2.5曲线与方程同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

2.5 曲线与方程 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．若满足，，则最小值是（ ）
A． B． C． D．
2．和y轴相切且和半圆内切的动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．
C． D．
3．平面直角坐标系中，等边的边长为2，M为中点，B，C分别在射线，上运动，记M的轨迹为，则（ ）
A．为部分圆 B．为部分线段 C．为部分抛物线 D．为部分椭圆
4．现实生活中好多商标设计师的灵感来源于曲线C：，其中星形线E：常用于超轻材料的设计，则下列关于星形线的说法不正确的是（ ）
A．E关于y轴对称且关于对称
B．E上的点到x轴、y轴的距离之积不超过
C．E上的点到原点的距离最小值为
D．曲线E所围成图形的面积小于2
5．命题：直角坐标系中动点到定点的距离比到轴的距离大2；命题：动点的坐标满足方程．则是的（ ）条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
6．已知圆的直径长为8，与相离的直线垂直于直线，垂足为，且，圆上的两点，到的距离分别为，，且．若，，则（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
7．已知方程表示的曲线为，则下列命题正确的个数有（ ）
①若曲线为椭圆，则且焦距为常数
②曲线不可能是焦点在轴的双曲线
③若，则曲线上存在点，使，其中为曲线的焦点
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
8．圆锥曲线具有丰富的光学性质，在人教版A版选择性必修第一册的阅读与思考中提到了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线，经过椭圆反射后，反射光线交于椭圆的另一个焦点上，（如图（1））.如图（2），已知为椭圆的左焦点，为坐标原点，直线为椭圆的任一条切线，为在上的射影，则点的轨迹是（ ）
A．圆 B．椭圆 C．双曲性 D．抛物线
二、多选题
9．已知曲线C是平面内到两个定点F1（－1，0）和F2（1，0）的距离的积等于常数a2（a＞1）的点的轨迹．下列结论正确的是（　　）
A．曲线C过坐标原点
B．曲线C关于坐标原点对称
C．曲线C关于坐标轴对称
D．若点P在曲线C上，则△F1PF2的面积不大于a2
10．在平面直角坐标系中，已知点是一个动点，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则点的轨迹为椭圆
B．若，则点的轨迹为双曲线
C．若，则点的轨迹为一条直线
D．若，则点的轨迹为圆
11．已知曲线（为非零常数），则（ ）
A．原点是的对称中心
B．直线与恒有两个交点
C．当时，直线是的渐近线
D．当时，直线为的对称轴
12．已知点是圆上的任意一点，点，线段的垂直平分线交于点，设点的轨迹为曲线.直线与曲线交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．曲线的方程为 B．曲线的离心率为
C．直线的方程为 D．的周长为
三、填空题
13．已知定点B（3,0），点A在圆x2＋y2＝1上运动，∠AOB的平分线交线段AB于点M，则点M的轨迹方程是 ．
14．1675年，卡西尼在矿究土星及其卫星的运行规律时发现了卡西尼卵形线，卡西尼卵形线是平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹．已知点，动点满足，则面积的最大值为 ．
15．如图，是平面的斜线段，点为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹的形状是 ．

16．已知在平面直角坐标系xOy中，，动点P满足则P点的轨迹Γ为圆 ，过点A的直线交圆Γ于两点C，D，且，则 .
四、解答题
17．在直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心为，半径为1的圆，直线的极坐标方程为．
(1)求与交点的极坐标；
(2)设与交于，两点，求.
18．在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
(1)求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)已知是曲线上一点，求到直线距离的最大值．
19．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)求的极坐标方程和的直角坐标方程；
(2)若与交于，两点，且，求.
20．已知在平面直角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，直线的极坐标方程为，且直线与曲线交于A，B两点.
(1)求曲线C的极坐标方程以及直线的一般方程；
(2)若，求的值以及曲线上的点到直线距离的最大值．
21．已知点，动点到直线的距离为，且，记的轨迹为曲线.
