3.2空间向量基本定理同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

3.2 空间向量基本定理 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（ ）
A．1 B． C． D．
2．如图，空间四边形中，，，，在线段上，且，点为中点，则（ ）

A． B． C． D．
3．若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A． B．
C． D．
4．在下列条件中，使M与A，B，C一定共面的是（其中O为坐标原点）（ ）
A． B．
C． D．
5．以等腰直角三角形斜边上高为折痕，把和折成的二面角.若，，则最小值为（ ）
A． B． C． D．
6．已知体积为的正三棱锥的外接球的球心为，若满足，则此三棱锥外接球的半径是（ ）
A．2 B． C． D．
7．对于空间任一点和不共线的三点，，，有，则是，，，四点共面的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
8．下列命题正确的个数是（ ）
①若是空间任意四点，则有；
②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面；
③若共线，则与所在直线平行；
④对空间任意一点O与不共线的三点，若 (其中)，则四点共面
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．下面四个结论正确的是（ ）
A．若三个非零空间向量满足，则有
B．若空间四个点，，则三点共线．
C．已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底
D．已知向量，，若，则为钝角．
10．若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
11．已知是三个不共面的向量，则下列向量组中，可以构成基底的是（ ）
A． B．
C． D．
12．如图，在三棱柱中，底面为等边三角形，为的重心，，若，则（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
13．平行六面体中，，，，动点在直线上运动，则的最小值为 ．
14．已知是空间向量的单位正交基底，是空间向量的另一个基底，若向量在基底下的坐标是，则向量在基底下的坐标是 .
15．已知A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，平面ABCD外一点P，满足，则 .
16．已知平行六面体中，，与的交点为，，，则 ， ．
四、解答题
17．如图所示，平行六面体中，，.

(1)用向量表示向量；
(2)求.
18．如图所示，平行六面体中，．
(1)用向量表示向量，并求；
(2)求．
19．如图，四棱锥中，底面为直角梯形，，，设的二面角为
(1)当时，求的体积；
(2)设N为的中点，，求的取值范围.
20．如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且．
(1)试用基底表示向量；
(2)求线段的长．
21．如图，在三棱台中，，，，设，以为空间的一个基底，求直线的一个方向向量.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．C
【分析】将化简为：，利用四点共面定理可得，即可求解.
【详解】因为，所以，可化简为：，即，
由于，，，四点共面，则，解得：；
故选：C
2．B
【分析】利用空间向量的基本定理可得出关于、、的表达式.
【详解】因为为的中点，则，
因为，则，
因此，.
故选：B.
3．C
【分析】由共面向量基本定理进行运算检验选项，排除法可得结果.
【详解】对于A，，所以三个向量共面，排除；
对于B，，所以三个向量共面，排除；
对于D，，所以三个向量共面，排除.
故选：C.
4．D
【分析】根据四点共面的条件逐项判断即可求得结论.
【详解】空间向量共面定理：，若不共线，且共面，其充要条件是.
对A，因为，所以四点不共面；
对B，因为，所以四点不共面；
对C，由可得，
因为，所以四点不共面；
对D，由可得，
即，因为，所以四点共面.
故选：D
5．C
【分析】根据二面角的平面角的定义得是和折成120°的二面角的平面角，解三角形求得，，由已知得点P在平面ABC内，则的最小值为点D到平面ABC的距离，设点D到平面ABC的距离为h，运用等体积法可求得答案.
【详解】由已知得，
所以是和折成的二面角的平面角，所以，
又，所以，
，所以，
因为，其中，
所以点在平面内，则的最小值为点到平面的距离，
设点到平面的距离为，
因为，，平面，
所以平面，所以是点到平面的距离，
所以，
又中，，所以，
而为三角形内角，所以，
则，
所以，解得，
所以的最小值为，
故选：C.

