2.1圆同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

2.1 圆 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若直线与圆相交所得的弦长为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知点是圆上一点，则的最大值是（ ）
A． B． C． D．
3．已知圆，则直线与圆C（ ）
A．相交 B．相切 C．相离 D．相交或相切
4．已知直线与直线相交于点，且点到点的距离等于1，则实数的取值范围是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．已知圆是圆心为原点的单位圆，是圆上任意两个不同的点，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．“”是“直线与圆有公共点”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
7．已知圆，过点的直线被圆截得的弦长为2，则直线的斜率为（ ）
A．1或 B．或
C．3或 D．或
8．已知圆的方程为：，点，，是线段上的动点，过作圆的切线，切点分别为，，现有以下四种说法：①四边形的面积的最小值为1；②四边形的面积的最大值为；③的最小值为；④的最大值为．其中所有正确说法的序号为（ ）
A．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④
二、多选题
9．已知直线和圆，则（ ）
A．直线恒过定点
B．存在使得直线与直线垂直
C．直线与圆相交
D．直线被圆截得的最短弦长为
10．已知圆，直线与交于两点，点为弦的中点，，则（ ）
A．弦有最小值为 B．有最小值为
C．面积的最大值为 D．的最大值为9
11．已知圆关于直线对称的圆的方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．若点是圆上一点，则的最大值是
B．圆关于直线对称
C．若点是圆上一点，则的最小值是
D．直线与圆相交
12．已知圆M：和圆N：相交于A，B两点，下列结论正确的是（ ）
A．直线AB的方程为
B．若点P为圆N上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为
C．线段AB的长为
D．直线是圆M与圆N的一条公切线
三、填空题
13．已知圆与直线交于，两点，则经过点，，三点的圆的标准方程为 ．
14．在平面直角坐标系xOy中，已知P是圆C：上的动点，若，，，则的最小值为 ．

15．已知为坐标原点，圆上恰好有两个点到点的距离为1，则实数的取值范围为 ．
16．已知直线与圆交于A，B两点，O为坐标原点，则 ， .
四、解答题
17．已知圆C和直线，若圆C的圆心为(0,0)，且圆C经过直线和的交点．
(1)求圆C的标准方程；
(2)过定点(1,2)的直线l与圆C交于M，N两点，且，求直线l的方程．
18． 是已知圆的两条互相垂直的半径，延长至点P，延长至点Q.使得，.
(1)若直线OP和OQ的斜率都存在，试确定直线OP和OQ的斜率的乘积是否为一个常数？
(2)试确定是否为一个常数？
(3)设.试确定是否存在两个定点 ，使，的斜率的乘积为一个常数？
19．已知圆过点，且圆心在直线上.是圆外的点，过点的直线交圆于两点.
(1)求圆的方程；
(2)若点的坐标为，探究：无论的位置如何变化，是否恒为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
20．已知圆C的方程为：，直线l的方程为：，
(1)若直线l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；
(2)证明：直线l与圆C相交，设直线l与圆C相交于A、B，求弦长的最小值，及此时直线l的方程；
(3)圆C的圆心C与A、B构成三角形，求三角形ABC面积的最大值．
21．已知直线，半径为的圆与相切，圆心在轴的非负半轴上.
(1)求圆的方程；
(2)设过点的直线被圆截得的弦长等于，求直线的方程.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】计算出圆心到直线的距离，利用勾股定理可得出关于的等式，即可解得的值.
【详解】圆的圆心坐标为，半径为，
圆心到直线的距离为，
由勾股定理得，，解得.
故选：B.
2．A
【分析】的几何意义为圆上的点与坐标原点连线的斜率，由圆的方程，直线与圆的位置关系，点到直线的距离公式求解即可.
【详解】由题可得，圆的圆心为，半径为2，
的几何意义为圆上的点与坐标原点连线的斜率，
如图：

过原点作圆的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，
所以圆心到直线的距离，解得．
故由图可知的最大值是，
故选：A．
3．A
【分析】由直线与圆的方程可知，该直线有定点在圆内，即可得其位置关系.
【详解】可化为，
即该圆圆心为，半径为，
由可得该直线过定点，
有，即该定点必在圆内，
故两者位置关系为相交.
故选：A.
4．D
【分析】根据给定条件，求出点的方程，再利用两圆有公共点列出不等式求解即得.
【详解】直线过定点，直线过定点，又直线，
因此点的轨迹是以线段为直径的圆（除点外），圆心，半径，
圆的方程为且，又，显然点与的距离大于1，
则点在圆：上，依题意，圆与圆有公共点，
于是，即，
解得或，
所以实数的取值范围是.
故选：D
【点睛】方法点睛：求圆的方程，主要有两种方法：①几何法：具体过程中要用到初中有关圆的一些常用性质和定理．②待定系数法：根据条件设出圆的方程，再由题目给出的条件，列出等式，求出相关量．
5．D
【分析】设为弦的中点，则，后由图形结合C点在圆内部可得答案.
【详解】设为弦的中点，则．因为两点不重合，则直线AB与圆O相交，所以点在圆内.
考虑点D为圆上或圆内一点，如图当且仅当D，O，M三点共线时，最长为，因C在圆内，则；
考虑点E为圆上或圆内一点，如图当且仅当O，E，M三点共线时，最短为，因C在圆内，则.
综上，当点在圆内时，，则.
故选：D．

