2.4抛物线同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

2.4 抛物线 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．经过点且与抛物线有且仅有一个公共点的直线的条数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．已知是抛物线：（）的焦点，是第一象限内抛物线上一点，在抛物线准线上的射影为，，，则抛物线的标准方程为（ ）
A． B． C． D．
3．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，，其中，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，P，M，Q，N是抛物线上的四个点（P，M在轴上方，Q，N在轴下方），已知直线PQ与MN的斜率分别为和2，且直线PQ与MN相交于点，则（ ）
A． B． C． D．2
5．设抛物线的焦点为，点为曲线第一象限上的一点，若，则直线的倾斜角是（　　）
A． B． C． D．
6．已知抛物线的焦点为F，点M，N，在抛物线C上，且，则点M，N到直线的距离之积为（ ）
A．12 B．24 C．16 D．32
7．抛物线与双曲线交于两点，与的两条渐近线分别交于异于原点的两点，且分别过的焦点，则（ ）
A． B． C． D．
8．已知抛物线与抛物线关于直线对称，则的准线方程是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．过点的直线交抛物线于两点，线段的中点为，抛物线的焦点为，下列说法正确的是（ ）
A．以为直径的圆过坐标原点
B．
C．若直线的斜率存在，则斜率为
D．若，则
10．已知为坐标原点，点为抛物线：的焦点，点，直线：交抛物线于，两点（不与点重合），则以下说法正确的是（ ）
A．
B．存在实数，使得
C．若，则
D．若直线与的倾斜角互补，则
11．已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与C相交于A，B两点（点A位于第一象限），与C的准线交于D点，F为线段AD的中点，准线与x轴的交点为E，则（ ）
A．直线l的斜率为 B．
C． D．直线AE与BE的倾斜角互补
12．已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3，过的焦点的直线交于两点，则下列选项正确的是（ ）
A．过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条
B．当时，
C．为钝角三角形
D．的最小值为
三、填空题
13．已知抛物线的焦点为，点是在第一象限内的一点，且，过点作直线交于两点（异于点）．若直线关于直线对称，则直线的斜率为 ．
14．抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为 .
15．已知M，N为抛物线C：上不关于x轴对称的两点，线段的中点到C的准线的距离为3，则直线的方程可能是 .（写出满足条件的一个方程即可）
16．已知抛物线的焦点为，准线方程为，则 ；设为原点，点在抛物线上，若，则 .
四、解答题
17．已知为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于，两点，.
(1)求抛物线的方程；
(2)已知圆以为圆心，1为半径，过作圆的两条切线，与轴分别交于点，且，位于轴两侧，求面积的最小值.
18．已知为坐标原点，抛物线上一点到其准线的距离为3．
(1)求抛物线的标准方程；
(2)设直线，点是与轴的交点，过点作与平行的直线，过点的动直线与抛物线相交于两点（不与原点重合），直线分别交直线于点，证明：.
19．若抛物线的焦点为，点在C上，且．
(1)求的方程；
(2)过点的直线交于两点，点关于轴的对称点是，证明：，，三点共线．
20．已知抛物线的准线方程为，直线与圆相切于点，且圆心在直线上．
(1)求抛物线和圆的标准方程；
(2)若是轴上的两点，是抛物线上的动点，且直线与圆均相切，，求的周长最小时，点的坐标．
21．已知O为坐标原点，抛物线，过点的直线交抛物线于A，B两点，．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若点，连接AD，BD，证明：；
(3)已知圆G以G为圆心，1为半径，过A作圆G的两条切线，与y轴分别交于点M，N且M，N位于x轴两侧，求面积的最小值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】分直线斜率存在与不存在进行讨论，斜率存在时联立曲线借助计算即可得.
【详解】设过点的直线为，当该直线斜率不存在时，，则，
即其与抛物线有唯一公共点，符合要求；
当该直线斜率存在时，设，
联立有，即，
，因为，
故有两个不同的实数解，
即有两条不同的直线，与抛物线有且仅有一个公共点，
综上所述，共3条.
故选：C.