【点睛】关键点点睛：空间向量中的线段长度的最值问题，可根据向量代数式的几何意义转化为点面距的问题来处理.
6．D
【分析】先确定三角形的位置以及形状，利用球的半径表示棱锥的底面边长与棱锥的高，利用棱锥的体积求出该三棱锥外接球的半径，从而可得结果.
【详解】正三棱锥的外接球的球心满足，
说明三角形在球的大圆上，并且为正三角形，
设球的半径为，根据对称性易知：正三棱锥中顶点到底面的距离为球的半径，
由正弦定理有底面三角形的边长为，
棱锥的底面正三角形的高为，
正三棱锥的体积为，解得，
则此三棱锥外接球的半径是．
故选：D.
7．B
【分析】根据共面向量定理判断点满足，且，向量，，共面，得到，，，四点共面，可以是充分条件；再通过举出反例得出反面不成立，即可得出答案．
【详解】解：若，则，即，
由共面定理可知向量，，共面，所以，，，四点共面；
反之，若，，，四点共面，当与四个点中的一个比如点重合时，
，可取任意值，不一定有，
所以是，，，四点共面的充分不必要条件．
故选：B．
8．B
【分析】
根据向量可围成封闭图形可知①正确；任意两个向量都可以共面，若共线，它们所在的直线可以重合，即②③错误；由空间向量基本定理可知，为空间中任意一点，四点不一定共面，即④错误.
【详解】若是空间任意四点，易知向量构成封闭图形，则，即①正确；
若空间中任意两个向量都是共面的，故②错误；
若共线，则与所在直线平行或重合，即③错误；
对空间任意一点与不共线的三点，若（其中），
则,即
当时，，此时四点共面，
当时，此时四点不共面，故④错误.
因此只有①正确；
故选：B
9．BC
【分析】
根据向量的概念，空间向量的基本定理，以及空间向量基底的定义和空间向量的数量积的运算公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，若非零空间向量满足，不一定满足，所以A不正确；
对于B中，因为，则，即，
又因为与有公共点，所以三点共线，所以B正确；
对于C中，由是空间的一组基底，且，
令，可得，此时方程组无解，所以不共面，
所以可以作为一个空间基底，所以C正确；
对于D中，若为钝角，则，且与不共线，
由，解得，当时与平行时，由，解得，
当与不共线得，所以当且时，为钝角，所以D错误.
故选：BC
10．ACD
【分析】根据空间向量共面基本定理进行求解判断即可．
【详解】对于A，因为，故三个向量共面，故A符合题意；
对于B，假设，，共面，
则，使得，
故有，方程组无解，故假设不成立，即，，不共面；
故B不符合题意；
对于C，，故三个向量共面，故C符合题意；
对于D，，故三个向量共面，故D题意符合．
故选：ACD．
11．BCD
【分析】利用空间向量基底的意义逐一分析各选项中的三个向量是否共面即可得解.
【详解】对于A，因为，则三个向量共面，它们不能构成一个基底，故A不符合题意；
对于B，假设共面，则必有不全为0的实数，
使得，又不共面，
则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故B符合题意；
对于C，假设共面，则必有不全为0的实数，
使得，又不共面，
则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故C符合题意；
对于D，假设共面，则必有不全为0的实数，
使得，又不共面，
则，无解，所以不共面，它们能构成一个基底，故D符合题意.
故选：BCD
12．ABD
【分析】
A选项，根据重心性质得到，求出；B选项，，利用向量数量积公式得到，得到垂直关系；C选项，，故两者不平行；D选项，利用向量数量积公式得到，得到.
【详解】A选项，底面为等边三角形，为的重心，
故，
又，故
，A正确；
B选项，，故
，
故，B正确；
C选项，，
又，
设，即，无解，故与不平行，C错误；
D选项，
，
故，D正确.
故选：ABD
13．/
【分析】根据题设，，，可选取，，为一组基底，将和分解为，，表示，进而利用数量积进行运算即可求出最小值．
【详解】设，，，

设，则，，
则，
由，，，
可得，，
，
当时，的最小值为．
故答案为：．
14．
【分析】依题意可得，即可得解.
【详解】向量在基底下的坐标是，
，
所以向量在基底下的坐标是.
故答案为：
15．
【分析】
借助向量基本定理可设，借助向量的线性运算可得，即有，结合向量基本定理将系数一一对应计算即可得.
【详解】由，
故，
由A，B，C，D四点共面且任意三点不共线，
故可设，，，
则有，
整理可得，
则有，解得，故.
故答案为：.
16． 1 /
【分析】由数量积定义直接计算，根据空间向量基本定理得到，平方后，利用向量数量积公式得到.
【详解】如图：

因为在平行六面体中，，，
所以；
因为；
所以.
故答案为：1；
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据图形，利用向量的几何运算，即可求出结果；
（2）根据条件，利用向量数量积的运算及定义，即可求出结果.
【详解】（1）如图，.

（2）因为，，，
所以
,
又，
，
所以.
18．(1)，
(2)
【分析】
（1）借助空间向量的线性运算与模长与数量积的关系计算即可得；
（2）结合题意，借助空间向量的线性运算与夹角公式计算即可得.
【详解】（1），
则
，
所以.
（2）由空间向量的运算法则，可得，
因为且，
所以
，
，
则.
19．(1)
(2).
【分析】
（1）取中点O，AD中点M，连接OM,PM,BM，过点P作于点H，证得，平面，可求的体积.
（2）分别用表示，将化为的函数从而可求范围.
【详解】（1）取AB中点O，AD中点M，连接.
因为底面ABCD为直角梯形，，，
所以，
因为O为AB中点，所以，因为，
所以为的二面角，即，
过点P做于点H，
因为，平面，所以平面.
因为平面ABCD，所以平面平面ABCD，
因为平面平面，，平面，所以平面ABCD.
因为，，所以，因为，所以，
因为直角梯形ABCD的面积，
所以的体积；
（2）因为N是CD的中点，以为基底，
所以，
因为，，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以
因为，所以，
所以的取值范围为.
20．(1)
(2)
【分析】（1）连接，延长，交于，根据三角形重心的性质与该四棱锥的结构特征，算出用基底表示向量的式子；
（2）根据题意，、、两两垂直，可用向量数量积的运算性质，结合题中所给的数据算出线段的长．
【详解】（1）连接，延长，交于，
由为的重心，得是边上的中线，且，
结合，得，
因为，所以，整理得，
因此，；
（2）因为底面，，底面是边长为的正方形，
所以，，，
可得
，
所以，即线段的长为．
21．直线AE的一个方向向量为，直线AD的一个方向向量是
【分析】利用空间向量基本定理得到，，得到答案.
【详解】
，
所以直线AE的一个方向向量为；
所以直线AD的一个方向向量是.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页