2.3双曲线同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

2.3 双曲线 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知O为坐标原点，直线与双曲线相交且只有一个交点，与椭圆交于M，N两点，则面积的最大值为（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
2．已知双曲线的右焦点为，过作双曲线的其中一条渐近线的垂线，垂足为（第一象限），并与双曲线交于点，若，则的斜率为（ ）
A． B． C． D．
3．已知双曲线的左右焦点分别为，若双曲线左支上存在点使得，则离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别是为坐标原点，以为直径的圆与双曲线交于点，且在上的投影向量为，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．
5．已知双曲线E的实轴长为6，且与椭圆有公共焦点，则双曲线E的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆，直线，若圆上任意一点关于直线的对称点仍在圆上，则点必在（ ）
A．一个离心率为的椭圆上 B．一个离心率为2的双曲线上
C．一个离心率为的椭圆上 D．一个离心率为的双曲线上
7．已知椭圆与双曲线有且仅有两个交点，若椭圆的离心率为，则椭圆的短轴长为（ ）
A．2 B．4 C． D．
8．已知圆和两点为圆所在平面内的动点，记以为直径的圆为圆，以为直径的圆为圆，则下列说法一定正确的是（ ）
A．若圆与圆内切，则圆与圆内切
B．若圆与圆外切，则圆与圆外切
C．若，且圆与圆内切，则点的轨迹为椭圆
D．若，且圆与圆外切，则点的轨迹为双曲线
二、多选题
9．已知是等轴双曲线C的方程，P为C上任意一点，，则（ ）
A．C的离心率为
B．C的焦距为2
C．平面上存在两个定点A，B，使得
D．的最小值为
10．已知椭圆为原点，过第一象限内椭圆外一点作椭圆的两条切线，切点分别为A，B．记直线的斜率分别为，若，则（ ）
A．为定值 B．为定值
C．的最大值为2 D．的最小值为4
11．关于方程表示的曲线，下列说法正确的是（ ）
A．可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2
B．若为双曲线，则为钝角
C．若为锐角，则为焦点在轴上的椭圆
D．若为椭圆，为椭圆上不与长轴顶点重合的点，则
12．已知双曲线的左、右焦点分别为、，，过的直线与的右支交于点，若，则（ ）
A．的渐近线方程为 B．
C．直线的斜率为 D．的坐标为或
三、填空题
13．已知分别是双曲线的左、右焦点，是平面内与不重合的点，关于的对称点为，线段的中点在双曲线的左支上，，双曲线的一条渐近线与圆（为双曲线的半焦距）相交所得弦长为2，则该双曲线的标准方程为 ．
14．已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，M，N都在双曲线C的左支上，是正三角形，点到直线的距离为2，则双曲线C的实轴长的取值范围是 ．
15．已知双曲线的右焦点为为坐标原点，以为直径的圆与一条渐近线交于点（异于点），直线与另一条渐近线交于点，且，则的离心率为 .
16．双曲线的渐近线方程为 ；若与圆交于四点，且这四个点恰为正方形的四个顶点，则 ．
四、解答题
17．已知双曲线经过椭圆的左、右焦点，设的离心率分别为，且．
(1)求的方程；
(2)设为上一点，且在第一象限内，若直线与交于两点，直线与交于两点，设的中点分别为，记直线的斜率为，当取最小值时，求点的坐标．
18．已知，设动点满足直线的斜率之积为4，记动点的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程；
(2)点为直线上的动点，直线与曲线交于点（不同于点），直线与曲线交于点（不同于点）．证明：直线过定点．
19．我们所学过的椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线，都有令人惊奇的光学性质，且这些光学性质都与它们的焦点有关．如从双曲线的一个焦点处出发的光线照射到双曲线上，经反射后光线的反向延长线会经过双曲线的另一个焦点（如图所示，其中是反射镜面也是过点处的切线）．已知双曲线（，）的左右焦点分别为，，从处出发的光线照射到双曲线右支上的点P处（点P在第一象限），经双曲线反射后过点．