2．C
【分析】解法一 设，由抛物线的定义知，利用为正三角形，求得，在中，利用勾股定理求得，即可求解；
解法二 根据抛物线定义得为正三角形，在中，由得，即可求解，得解.
【详解】解法一 设，则，由抛物线的定义知，，
因为，所以为正三角形，所以，所以.
设抛物线的准线与轴的交点为，在中，，
即，所以，又，所以，解得，
所以抛物线的标准方程为.
解法二 由抛物线的定义可知，又，所以为正三角形.
设抛物线的准线与轴的交点为，所以.
又，且，所以，
所以在中，，即，所以抛物线的标准方程为.
故选C.
3．A
【分析】先求出抛物线方程，联立，结合韦达定理求得，的坐标，从而求得直线的方程，求出点到直线的距离， 表示出，利用换元，结合基本不等式从而可求答案.
【详解】点在抛物线上，把点代入中得，则，
所以抛物线为，直线，
与抛物线方程联立可得，，则，则，，则，
所以用替换可得，则，
则，故，
直线，即，
则点到直线的距离，
，，
，
而
，
令，因为，所以，
故，
当且仅当，即时等号成立，
故选：A．
【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两个：一是利用点线距及三角函数表示出目标式；二是利用换元法和基本不等式求解最值.
4．A
【分析】设出点的坐标，写出直线的方程，联立抛物线方程，再根据韦达定理和弦长公式分别求得，再求结果即可.
【详解】设，则直线的方程为，
联立抛物线方程可得，，
则；
又直线方程为，
联立抛物线方程可得，
则，；
故，，，；
故.
故选：A.
5．A
【分析】设抛物线的准线为，作于，作于，在中求即可.
【详解】设抛物线的准线为，
如图，作于，则，作于，则，
在中，，
又，所以，
即直线的倾斜角为，
故选：A.
6．C
【详解】设直线，，，联立抛物线方程求出，求出点M到直线的距离和点N到直线的距离即可求出所求距离之积.
【分析】依题意抛物线，设直线，
设，，联立
则，故或，
则点M到直线的距离为，
设直线，
同理点N到直线的距离为，
故所求距离之积为.
故选：C．
7．A
【分析】根据抛物线与双曲线及双曲线的渐近线的交点得到之间的关系即可得解.
【详解】令的右焦点为，而的焦点为，的渐近线为，
由双曲线、抛物线的对称性知，直线，
由，解得，不妨令，
由，解得，不妨令，
显然点在抛物线上，点在的渐近线上，于是，且，
整理得，所以.
故选：A

8．C
【分析】由对称性可得曲线方程，求出准线方程即可.
【详解】因为抛物线与抛物线关于直线对称，
所以将互换后可得抛物线方程为，即，
所以的准线方程为，
故选：C.
9．ABC
【分析】设，，，将抛物线方程与直线方程联立，利用韦达定理求出，进而得到，代入各选项求解即可.
【详解】由题意可知直线斜率不为，设，， ，
联立得，
则，，，，
因为，所以，以为直径的圆过坐标原点，A说法正确；
，B说法正确；
因为为线段中点，所以，
若直线的斜率存在，则，
直线的斜率，C说法正确；
若，则，由抛物线的定义可得，D说法错误；
故选：ABC
10．ACD
【分析】根据抛物线和直线方程可知直线过抛物线焦点，利用焦半径公式可判断A正确；联立直线和抛物线方程利用向量数量积公式可知，恒成立，所以B错误；根据可知A，B两点的纵坐标关系，解得其交点坐标代入直线方程可得，即C正确；由直线与的倾斜角互补，可知，利用韦达定理联立方程即可求出，即D正确.
【详解】由已知，抛物线：，∴，，焦点，
不妨设为，，设，到准线的距离分别为，，

对于A，∵由标准方程知，抛物线顶点在原点，开口向右，，
直线：过焦点，
∴由抛物线的定义，故选项A正确；
对于B，消去，化简得（显然），
则，，
∵，∴，∴，
∵，，∴，
∴，∴，
∴不存在实数，使得，选项B错误；
对于C，，，
∵，∴，∴，
又∵由选项B判断过程知，，
∴解得，，或，，，
∴若，则，选项C正确；
对于D，由题意，，，，，
直线与的倾斜角互补时，斜率均存在，且，
∴，代入，，化简得，
由选项B的判断知，，
∴，∴，故选项D正确.
