3.3空间向量的坐标表示同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

3.3 空间向量的坐标表示 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知点.则向量（ ）
A． B． C． D．
2．在棱长为4的正方体中，是的中点，是上的动点，则三棱锥外接球半径的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．
3．如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，，为棱的中点，且，则（ ）
A． B．0 C．2 D．4
5．《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”，现有一阳马，面，，为底面及其内部的一个动点且满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．在平行六面体中，，则点的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
7．已知向量则向量在向量上的投影向量为（ ）
A． B． C． D．
8．已知空间向量，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．与夹角的余弦值为
C． D．
二、多选题
9．已知三棱锥中，点P在平面ABC内的投影为D，四边形ABCD为正方形，若，记，，，则下列说法正确的是（ ）
A．为一组单位正交基底
B．
C．三棱锥的体积为
D．三棱锥的外接球表面积为
10．下列说法正确的是（ ）
A．已知，，则在上的投影向量为
B．若是四面体的底面的重心，则
C．若，则，，，四点共面
D．若向量，（，，都是不共线的非零向量）则称在基底下的坐标为，若在单位正交基底下的坐标为，则在基底下的坐标为
11．已知向量，，，则（ ）
A． B．在上的投影向量为
C． D．向量共面
12．如图，在棱长为2的正方体中，点E、F、G、H分别为棱、、、的中点，点M为棱上动点，则（ ）

A．点E、F、G、H共面 B．的最小值为
C．点B到平面的距离为 D．
三、填空题
13．已知向量，，且与平行，则 .
14．如图，在三棱锥中，为等边三角形，三棱锥的体积为，则三棱锥外接球的表面积为 ．
15．已知空间向量，则在方向上的投影为 ．
16．如图，矩形的对角线交于，，沿把折起，使二面角为直二面角，则在平面的射影长度为 ， .

四、解答题
17．如图所示，在三棱柱中，，是的中点.
(1)用表示向量；
(2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由.
18．如图，三棱锥的棱长都相等，记，，，点在棱上， .
(1)若D是棱的三等分点（靠近点），用向量，，表示向量；
(2)若D是棱的中点，，求三棱锥的棱长.
19．如图，在棱长为1的正方体中，E， F分别是的中点，点G在棱CD上，且， H是的中点.以D为坐标原点，所在直线分别为 x 轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求向量和的坐标.
20．如图平行六面体中，三棱间夹角均为．求：

(1)对角线的长度；
(2)平行六面体全面积；
(3)平行六面体体积．
21．如图所示，在四棱锥中，为等腰直角三角形，且，四边形ABCD为直角梯形，满足，

(1)求证；
(2)若点E为PB的中点，点F为CD的中点，点M为棱AB上一点．当时，求的值．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．B
【分析】根据条件，利用两点求向量的方法，即可求出结果.
【详解】因为，所以，
故选：B.
2．C
【分析】取的中点，根据题意分析可知：三棱锥外接球的球心在过垂直于平面的直线上，设，建系，结合空间两点距离公式可得，进而利用基本不等式运算求解.
【详解】连接，取的中点，可知为的外心，
过作平面的垂线，可知三棱锥外接球的球心在该垂线上，
设，
以为坐标原点，分别为轴，建立空间直角坐标系，
则，
因为，即，
整理得，当且仅当，即时，等号成立，
所以三棱锥外接球半径的最小值为.
故选：C.
【点睛】关键点点睛：根据题意分析可知三棱锥外接球的球心在过垂直于平面的直线上，再以空间直角坐标系为依托，分析求解.
3．B
【分析】结合正三棱柱的性质和空间向量的运算可得答案.
【详解】取下底面ABC的中心Q，连接，则，
∴．
故选:B．
4．C
【分析】首先分析题意，作，建立空间直角坐标系，设出对应点的坐标建立方程，整体代换求解即可.
【详解】作，以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
，
，，
，即
，即C正确,
故选：C.
5．D
【分析】由已知可求得，建立空间坐标系，利用已知设，，根据向量的数量积公式及辅助角公式计算即可得出结果.
【详解】平面，，连接，由，可得，
四边形为矩形，以为轴建立如图所示坐标系，
则，，设，，
则，
所以
因为，则，则，
所以.
故选：D
6．B
【分析】利用空间向量的坐标运算可得.
【详解】设点的坐标为，则由，得，解得，，则点的坐标为，
故选：B.
7．D
【分析】利用投影向量的定义结合已知条件求解即可.
【详解】由投影向量公式得向量在向量上的投影向量为.
故选：D
8．C
【分析】
根据空间向量的坐标运算，即可判断选项.
【详解】对于A：，因为，所以与不平行，故A错误；
对于B：与夹角的余弦值为，故B错误；
对于C：，，则，即，故C正确；
对于D：，，故D错误；
故选：C
9．ACD
【分析】如图，将三棱锥补形为正方体，结合单位正交基底、向量的线性运算、三棱锥的体积公式、球的表面积公式依次求解即可．
【详解】A：将三棱锥补形为正方体，则三棱锥内接于直径为的球，
如图所示，则两两垂直，故A正确；
B：，故B错误；
C：由题意知平面，又，，
所以，故C正确；
D：由选项A知，该正方体的对角线长为，三棱锥外接球即为正方体得外接球，
所以该球的表面积，故D正确.
故选：ACD．
10．BD
【分析】首先分析题意，利用投影向量，共面向量基本定理，向量的基底，向量的正交逐个选项分析判断即可.
【详解】对于A：由于
则在的投影向量为,故A错误;
对于B:由于点G为的底面的重心，设点D为BC的中点，故
整理得故
故故B正确；
对于C：由于对于
故四点不共面，故C错误.
对于D: 在单位正交基底下的坐标为,即
所以在基底下满足
整理得解得故，解得，
则在基底下的坐标为故D正确.
故选：BD
11．ABD
【分析】
根据向量模长、投影向量求法、向量垂直的坐标表示、向量共面的判断方法依次判断各个选项即可.
【详解】
对于A，，，，A正确；
对于B，，
在上的投影向量为，B正确；
对于C，，与不垂直，C错误；
对于D，，共面，D正确.
故选：ABD.
12．ACD
【分析】根据题意建立空间之间坐标系，利用平面向量基本定理可对A判断，利用向量的垂直表示可对D判断；利用正方体面展开图可对B判断；利用等体积法可对C判断.
【详解】如图，以D为原点，建立空间直角坐标系，
则，，，，，