(1)请根据双曲线的光学性质，解决下列问题：
当，，且直线的倾斜角为时，求反射光线所在的直线方程；
(2)从处出发的光线照射到双曲线右支上的点处，且三点共线，经双曲线反射后过点，，，延长，分别交两条渐近线于，点是的中点，求证：为定值．
(3)在（2）的条件下，延长交y轴于点，当四边形的面积为8时，求的方程．
20．已知双曲线一个焦点到渐近线的距离为，且离心率为2．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)设分别是双曲线左、右两支上的动点，为双曲线的左顶点，若直线的斜率分别为，且，求直线的方程．
21．已知双曲线的两条渐近线方程为分别为双曲线的顶点，且．
(1)求双曲线的方程．
(2)已知为坐标原点，直线与双曲线交于两点，且，求的值．
(3)设动点，直线与双曲线分别交于两点．求证：直线过定点．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．A
【分析】根据题意确定，联立方程组，利用弦长公式和面积公式，最后求最值.
【详解】由题意知与双曲线的渐近线平行，故，
设，，将代入，
得，故，
，，
所以，
点O到l的距离,
所以的面积
，
当且仅当 （满足）时等号成立．
故选：A．
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为，；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x（或y）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为的形式；
（5）代入韦达定理求解.
2．A
【分析】根据给定条件，求出直线的方程，借助点到直线的距离公式求出长，再利用双曲线定义及余弦定理求解即得.
【详解】依题意，直线的方程为，即，点，
则，由，得为线段的中点，即，
设双曲线的左焦点为，则，
在中，，
又，于是，所以直线的斜率为.
故选：A