(1)求曲线的方程；
(2)过作圆的两条切线分别交曲线于A，B两点，求面积的最小值.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】代入化简可得，再设，，根据辅助角公式求解即可.
【详解】由题意，
.
因为，故可设，，
则，其中.
故当时取小值.
故选：D
2．A
【分析】设动圆圆心为，根据已知条件，列出方程，整理化简即可求得结果.
【详解】设动圆圆心为，显然，依题意有：，
即，；又，解得；
综上所述，动圆圆心的轨迹方程是.
故选：A.
3．D
【分析】由题意建立适当的平面直角坐标系设出点的坐标，首先由得，进一步由结合即可得出点的轨迹方程由此即可得解.
【详解】
由题意不妨设，则，
而，即，
又，所以，即，
因为，所以，即为部分椭圆.
故选：D.
4．C
【分析】A由、，均在曲线上即可判断；B应用基本不等式即可判断；C由，结合立方和公式及B的结论即可判断；D根据与图形的位置关系判断.
【详解】对A，若在星形线E上，则也在E上，故E关于y轴对称，
交换位置，E的方程不变，即点也在E上，则E也关于对称，A正确；
对B，由，则，
当且仅当时等号成立，B正确；
对C，由，当且仅当时等号成立，故E上的点到原点距离的最小值为，C错误；
对D，曲线E过，，由，
则在所围成的区域内部，而所围成的面积为2，
故曲线E所围成图形的面积小于2，D正确.
故选：C
【点睛】关键点点睛：应用基本不等式有，由及立方和公式求两点距离，利用与图形的位置判断面积大小.
5．B
【分析】
求出平面内到定点的距离比到y轴的距离大2的动点P的轨迹方程，结合充分、必要条件的定义判定即可得解．
【详解】命题：点到定点的距离比到轴的距离大2.
当命题成立时，得，
当时，，化简得；
当时，，化简得；
则动点的轨迹方程为或;
命题：动点满足方程；
则不能推出，能够推出，则是的必要不充分条件.
故选：B.
6．D
【分析】方法一，由题意找到点满足的关系式，，由韦达定理可解；
方法二：由题意可知点，在抛物线上运动，利用抛物线定义可解.
【详解】方法一：如图建系，，

圆，，，
，，
同理，，是的两根，
，．
方法二：以所在直线为轴，以中垂线所在直线为轴建系，

设，，在上的射影分别为，，
，，，在抛物线上运动，
两根为，，.
故选：D．
【点睛】思路点睛：解决本题的关键在于由距离公式得出点所在曲线的方程，进而结合韦达定理求解.
7．D
【分析】根据椭圆、双曲线的方程的特征逐一求出参数范围判断①②；对于③，满足条件的点在以为直径的圆上，即，联立方程求解即可判断.
【详解】对于①，曲线是椭圆等价于，解得，
且，，则焦距为常数，故①正确；
对于②，若曲线是焦点在轴上的双曲线，则，解得，故②正确.
对于③，若，则曲线为，则，
若曲线上存在点，使，
则点在以为直径的圆上，即，
由，解得或，
所以有4个符合条件的点，故③正确,
所以正确的命题有3个.
故选：D
8．A
【分析】方法一：利用椭圆的切线方程的结论，进而得到直线的方程，联立切线的方程和直线的方程，化简即可确定点的轨迹；
方法二：设与椭圆相切于点，过右焦点作于，延长与直线交于点，则有全等，所以，设，结合直角三角形边与交的关系可得，，所以，故，即可求解；
【详解】解法一：设切线与椭圆相切于点，则切线的方程是，
切线的斜率为，则直线的方程是，
，
，①
，②
由①②可得，，③
，④
所以由③④可得，，故点的轨迹是圆.
解法二：如图，设切线与椭圆相切于点，
过右焦点作于，延长与直线交于点，
则有，所以全等，所以，
由椭圆光学性质知，
设，则，
，所以，
故，即点的轨迹是圆；
故选：.