6．B
【分析】根据直线与圆的位置关系，求出的范围，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】圆的一般方程化成标准方程为，
所以圆的圆心为，半径.
若直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，
解得.由能推出，但是由推不出，
所以“”是“直线与圆有公共点”的必要不充分条件.
故选：B.
7．D
【分析】根据题意，由圆的方程分析圆的圆心与半径，结合弦长与点到直线的距离公式计算可得答案．
【详解】由圆，整理得，所以圆心，半径.
由已知得圆心到直线的距离，
设直线的方程为，则，解得，
所以直线的斜率为或，
故选：D.
8．B
【分析】利用数形结合，将面积的最值转化为求的最值，即可判断①②；利用数量积和三角函数表示，再转化为利用对勾函数的单调性求最值.
【详解】如图，当点是的中点时，此时，最短，最小值为，
当点与点或点重合时，此时最长，最大值为2，
因为是圆的切线，所以，，
则四边形的面积为，
所以四边形的面积的最小值为，最大值为，故①②正确；
,
，
，，
设，函数单调递增，最小值为0，最大值为，故③错误，④正确.
故选：B
9．BCD
【分析】根据直线恒过定点的求解方法，直线垂直的斜率关系，直线与圆的位置关系判断方法，以及直线截圆所得弦长的最值求解方法，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对：由可得，，
令，即，此时，所以直线恒过定点，故A错误；
对：因为直线的斜率为，所以当时，直线的斜率为，
此时直线与直线垂直，满足题意，正确；
对C:因为定点到圆心的距离为，
所以定点在圆内，所以直线与圆相交，正确；
对:直线恒过定点，圆心到直线的最大距离为，
此时直线被圆截得的弦长最短为，D正确；
故选：.
10．BCD
【分析】易得直线过定点，根据点为弦的中点时，最小，即可判断A；根据点为弦的中点，可得，进而可得出点的轨迹是以为直径的圆，即可判断B；要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可，进而可判断C；设，联立，利用韦达定理求出，进而可求出的坐标，再根据数量积的坐标公式结合基本不等式即可判断D.
【详解】圆的圆心，半径，
直线过定点，
因为，所以点在圆内，
所以直线与圆一定相交，
当点为弦的中点时，有最小值，
此时直线的斜率不存在，而直线的斜率一定存在，
所以，故A错误；
因为点为弦的中点，所以，即，
所以点的轨迹是以为直径的圆(去除），圆心为，半径为，
所以轨迹方程为，
因为，所以点在圆外，
所以的最小值为，故B正确；
对于C，，
要使面积取得最大值，只要点到直线的距离最大即可，
直线的方程为，即，
圆心到直线的距离，
所以点到直线的距离最大值为，
所以面积的最大值为，故C正确；
对于D，设，
联立，得，
则，故，
所以点的坐标为，
则，
当时，，
当时，，
当时，，
当且仅当，即时，取等号，
综上所述的最大值为9，故D正确.

故选：BCD.
【点睛】方法点睛：求与圆有关的轨迹方程时，常用以下方法：
（1）直接法：根据题设条件直接列出方程；
（2）定义法：根据圆的定义写出方程；
（3）几何法：利用圆的性质列方程；
（4）代入法：找出要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式．
11．AB
【分析】根据点关于直线对称可得，进而可得圆方程，根据斜率的意义，结合直线与圆相切即可求解A，根据圆心在直线上即可求解B，根据点到直线的距离公式即可求解CD.
【详解】设圆的圆心为．
因为圆关于直线对称的圆的方程为，
圆的圆心为，半径为2，所以圆的半径为2，
两圆的圆心关于直线对称，则解得
所以，故圆的方程为．
对于A，的几何意义为圆上的点与坐标原点连线的斜率，
如图，过原点作圆的切线，当切线的斜率存在时，设切线方程为，即，所以圆心到直线的距离，解得，
故由图可知的最大值是，故A正确；