3．B
【分析】根据双曲线的性质可知双曲线左支上到右焦点的最短距离，从而由题意列出不等式，即可求得答案.
【详解】由题意知双曲线左支上存在点使得，
设，则
，等号成立当且仅当点与双曲线的左顶点重合，
从而双曲线左支上的点到右焦点的最短距离为，
故，即，故，
即离心率的取值范围为.
故选：B
4．D
【分析】根据题意得到点坐标关于的表示，再将其代入双曲线方程得到关于的齐次方程，从而得解.
【详解】不妨设点在第二象限，如图，
因为在上的投影向量为，则，
又，所以，
又在双曲线上，，则，
即，整理得，
所以，解得或（舍去），.
故选：D.
5．A
【分析】根据给定条件，求出椭圆的焦点坐标，再求出双曲线方程即可求得渐近线方程.
【详解】椭圆的焦点坐标为，因此双曲线E的焦点为，
而其实半轴长为3，则虚半轴长为，双曲线E的方程为,
所以双曲线E的渐近线方程为.
故选：A
6．D
【分析】首先求出圆的圆心坐标，依题意可得直线过圆的圆心，从而得到，即可得到点所满足的曲线方程，再求出离心率.
【详解】圆的圆心为，
依题意可知直线过圆的圆心，则，
所以点必在双曲线即上，且该双曲线的离心率．
故选：D.
7．D
【分析】根据椭圆与双曲线有且只有两个交点可得，结合离心率可求短轴长.
【详解】因为椭圆与双曲线有且只有两个交点，椭圆的左右顶点与双曲线的顶点重合，
而双曲线的顶点为，故，
设椭圆的半焦距为，则，故，故短轴长为，
故选：D.
8．C
【分析】先证明当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切；若，则圆与圆外切，圆与圆内切，从而A和B错误；然后当时，将条件变为，从而根据椭圆定义知点的轨迹为椭圆，C正确；当时，将条件变为，从而根据双曲线定义知点的轨迹为双曲线的左支，D错误.
【详解】我们分别记的中点为，显然是的中点，故，.
当时，在圆内，此时，圆和圆不可能与圆外切，而圆与圆内切等价于，
即，即，同理，圆与圆内切也等价于；
当时，在圆外，故“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和，
即和，即和.
所以，此时“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和，同理，“圆与圆内切”和“圆与圆外切”分别等价于和.
下面考虑四个选项（我们没有考虑的情况，因为不需要分析此种情况也可判断所有选项的正确性）：
由于当时，若，则圆与圆内切，圆与圆外切；
若，则圆与圆外切，圆与圆内切.
这分别构成A选项和B选项的反例，故A和B错误；
若，则，此时“圆与圆内切”和“圆与圆内切”都等价于，
而根据椭圆定义，对应的轨迹即为，C正确；
若，则，此时“圆与圆外切”等价于，
而根据双曲线定义，对应的轨迹为，
仅仅是双曲线的半支，D错误.
故选：C.
9．ACD
【分析】根据等轴双曲线的离心率可判断A的正误，根据图象的对称轴可求，从而可求，故可判断BCD的正误.
【详解】对于A，因为是等轴双曲线，故其离心率为，故A正确.
对于B，因为图象的对称轴为和，
由可得或，故双曲线的顶点坐标为，
故双曲线的实半轴长为，故半焦距为，
故焦距为4，故B错误.
对于C，因焦点在直线上，故设焦点坐标为，
因为，且双曲线的中心为原点，故即，
取，由双曲线的定义可得，
故C正确.
对于D，由C的分析可得为焦点，则，故D正确，
故选：ACD.
10．AD
【分析】设直线的方程为，联立椭圆方程，得到两根之和，两根之积，由得到方程，求出，证明椭圆在处的切线方程为，从而得到椭圆在点和的切线方程，得到切点弦方程为，对照系数结合得到的轨迹方程，A选项，计算出，，求出；B选项，在A选项基础上进行求解；C选项，得到双曲线的渐近线，C错误；D选项，先得到，设，则，联立双曲线方程，由根的判别式得到不等式，求出答案.
【详解】由于，故不关于轴对称且的横纵坐标不为0，
所以直线方程斜率一定存在，
设直线的方程为，联立得，
，
设，则，
故
，
其中，
故，即，
所以，解得，
下面证明椭圆在处的切线方程为，理由如下：
当时，故切线的斜率存在，设切线方程为，
代入椭圆方程得：，
由，化简得：
，
所以，
把代入，得：，
于是，
则椭圆的切线斜率为，切线方程为，
整理得到，
其中，故，即，
当时，此时或，
当时，切线方程为，满足，
当时，切线方程为，满足，
综上：椭圆在处的切线方程为；
故椭圆在点的切线方程为，
同理可得，椭圆在点的切线方程为，
由于点为与的交点，
故，，
所以直线为，
因为直线的方程为，对照系数可得
，
又，故，整理得，
又在第一象限，
故点的轨迹为双曲线位于第一象限的部分，
A选项，，同理可得，
则，A正确；
B选项，
，
其中
又，
故，不为定值，
故不是定值，B错误；
C选项，由于，，，故双曲线的一条渐近线为，
设，则，故无最大值，
D选项，由于，，，故，
设，则，
则两式联立得，
由得，，
检验，当时，，又，
解得，满足要求.
故的最小值为4，D正确.
故选：AD
【点睛】结论点睛：过圆上一点的切线方程为：，
过圆外一点的切点弦方程为：.
过椭圆上一点的切线方程为，
过椭圆外一点的切点弦方程为;
过双曲线上一点的切线方程为,
过双曲线外一点的切点弦方程为,
11．AD
【分析】当时，表直线，求出直线方程即可判断A；根据双曲线的形式，即可判断B；化为标准方程，根据椭圆方程形式，即可判断C；设出的坐标，表示出，结合椭圆的方程，即可判断D.
【详解】对于A项，当，即时，方程为，解得，因此可以表示两条平行的直线，且这两条直线的距离为2，故A选项正确；
对于B项，若为双曲线，则，即，故为钝角或平角，故B选项错误；
对于C项，若为锐角，则，即.
将原方程化为标准方程为，因此为焦点在轴上的椭圆，故C选项错误；
对于D项，若为椭圆，则为锐角，
设椭圆方程为，则，
不妨设，
将点的坐标代入椭圆方程得，即，
故，故选项正确.
故选：AD．
12．ABD
【分析】利用双曲线的焦距求出的值，结合双曲线的渐近线方程，可判断A选项；利用勾股定理结合双曲线的定义求出、的值，可判断B选项；利用直线斜率的定义可判断C选项；利用双曲线焦半径公式求出点的坐标，可判断D选项.
【详解】对于A选项，，且，解得，
又因为，故双曲线的渐近线方程为，A对；
对于B选项，因为点在右支上，则，①
又因为，则，②
联立①②可得，，所以，，B对；
对于C选项，若点在第一象限，则直线的斜率为，
若点在第四象限，由对称性可知，直线的斜率为.
综上所述，直线的斜率为，C错；
对于D选项，设点，则，且，可得，
所以，，
解得，则，可得，即点，D对.
故选：ABD.
13．
【分析】根据给定条件，结合双曲线定义求出，再由圆的弦长公式结合点到直线距离求出即可得解.
【详解】设是线段的中点，连接，则点在双曲线的左支上，
由关于的对称点为，得是线段的中点，即，，
由双曲线的定义，得，解得，
而圆的圆心为，半径，不妨取双曲线的一条渐近线，
则点到直线的距离，于是，
，整理得，
所以该双曲线的标准方程为．
故答案为：