9．BCD
【详解】
设动点坐标为(x，y)，由题意，得·＝a2，即[(x＋1)2＋y2]·[(x－1)2＋y2]＝a4，若曲线C过坐标原点(0，0)，将点(0，0)代入曲线C的方程中可得a2＝1，与已知a＞1矛盾，故曲线C不过坐标原点，故A不正确．把方程中的x被－x代换，y被－y代换，方程不变，故曲线C关于坐标原点对称，故B正确．因为把方程中的x被－x代换，方程不变，故此曲线关于y轴对称，把方程中的y被－y代换，方程不变，故此曲线关于x轴对称，所以曲线C关于坐标轴对称，故C正确．若点P在曲线C上，则PF1·PF2＝a2，则△F1PF2的面积为·PF1·PF2·sin ∠F1PF2≤a2，当且仅当∠F1PF2＝90°时，等号成立，故△F1PF2的面积不大于a2，故D正确．
10．BCD
【分析】根据题意结合圆、双曲线以及直接法求轨迹方程逐项分析判断.
【详解】对于选项A：，则点的轨迹为线段，故A错误；
对于选项B：，则点的轨迹是双曲线，故B正确；
对于选项：设，
由，可得，
化简得，表示一条直线，故C正确；
对于选项D：由，可得，
则点的轨迹是以为直径的圆，故D正确.
故选：BCD.
11．ACD
【分析】将点代入方程不变，可得判定A正确；联立方程，结合，可判定B错误；当时，曲线整理为，得到点到直线的距离，进而可判定C正确；当时，求得点关于直线的对称点为，进而求得，得到在上，可判定D正确.
【详解】对于A中，在上任取一点，
则点代入方程得，
故点在上，所以关于原点对称，所以A正确；
对于B中，联立方程，整理得，
可得，当时，，所以B错误；
对于C中，当时，曲线，
整理为，在曲线上任取一点，
则到直线的距离，
当逐渐增大时，逐渐减小，当无限增大时，无限接近0，
则直线是的渐近线，所以C正确；
对于D中，当时，曲线整理为，在上任取一点，
则关于直线的对称点为，且，
即，则，
即，
当时，，所以点在上，
所以直线为的对称轴，所以D正确.
故选：ACD.
12．ACD
【分析】由题意作出图分析可知曲线为椭圆，从而求出椭圆的方程判断选项A与B，由点差法求出直线的斜率，然后求得直线的方程，可知C正确，由直线过椭圆的上焦点，所以的周长为，可知D正确.
【详解】如图：
由图可知点到点与点的距离之和始终为定值且，
故点的轨迹为：以点与点为焦点的椭圆，可设其方程为，
故，，所以，，
所以椭圆的方程为：，故A正确；
椭圆的离心率为：，故B错误；
直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，
设，，则，.
由点差法得：，所以，
所以，即，
所以直线的方程为：，即，故C正确；
由于直线：过椭圆的上焦点，
所以的周长为，故D正确。
故选：ACD.
13．．
【分析】由角平分线的性质定理和向量的坐标运算、圆的方程，可得所求方程．
【详解】设，则，
设，
由为的角平分线，
可得，
即有，
可得,，
即，，
可得，，
则，
即为．
故答案为：．
14．3
【分析】根据题意可列等量关系，化简可得，即可求解，由面积公式即可求解.
【详解】已知定点为，，
因为动点满足，
所以点的轨迹方程为，
两边同时平方可得，
整理得，
所以，
此时，当且仅当，时，取得最大值，
故答案为：3
15．椭圆
【分析】
由题意点到直线的距离为定值，由平面与圆柱面的截面性质的判断即可得解.
【详解】依题意知点到直线的距离为定值，
若忽略平面的限制，则点的轨迹为一个以为轴的圆柱面，
即点的轨迹为一个以为轴的圆柱面与平面的交线，
且平面与圆柱的轴斜交，
由平面与圆柱面的截面性质的判断可得，平面截圆柱面所得的曲线即点的轨迹形状为椭圆．
故答案为：椭圆.
16．
【分析】设，根据可得圆的方程，利用垂径定理可求.
