福建省宁化二中2008—2009学年高三数学（文）专项训练（五）-数列

福建省宁化二中2008—2009学年高三数学（文）
专项训练（五）——数列
1．已知{an}为等比数列，{bn}为等差数列，其中a2=b4,a3=b2,a4=b1，且a1=64,公比q≠1
（Ⅰ）求an,bn； （Ⅱ）设cn=log2an，求数列{cnan}的前n项和Tn
2．已知：数列满足
（1）求数列的通项； （2）设求数列的前n项和Sn.
3．已知数列{}：1，
①求证数列{}为等差数列，并求它的公差
②设,求。
4．已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上。 (Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若数列｛bn｝满足bn=（n∈N*），求数列｛bn｝的前n项和。
5．在数列中，a1=1，an+1=an+c (c为常数，n∈N*)，且a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列． (Ⅰ) 求c的值； (Ⅱ) 设bn=，求数列的前n项和Sn ．
6．数列{an}的前n项和为Sn，a1=1，an+1－an－1=0，数列{bn}满足b1=2，anbn+1=2an+1bn.
（1）求S200。 （2）求数列{bn}的通项公式。
7．已知｛an｝是正数组成的数列，a1=1，且点（）（nN*）在函数y=x2+1的图象上. (Ⅰ)求数列｛an｝的通项公式；
(Ⅱ)若列数｛bn｝满足b1=1,bn+1=bn+，求证：bn ·bn+2＜b2n+1.
8．已知数列的首项，，…．
（Ⅰ）证明：数列是等比数列； （Ⅱ）数列的前项和．
9．数列的前项和为，，．
（Ⅰ）求数列的通项； （Ⅱ）求数列的前项和．
10．设是正项数列的前n项和，且，
（Ⅰ）求数列的通项公式； （Ⅱ）

11． 设数列的前项和为，
（Ⅰ）求 （Ⅱ）证明： 是等比数列；
（Ⅲ）求的通项公式
12．已知各项均为正数的数列中，是数列的前项和，对任意，有
求常数的值； （2）求数列的通项公式；
记，求数列的前项和。
13．设数列的前项和为，且，其中；
（１）证明：数列是等比数列。
（２）设数列的公比，数列满足，（
　　　求数列的通项公式；
（３）记，记，求数列的前项和为；
14．已知二次函数的图象过点
且。 （1）求的解析式；
（2）若数列满足，且，求数列的通项公式；
（3）对于（2）中的数列， 设，是数列的前项和，求证： ．
15．已知数列{an}的各项均为正数，观察程序框图，
若时，分别有
（1）试求数列{an}的通项；
（2）令的值.
福建省宁化二中2008—2009学年高三数学（文）
专项训练（五）——数列参考答案
1．解：（I）依题意
…………2分

…………4分
bn=8+8×(n-1)=8n …………5分
（II） …………6分

…………12分
2．解 （1）
验证n=1时也满足上式：
（2）
3．解 ………………………………2
∴
故为等差数列，公差d=……………………………5
②……………………….7
又知 ∴………10
………….12
4．解：（Ⅰ）由已知得
根据等差数列的定义 是首项为1，公差为1的等差数列 ……3分
所以 ……6分
（Ⅱ） 由已知

------------①
------------②
①－②得

……12分
5．本小题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识；考查化归与转化的思想方法：考查推理与运算能力．满分12分．
解：(Ⅰ)∵an+1=an+c,a1=1,c为常数,
∴an=1+(n-1)c.………………………………………………………………(2分)
∴a2=1+c,a5=1+4c.
又a1,a2,a5成等比数列,
∴(1+c)2=1+4c,解得c=0或c=2……………………………………………(4分)
当c=0,an+1=an不合题意,舍去.
∴c=2.………………………………………………………………………(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,an=2n-1,
∴，……………(10分)
∴Sn=b1+b2+…+bn
=
=
= .……………………………………………………………(12分
6．（1）∵an+1－an－1=0 ∴ an+1－an=1
所以，数列{an}是以a1=1为首项，d=1为公差的等差数列 ………4分
∴ S200=200×1+×1=20100 ……………………………6分
（2）由（1）得an=n
∴ nbn+1=2(n+1)bn
∴ ……………………………………………………8分
∴{}是以=2为首项，q=2为公比的等比数列……………11分
∴=2×2n-1=2n
∴bn=n·2n ………………12分
7．解法一：
（Ⅰ）由已知得an+1=an+1、即an+1-an=1，又a1=1,
所以数列｛an｝是以1为首项，公差为1的等差数列.
故an=1+(a-1)×1=n.
(Ⅱ)由（Ⅰ）知：an=n从而bn+1-bn=2n.
bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+···+（b2-b1）+b1
=2n-1+2n-2+···+2+1
＝=2n-1.
因为bn·bn+2-b=(2n-1)(2n+2-1)-(2n-1-1)2
=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-2-2n+1-1)
=-5·2n+4·2n
=-2n＜0,
所以bn·bn+2＜b,
解法二：
（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）因为b2=1,
bn·bn+2- b=(bn+1-2n)(bn+1+2n+1)- b
=2n+1·bn-1-2n·bn+1-2n·2n+1
＝2n（bn+1-2n+1）
=2n（bn+2n-2n+1）
=2n（bn-2n）
=…
=2n（b1-2）
=-2n〈0，
所以bn-bn+28．解：（Ⅰ） ， ，
，又，，
数列是以为首项，为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，即，．
设…， ①
则…，②
由①②得
…，
．又…．
数列的前项和
9．解：（Ⅰ），， ．
又，数列是首项为，公比为的等比数列，．
当时，，
（Ⅱ）， 当时，；
当时，，…………①
，………………………②
得：
．
．
又也满足上式，．
10．解（Ⅰ）n = 1时，解出a1 = 3 ………………1分
又 ① ②
①－② 得： ………………3分
即
∴ ………………4分
（） ………………5分
是以3为首项，2为公差之等差数列 ………………6分
………………7分
（Ⅱ） ③
又 ④
④－③ ………………10分
=-6-2+


∴ ………………14分
11．【解】：（Ⅰ）因为，所以
由知

得 ①
所以

（Ⅱ）由题设和①式知



所以是首项为2，公比为2的等比数列。
（Ⅲ）

12．解：（1）由及，得：

（2）由 ①
得 ②
由②—①，得
即：

由于数列各项均为正数，
即
数列是首项为，公差为的等差数列，
数列的通项公式是
（3）由，得：



13．解：（1）由，
相减得：，∴，∴数列是等比数列
（2），∴，
∴是首项为，公差为1的等差数列；∴
∴
（3）时，，∴，
∴， ①
②
②-①得：，
∴，
所以：
（1）由，∴
解之得，即；
（2）由，∴ 由累加得 ∴；
（3），
，
所以：
解：由框图可知
（1）由题意可知，k=5时，
（3）由（2）可得：