【点睛】方法点睛：圆的弦长的常用求法：
①几何法：求圆的半径为r，弦心距为d，弦长为l，则；
②代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式：.
14．
【分析】求实轴长取值范围关键是找到关于a的方程和建立关于a的不等式关系，先由双曲线及正三角形的对称性可得关于x轴对称，从而推出直线的斜率，再与渐近线斜率进行比较建立关于a的不等式关系，下来再由点到直线的距离可求出c的值，再结合方程进行转换即可求出a的取值范围，进而求出实轴长取值范围.
【详解】如图，假设点M在x轴上方，由双曲线及正三角形的对称性可得关于x轴对称，
直线的倾斜角为，斜率为，直线与双曲线C的左支有交点，
所以，得，即．
因为，所以点到直线的距离为，所以，
所以，所以，即C的实轴长的取值范围是．
故答案为：.
15．/
【分析】易得右焦点到直线OP的距离为d，再由，得到，然后在和中，由求解.
【详解】解：如图所示：

设，即，
则右焦点到直线OP的距离为，
又，则，又，
在中，在中，
又因为，
所以，解得，
所以离心率为，
故答案为：
16．
【分析】结合双曲线渐近线的定义与正方形的性质计算即可得.
【详解】由，故其渐近线方程为；
令，由题意可得，即有，解得，
故，即.
故答案为：；.

17．(1)的方程为的方程为
(2)
【分析】（1）由题意可得，，解方程即可求出，即可求出的方程；
（2）设直线的斜率分别为，由题意可得，设直线的方程为：，联立可得，同理可得，即可求出直线的斜率为，再由基本不等式即可得出答案.
【详解】（1）依题意可得，得，
由，得，解得，
故的方程为的方程为．
（2）易知，设，直线的斜率分别为，
则，
在，即有，
可得为定值．
设直线的方程为：，联立可得
恒成立，
设，则有，
可求得，
设直线的方程为：，
同理可得，
则
由可得：，
点在第一象限内，故，
当且仅当，即时取等号，
而，故等号可以取到．
即当取最小值时，，联立，
可解得，
故的方程为：的方程为：，
联立可解得，即有．

【点睛】关键点点睛：本题（2）问的关键点在于设直线的斜率分别为，由题意可得，联立直线与椭圆的方程求得，联立直线与椭圆的方程同理可得，即可求出直线的斜率为，再由基本不等式即可得出答案.
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）设点，由题意直接列方程,化简即可求解.
（2）（方法一）设，，，联立方程求得，，求得直线的方程，进而求得结果；（方法二）设，由及三点共线得；，及，均在曲线上，化简整理可得，设与曲线联立，利用韦达定理可得，进而求得结果；（方法三）设，，，
易知直线不垂直于轴，所以设直线的方程为，由及三点共线，及，在曲线上，化简可得，，进而求得结果.
【详解】（1）设，则，
由 整理得
（2）证明：（方法一）设，，，
则 即
联立与曲线的方程
得且
解得（舍去）或
将代入 得
所以，其中
同理，可解得，其中
当时，即时，
此时，所以此时直线的方程为；
当时，
直线的方程为
整理得，所以直线过定点
（方法二）设，
则由及三点共线得；
将上面两式相除，再平方可得：①
因为，均在曲线上，
故满足；②
将②代入①可得
整理可得③
当直线的斜率存在时，设
将直线的方程代入曲线得
且
由韦达定理得，
将上式代入③式可得 解得（舍去）或，
故直线的方程为
当直线垂直于轴时，易求得此时的方程为，
所以直线过定点
（方法三）设，，，
易知直线不垂直于轴，所以设直线的方程为
由及三点共线得
；
由上式可得，即
将，代入可得①
因为，为曲线上的点，
由（1）可知，，所以，即
将，代入可得②
①②式相减可得
又易知，所以，所以直线的方程为，
故直线过定点