故选：ACD.
11．ABD
【分析】分析可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，求出点的坐标，可得出点A的坐标，分析可得，将点A的坐标代入抛物线的方程，求出的值，可判断A选项；再将直线的方程与抛物线的方程联立，求出点A、的坐标，利用平面向量与解析几何的相关知识可判断BCD选项的正误.
【详解】易知抛物线的焦点为，准线为，
若直线与轴重合，则直线与抛物线只有一个交点，不合乎题意，
若轴，则直线与抛物线的准线平行，不合乎题意，
设直线的方程为，设点、，
联立，可得，即点，
因为点为线段的中点，则，则，可得，
因为点在抛物线上，则，可得，
所以，直线的方程为，即，
故直线的斜率为，A对；
联立，解得或，即点、，
易知点，所以，，，则，B对；
易知点，，，
故，C错；
，，则，
所以，直线与的倾斜角互补，D对.
故选：ABD.
12．ACD
【分析】由抛物线的定义及点到准线的距离可求解抛物线的方程，判断点与抛物线的位置关系即可判断A；联立直线与抛物线方程得韦达定理，即可根据弦长公式求解面积，进而可得的值，利用焦半径公式即可求解B；根据数量积的坐标运算即可求解C，根据焦半径公式，结合基本不等式即可求解D.
【详解】因为抛物线上一点到其准线的距离为3，所以，解得，所以抛物线的标准方程为．
对于A，由于点在抛物线上，且，故点在抛物线的外部，
显然过点与抛物线相切的直线有2条，
当过点的直线与轴平行时，与抛物线也仅有一个公共点，
所以过点且与抛物线仅有一个公共点的直线有3条，故A正确；
对于B，由抛物线的方程可知，焦点，
当直线的斜率不存在时，，又，所以，不符合题意，
所以直线的斜率存在且不为0，设，
联立消去整理得，
所以，，，又，
所以，
解得，则，，
则，故B错误；
对于C，由选项可知，
所以，所以是钝角三角形，故C正确；
对于D，由选项B可知，
所以，
当且仅当，即时，等号成立，故D正确．
故选:ACD．

【点睛】关键点点睛：本题C选项的关键是利用向量数量积小于0从而判断出其为钝角三角形，计算的时候需要结合抛物线中的焦点弦定值结论.
13．
【分析】由已知条件，求出抛物线的方程，设联立抛物线方程，可得点点坐标，同理可得点坐标，再由斜率公式可得答案.
【详解】抛物线的准线方程为，解得，
所以抛物线，
设直线，代入抛物线方程，
消去并整理得
，代入，得，
，
设直线的斜率为直线关于直线对称，，
直线，同理可得，
则直线的斜率．
故答案为：.
14．/0.5
【分析】求出抛物线的焦点坐标、双曲线的渐近线方程，再利用点到直线距离公式计算即得.
【详解】抛物线的焦点，双曲线的渐近线方程为，
所以点到直线的距离为.
故答案为：
15．（答案不唯一）
【分析】先设出直线，联立方程，结合线段的中点到C的准线的距离为3可得答案.
【详解】设直线，，联立，，
，，
，
因为线段的中点到C的准线的距离为3，抛物线的准线为：，
所以，所以.
令，得，直线的方程可能是.
故答案为：（答案不唯一）

16． /0.5
【分析】借助抛物线的性质及其定义计算即可得.
【详解】由抛物线准线方程为，故，
则，，由在抛物线上，
故，
由，可得，
即，即.
故答案为：；.
17．(1)
(2)8
【分析】（1）设直线的方程为，联立方程组，利用根与系数的关系和数量积的坐标运算求解；
（2）记，分别与圆G切于点T，F，连接，，，求出，结合切线长定理可得，，，再根据，求出，再结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）设直线的方程为，
由，得.
设，，
则，，
故，解得，
所以抛物线的方程为.
（2）记，与圆的切点分别为，，连接，，，由题意得
.