对于B，圆心在直线上，则圆关于直线对称，故B正确；
对于C，表示圆上任意一点到直线的距离的倍，圆心到直线的距离为，所以的最小值是，故C错误；
对于D，圆心到直线的距离为，所以直线与圆相离，故D错误．
故选:AB．
12．BCD
【分析】A选项，两圆作差求出相交弦方程；B选项，求出圆心到直线的距离，从而得到点到直线的距离的最大值；C选项，根据垂径定理求出弦长；D选项，利用圆心到直线的距离等于半径得到直线是圆M与圆N的一条公切线.
【详解】A选项，两圆方程作差得，即，所以两圆公共弦所在直线方程为，A错误；
B选项，圆的圆心为，半径，
圆，即的圆心为，半径；
圆心到直线的距离，半径，
所以点到直线的距离的最大值为，B正确；
C选项，，C正确；
D选项，圆心到直线的距离，
圆心到直线的距离，
所以直线是圆与圆的一条公切线，D正确.
故选：BCD.
13．
【分析】先求出两点坐标，设出圆的标准方程，代入坐标可得答案.
【详解】联立直线和圆，解得，
设圆的标准方程为，则有，
解得，所以圆的标准方程为.
故答案为：.
14．8
【分析】根据题意得到，再利用点到圆心距离减半径得最值，即可得到答案．
【详解】因为，．
所以的最小值为8．
故答案为：8
15．
【分析】将圆的方程转化为标准形式：（），圆上恰好有两个点到点的距离为1等价于以为圆心，1为半径的圆与圆相交，利用圆心距之间的关系即可求解.
【详解】由题，圆：（），所以圆圆心为，半径为，
圆上恰好有两个点到点的距离为1等价于以为圆心，1为半径的圆与圆相交，
即，解得，故实数的取值范围为．
故答案为：
16． 5
【分析】先求出圆心到直线的距离，再结合垂径定理，即可求解，将直线与圆方程联立，再结合向量的数量积运算，以及韦达定理，即可求解．
【详解】圆，
则圆心，半径，
圆心到直线的距离，
故，
联立，化简整理可得，，
设,，.，
由韦达定理可知，，，
．
故答案为：；5．
17．(1)
(2)或.
【分析】（1）根据题意联立直线和的直线方程，求得交点，进而求得半径，即可得解；
（2）根据题意，结合垂径定理求得圆心到直线的距离，讨论直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，即可得解.
【详解】（1）首先由可得，
所以直线和相交于点，
所以圆C的半径，
所以圆C的标准方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时，方程为，代入圆C方程为可得，
此时，符合题意，
当直线l的斜率存在时，设直线方程为，
根据题意圆心到直线的距离为，
所以，解得，此时直线方程为，
所以直线l的方程为或.
18．(1)是常数
(2)是常数
(3)存在
【分析】（1）根据即可得出结论；
（2）根据，可得，再根据结合数量积的运算律即可得解；
（3）设，先求出点的轨迹方程，进而可得出结论.
【详解】（1）∵，且OP，OQ的斜率都存在，
∴OP和OQ的斜率的乘积为常数；
（2）∵，故，
∴，
所以为常数；
（3）设，
∵，
∴，
∵，
所以，即，
故M点为圆上一点，
所以当，为圆上一直径的两端点时，，
当的斜率都存在时，的斜率之积为常数，这样的定点有很多.
19．(1)；
(2)是定值，且定值为11.
【分析】（1）根据几何法联立直线方程求解圆心位置，即可求解圆的方程，
（2）联立直线与圆的方程，根据点点距离，代入韦达定理化简即可求解.
【详解】（1）两点的中点为，斜率为，
垂直平分线的斜率为1，且垂直平分线的方程为：，
联立方程解得，
所以圆心为，半径为，
圆的方程为：.
（2）如图，若的斜率不存在，则方程为，此时与圆的交点为，此时，

若的斜率存在，设为，则直线方程为，
联立方程消去整理得.
设，则，
，
，
即不论的斜率是否存在恒为定值.
20．(1)或
(2)证明见解析，弦长的最小值，此时
(3)2
【分析】（1）分别求解直线在轴上的截距，根据截距相等求解即可；
（2）根据直线过定点可判断直线与圆相交，再根据当直线l与直线垂直时弦长最小求解即可；
（3）由三角形的面积公式判断即可.
【详解】（1）令可得，即，令，易得此时，可得，
依题意，化简得，故或.
故直线l的方程为：或.
（2）即，故直线l过定点.
因为，故在圆内.
故直线l与圆C相交.
故当直线l与直线垂直时弦长最小，此时，，
故直线，.
此时，，故，即.
（3）依题意，
故当，即为直角时取最大值.
由（2）可得当时坐标分别为，此时为直角.
故三角形ABC面积的最大值为2.
21．(1)
(2)或
【分析】（1）设圆心的坐标为，根据直线与圆相切，可得出关于的等式，解出实数的值，即可得出圆的方程；
（2）利用勾股定理求出圆心到直线的距离，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，在直线的斜率不存在时，直接验证即可；在直线的斜率存在时，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式求出参数的值，综合可得出直线的方程.
【详解】（1）解：由题意，设圆心的坐标为，
因为直线，半径为的圆与相切，
则，因为，解得，因此，圆的方程为.
（2）解：由勾股定理可知，圆心到直线的距离为.
当直线的斜率不存在时，直线的方程为，此时圆心到直线的距离为，
合乎题意；
当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即，
则，解得，此时，直线的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
答案第1页，共2页
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