19．(1)
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）先求出双曲线的方程及直线的方程，联立方程求出点的坐标，进而可得出答案；
（2）易得，可令，则，根据双曲线的定义求出，即可求得，再在直角中，求出，即可得直线的方程，再利用勾股定理求出的关系，进而可得渐近线方程，再联立直线和渐近线方程，设，利用韦达定理求得，即可得点的坐标，进而可得出结论；
（3）先利用角平分线定理可得，即可得点的坐标，再求出，即可得直线的方程，进而可得点的坐标，再根据四边形的面积求出，即可得解.
【详解】（1）因为，，所以，，
故双曲线方程为，直线的方程为，
由，解得，即，
所以，
所以反射光线所在的直线方程为，即；
（2）因为为直角三角形，，
可令，则，
由双曲线的定义可得，
即，所以，
所以，
所以，
在直角中，，
所以直线的方程为，
由，
得，所以，所以，
所以两条渐近线得方程为，
联立，得，
设，
则，
故，
所以，
所以，
所以，
所以为定值；
（3）由双曲线得光学性质可得，直线平分，
所以，
在中，由正弦定理得，则，
在中，由正弦定理得，则，
因为，所以，
所以，所以，
所以，故，
而，
所以，
所以直线的方程为，故点的坐标为，
设四边形的面积为，
则，
所以，故，
所以求的方程为．

【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
20．(1)
(2)或
【分析】（1）首先得到渐近线方程，由点到直线的距离公式求出，再由离心率公式求出，即可得解；
（2）首先判断直线的倾斜角不为零，设直线的方程为，，，联立直线与双曲线方程，消元、列出韦达定理，由斜率的关系求出，由弦长公式求出，即可得解.
【详解】（1）由题知双曲线的渐近线方程为，
不妨设，则焦点到渐近线的距离，
的离心率为，
故双曲线的标准方程为．
（2）由（1）可得，
当直线的倾斜角为零时，由，得直线的方程为，
代入双曲线方程可得，不妨令，，
则，不符合题意，则直线的倾斜角不为零，
设直线的方程为，，，
联立，消去整理得，
，，，
．
，，
，，
，
，
，
即，
，
，
或．
当时，，不符合题意，．
，，
，
解得，故直线的方程为．
综上，直线的方程为或．

【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为、；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为、的形式；
（5）代入韦达定理求解.
21．(1)
(2)或
(3)证明见解析
【分析】（1）根据双曲线定义和渐近线方程得到，，求出双曲线方程；
（2）方法一：联立直线与双曲线方程，得到两根之和，两根之积，由得到，求出弦长，并表达出三角形面积，得到方程，求出或，检验后得到答案；
方法二：联立直线与双曲线方程，得到两根之和，两根之积，由得到，结合直线恒过点，表达出三角形面积，得到方程，求出或，检验后得到答案；
（3）方法一：表达出直线的方程，联立双曲线方程，得到点坐标，同理得到点坐标，对称性分析，直线恒过的定点位于轴上，不妨设，分和两种情况，得到直线所过定点；
方法二：设的方程为，联立双曲线方程，得到两根之和，两根之积，表达出直线和直线的方程，由于直线的交点在直线上，得到方程，化简得到，得到，结合当时，直线为轴，故直线过定点．
【详解】（1）由题意得，解得．
渐近线方程为，
，解得，
双曲线的方程为．
（2）方法一：设，由题意得，
联立消去整理得，
则，则，
，
点到直线的距离，
则
，
整理得，即，
解得或，均满足．
方法二：设，由题意得，
联立消去整理得，
则，则，
，
直线恒过点，则
，
整理得，即，
解得或，均满足．
（3）方法一：，
直线的方程为，直线的方程为．
由消去整理得①，
记，则和是方程①的两个根，
则，即．
由消去整理得②，
记，则2和是方程②的两个根，
则，即．
由双曲线的对称性知，直线恒过的定点位于轴上，不妨设．
当时，，此时，直线的方程为，直线过定点．
当时，，即，整理得，
故．综上，直线过定点．

方法二：当时，由题知直线的倾斜角不为0，设直线的方程为，
由消去得．
设，则，
直线的方程为，直线的方程为，
由于直线的交点在直线上运动，则，
即，故，
代入，得，
故恒成立．
若，将代入得，
解得，故直线过双曲线的顶点，与题意不符，故舍去，
故只能，即，故直线过定点．
当时，直线为轴，过定点．
综上，直线过定点．
【点睛】思路点睛：处理定点问题的思路，
（1）确定题目中的核心变量（此处设为），
（2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式，
（3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到，
①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点；
②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数.
答案第1页，共2页
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