即可.
【详解】（1）由得，解得，
此时直线：，：，不重合，
则直线，之间的距离为；
（2）当时，：，
联立，解得，
又直线斜率为，
故过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程为，
即.
20．(1)
(2)或
【分析】（1）首先得中点坐标，进一步求得所在直线的斜率，结合点斜式化简即可求解；
（2）首先得，直线的方程为，结合以及点到直线的距离公式得点所在直线方程为或，进一步求得线段的中垂线方程，联立即可得解.
【详解】（1）由题意中点，
所以所在直线的斜率，
所以所在直线的方程为，
即边中线所在直线的方程；
（2）因为，，所以，
，所以直线的方程为，即，
设点到直线的距离，则由题意，
所以点到直线的距离，
则点所在直线方程为或，
因为，，
所以，线段中点坐标为，
所以线段的中垂线为，即，
所以联立或，
所以点的坐标为：或.
21．(1)
(2)
【分析】（1）求出的中点的坐标，利用垂直关系得到高所在直线的斜率，得到高所在直线方程；
（2）联立两直线得到点的坐标，利用点到直线距离公式求出答案.
【详解】（1）由题意可知，为的中点，
，，
．
又，
．
所在直线方程为，即．
（2）由，解得，所以．
又直线方程为，即．
点到直线的距离．
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