【详解】设，则，整理得到，
即.
因为，故为的中点，过圆心作的垂线，垂足为，
则为的中点，则，故，
解得，
故答案为：，.
17．(1)和
(2)
【分析】（1）根据消元法和公式可得的极坐标方程，进而求解；
（2）解法一：根据公式法可得的极坐标方程，将代入可得关于的一元二次方程，结合韦达定理和极径的几何意义即可求解.解法二：将直线l化为参数方程，代入的普通方程，结合韦达定理和参数t的几何意义即可求解.
【详解】（1）由，消去得，
将代入，得的极坐标方程为，
又直线的极坐标方程为，
故直线和曲线交点的极坐标为和．
（2）解法一 将极坐标化为直角坐标为，
可得的直角坐标方程为，
将，，代入，
得的极坐标方程为，
将代入，得，
则由根与系数的关系，得，
则.
解法二 将极坐标化为直角坐标为，
可得的直角坐标方程为．
由的极坐标方程为，得其参数方程为（为参数），
代入，整理得．
设点A，对应的参数分别为，
由根与系数的关系，得，
则.
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用消参法即可求出直线的普通方程，利用二倍角公式，化简曲线的极坐标方程，利用极坐标和直角坐标的转化公式，即可求得曲线的直角坐标方程；
（2）解法一，根据椭圆的方程设，利用点到直线的距离公式求出到直线距离的表达式，结合三角函数性质，即可求得答案；
解法二，设与直线平行的直线与曲线相切，与联立，利用判别式求出t的值，利用平行线间的距离公式即可求得答案.
【详解】（1）将（为参数）中的参数消去，得直线的普通方程为；
由，得，即，
将代入上式，得，
曲线的直角坐标方程为；
（2）解法一，设，
到的距离（其中），
当时，，
即到直线的距离的最大值为.
解法二 ，设与直线平行的直线与曲线相切，
将与联立并整理，得，
，
，
切线方程为，
到直线的距离的最大值等于直线与直线之间的距离，
即为．
19．(1)，
(2)
【分析】（1）消去参数求得普通方程，然后将，代入，方程可得所求；
（2）将的参数方程代入的普通方程，根据直线参数的几何意义和韦达定理可得.
【详解】（1）将曲线的参数方程（为参数）中的参数消去，得.
将，代入上式，得曲线的极坐标方程为.
由得，将，代入上式，得曲线的直角坐标方程为.
（2）在直线上，的参数方程为（为参数），
代入，得.
设，对应的参数分别为，，则，
所以.
20．(1)，；
(2)，.
【分析】（1）利用三角函数的恒等变换，结合参数方程、极坐标方程与普通方程的互化即可得解；
（2）判断得点在圆上，利用圆的性质得到，进而得到圆心到直线的距离，从而求得的值，再确定圆上的点到直线距离的最大值，由此得解.
【详解】（1）依题意，曲线可化为，
则，即，则，
故曲线的极坐标方程为，
而直线可化，
则直线的一般方程为．
（2）依题意，圆心，半径为，
易知点在圆上，又，所以，
则点到直线的距离为，所以，
则或，
当时，直线过原点，不满足题意，舍去；
故，则直线，满足题意；
则圆心到直线的距离，故所求距离的最大值为.
21．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意得到方程，求出轨迹方程；
（2）设，则，，由四点共圆，求出圆的方程，求出相交弦的方程为，求出弦长和点到直线距离，表达出，令，，求导得到函数的单调性和最小值，得到答案.
【详解】（1）由题意得，
化简得，
故曲线的方程为；
（2）设，则，，
由于⊥，⊥，故四点共圆，
其中圆心为的中点，半径为，
故此圆方程为，即，
与相减得，
即直线的方程为，
原点到直线的距离为，
故，
点到直线的距离为，
故，
令，则，
令，，
则恒成立，
在上单调递增，
故当时，取得最小值，最小值为，
故的面积最小值为.
【点睛】圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
答案第1页，共2页
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