由切线长定理，知，，，所以，
又
，
所以，解得
所以，
当且仅当，即时，取等号.
故面积的最小值为8.
【点睛】思路点睛：解决直线与圆锥曲线的位置关系问题要做好两点：一是转化，把题中的已知和所求准确转化为代数中的数与式，即形向数的转化；二是设而不求，即联立直线方程与圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解．
18．(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）利用抛物线的焦半径公式求出p，即可求得答案.
（2）由题意可求得直线的方程，设出直线的方程联立抛物线方程，化简求出两点坐标关系，联立直线与直线的方程求出，同理可得，从而推出，即可证明.
【详解】（1）因为抛物线上一点到其准线的距离为3，
所以，解得，
所以抛物线的标准方程为；
（2）证明：直线，令得，所以点，
因为直线平行于直线，且过点，
所以直线的方程为，
由题知直线的斜率不为0，所以设直线，
由消去得，则，
设，则，
直线的方程为，直线的方程为．
解，得，
同理可得，
所以
，
因为，所以，且都在直线上，
即是线段的中点，所以.
【点睛】易错点点睛：本题考查了抛物线方程的求解以及直线和抛物线位置关系的应用问题，解答的易错点在于第（2）问中证明时，计算相当复杂，计算量较大，基本都是字母参数的运算，很容易出现计算错误.
19．(1)；
(2)证明见解析.
【分析】（1）根据抛物线定义，结合，求得，即可求得结果；
（2）设出直线的方程，联立抛物线方程，根据韦达定理，证明直线恒过定点，即可证明三点共线.
【详解】（1）抛物线的准线为．
点到准线的距离为，解得，
的方程为．
（2）由题知直线不与轴平行，设直线的方程为．
联立，得，故可得或；
．
又点关于轴的对称点为，
则直线的方程为，
即．
令，得．
直线恒过定点，而点，因此，三点共线．
20．(1)，
(2)
【分析】（1）借助准线方程可得抛物线方程，借助切线性质，结合待定系数法计算可得圆方程；
（2）设、的斜率分别为、，则可用其表示出、两点坐标，即可表示出的周长，借助点到直线距离公式可得，则有，即可得、是关于的方程的两个不同根，结合韦达定理计算即可得.
【详解】（1）由抛物线准线方程为，故，即，故，
由圆心在直线上，设，圆的半径为，
则有，，
整理可得，，
即，故，则，
即圆；
（2）由题意可得，直线、的斜率存在，设、的斜率分别为、，
则，，
对，令，则，即，同理可得，
则，
同理可得，，
即，
有，则有，
即，,
则，
，
由亦可得，
同理可得，
故、是关于的方程的两个不同根，
，
有，，
则
，
则当取最大值时，的周长最小，
即，即时，的周长最小，
此时，即的坐标为.
【点睛】关键点点睛：本题最后一问关键点在于借助点到直线距离公式，得到，从而得到、是关于的方程的两个不同根，即可借助韦达定理表示出、与、的关系，以代入计算周长.
21．(1)
(2)证明见解析
(3)8
【分析】（1）设直线的方程为，联立方程，利用韦达定理求出，再求出，再根据求出，即可求出抛物线C的方程；
（2）要证，即证DG平分，即证，结合（1）计算化简即可得出结论；
（3）记AM，AN分别与圆G切于点T，F，连接TG，MG，NG，求出，结合切线长定理可得，，，再根据，求出，再结合基本不等式即可得解.
【详解】（1）设直线的方程为，
由，得，
设，，
则，，
从而，解得，
所以抛物线C的方程为；
（2）要证，即证DG平分，即证，
由（1）可知，，
则
，
故；
（3）记AM，AN分别与圆G切于点T，F，连接TG，MG，NG，
由题意，得，
由切线长定理，知，，，
所以，
又
，解得，
所以，
当且仅当，即时，取等号，
故面积的最小值为8．
【点睛】思路点睛：解决直线与圆锥曲线的位置关系问题要做好两点：一是转化，把题中的已知和所求准确转化为代数中的数与式，即形向数的转化；二是设而不求，即联立直线方程与圆锥曲线方程，利用根与系数的关系求解．
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页