对A：，，，
设，即，解得，，
所以共面，故A正确．
对B：将正方体沿剪开展开如下图，连接交于一点，此点为点，
此时为最小值，故B错误；

对C：由等体积法可知，即，
由，，求解得，故C正确.
对D：，，，
，则，所以，故D正确.
故选：ACD.
13．/
【分析】根据题意，由空间向量平行的坐标公式，代入计算，即可得到结果.
【详解】，，
因为与平行，所以当时，，解得；
当时，，.
综上，.
故答案为：
14．
【分析】以A为坐标原点建立空间坐标系，根据条件求出C坐标，因为为直角三角形，故球心O在过BD中点且与面ABD垂直的方向上，设球心O坐标，根据求得O坐标，可求得外接球的表面积.
【详解】
过作面于，
则三棱锥的体积为，所以，
取中点，连接，，
因为为等边三角形，所以，
又面，面，所以，
又，所以面，
面，所以，
在中， 所以
以，为轴，垂直于，方向为轴，建立如图所示空间坐标系，
设球心，在面的投影为，
由得，
所以为的外接圆圆心，所以为斜边的中点，故设
由得，解得，
所以，
故外接球的表面积为，
故答案为：
【点睛】关键点点睛：此题直接求球心或半径有一定的难度，先是确定球心在过面的外心且与面垂直的线上，设球心的坐标，利用球心到各顶点的距离相等求出坐标，从而求得球的半径.
15．
【分析】根据给定条件，利用投影向量的定义求解即得.
【详解】向量，则，
所以在方向上的投影为，
故答案为：
16．
【分析】根据题意，选择适当的点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用面面垂直的性质定理与平面几何的知识求得点的坐标，从而利用空间向量法即可得解.
【详解】依题意，以点为坐标原点，平面为平面，方向分别为轴的正方向，
建立空间直角坐标系，

则，
在矩形中，作于，于，于，

因为二面角为直二面角，即平面平面，
又平面平面，，平面，
所以平面，则在平面上的射影为，
因为，所以，，
所以，所以，，，
所以，则，
所以.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键是利用平面几何的知识，求得点的坐标，从而得解.
17．(1)；
(2)存在，时，.
【分析】（1）结合图形由空间向量的线性运算计算可得；
（2）设，用向量表示，由向量垂直根据空间向量的数量积的坐标运算求出即可.
【详解】（1）
（2）假设存在点，使，设，
显然.
因为，所以，
即
.
设，又，
即，
解得，
所以当时，.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据空间向量的基本运算求解即可；
（2）根据正三棱锥的性质，结合求解即可.
【详解】（1）.
（2）因为三棱锥的棱长都为，所以三棱锥各面都是正三角形，
则，，， ，
所以，
又因为，所以
19．，
【分析】根据空间直角坐标系，求出点的坐标，可求向量和的坐标．
【详解】
由已知可得点， ，， .
因为是的中点，所以点坐标为.
故，.
20．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）由向量模的公式以及数量积运算即可得解；
（2）由三角形面积公式即可求出表面积；
（3）由郭要红体积公式即可得解.
【详解】（1）
，
．
（2）.
（3）由郭要红体积公式可得．
附：（郭要红体积公式）
四面体中， 已知，，则
，其中（IV）．
证明：证法一：如图3，过D作平面ABC，O在AB，AC上的射影分别为E，F，则A，E，O，F四点共圆，由正弦定理知，．

图3
连结DE，DF，则，，故，，
∴，
，
．
记，则，
∴．
证法二：由公式（III）的证明知
（其中），
∴四面体的体积为．
21．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）利用勾股定理证明，再利用线面垂直的判定定理证得平面，再根据线面垂直的性质即可得证；
（2）以点为坐标原点建立空间直角坐标系，根据，可得，进而可得出答案.
【详解】（1）因为为等腰直角三角形，，，
所以，
又，，所以，
而，，故，
因，平面，故平面，
又平面，所以；
（2）如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，
则，
设，而，所以，
所以，所以，又，
因为，故，
所以，解得，
所以．

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