4.1等差数列 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 4.1等差数列 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 723.6KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-12 21:45:25 | ||
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文档简介
4.1 等差数列 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列的前项和为，，若，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．17
2．等差数列的通项公式为，其前项和为，则数列的前100项的和为（ ）
A．-10100 B．10100 C．-5050 D．5050
3．设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（ ）
A． B． C． D． E．均不是
4．已知为等差数列的前n项和，，则（ ）
A．100 B．250 C．500 D．750
5．数列满足，前12项和为164，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．在数列中，，对任意正整数，则数列的前项和的最大值为（ ）
A．77 B．76 C．75 D．74
7．设为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
8．已知，分别是等差数列与的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．直线是曲线的切线
B．有两个极值点
C．有三个零点
D．存在等差数列，满足
10．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ）
A． B．当时，
C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则的值可能为6
11．设是公差为d的等差数列，为其前项的和，且，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．，均为的最大值
12．下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等差数列
C．数列是递增数列 D．数列是递增数列
三、填空题
13．已知数列的首项，且数列是以1为公差的等差数列，则 ．
14．已知数列的前n项和满足，记数列的前n项和为，，则使得成立的n的最大值为
15．等差数列前n项和分别为，且满足，则 ．
16．已知表示不超过的最大整数，，设，且，则的最小值为 ；当时，满足条件的所有值的和 .
四、解答题
17．对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.
(1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.
18．已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)求证：数列是等差数列，并写出其首项与公差.
19．已知正项数列的前项和为，且．
(1)证明：是单调递减数列．
(2)求数列的前项和．
20．在等差数列中，已知
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)是不是数列中的项？
21．设数列为等差数列，前项和为 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，求．
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】先根据条件判断数列是等差数列，再根据等差数列的前项和与等差数列的性质求解.
【详解】因为，所以数列是等差数列，
由，得，
所以．
故选：C
2．C
【分析】利用等差数列求和，再判断数列是等差数列，再求前100项和.
【详解】等差数列，所以，
所以，因为，即数列是等差数列，
所以数列数列的前项的和为.
故选：C
3．C
【分析】运用等差数列的等和性及等差数列前项和公式求解即可.
【详解】由等差数列的等和性可得，
.
故选：C.
4．B
【分析】本题考查等差数列通项公式、求和公式，直接利用通项公式和求和公式计算即可；也可利用等差数列的性质公式简化运算.
【详解】解法一：设等差数列的公差为d，则，即，所以，故，
故选：B.
解法二：因为，所以，得，故，
故选：B.
5．C
【分析】利用递推关系求出偶数项的和及奇数项与首项的关系，结合条件可得答案.
【详解】因为，所以，
，
因为前12项和为164，所以，
所以，即，解得.
故选：C.
6．A
【分析】先由题给条件判定数列为等差数列，进而求得数列的通项公式，利用数列的单调性即可求得其前n项和的最大值.
【详解】因为，即，所以为等差数列，且公差为-3．又20，
所以，所以数列单调递减数列，
所以，
所以最大，且．
故选：A．
7．B
【分析】根据条件求出，再利用等差数列的性质，即可求出结果.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，
所以，
故选：B.
8．A
【分析】利用等差数列的第项和前项和的关系进行计算.
【详解】.
故选：A.
9．BCD
【分析】由导数的意义可知斜率为时，求出切点，再由点斜式判断A错误；求导后由单调性可判断B正确；代入极值点后可判断C正确；由等差中项可判断D正确.
【详解】，
A：令，而，
由点斜式可知此时切线方程为；
，由点斜式可知此时切线方程为；
所以直线不是曲线的切线，故A错误；
B：令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故时取得极大值，取得极小值；故B正确；
C：因为，所以由单调性可知函数由三个零点，故C正确；
D：取，则，故D正确；
故选：BCD
10．ABD
【分析】对A，根据等差数列通项公式求解即可；对B，分析的公差再求解即可；对C，由B中通项公式判断即可；对D，根据题意判断当时即可.
【详解】对A，，故A正确；
对B，当时，公差，此时，故B正确；
对C，当时，此时，，即是数列中的项，故C错误；
对D，当时，，又，故D正确.
故选：ABD
11．BCD
【分析】由题意首先得，结合已知可得，进一步有，由此即可逐一判断每个选项.
【详解】由题意，
又是公差为d的等差数列，所以，故A错B对；
从而，所以，均为的最大值，D对；
而，所以，C对.
故选：BCD.
12．ABD
【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据公差，逐一写出四个选项的通项公式，利用等差数列的定义以及函数单调性加以判断即可.
【详解】设等差数列的首项为，所以，
对于A，由，则，所以，即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确；
对于B，由，所以，则，所以数列是以公差为的等差数列，故B正确；
对于C，由，可得，当时，数列不是递增数列，故C不正确；
对于D，由，可得，所以，所以数列是递增数列，故D正确；
故选：ABD
13．
【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式，求得，进而求得的值，得到答案.
【详解】由数列的首项，且数列是以1为公差的等差数列，
可得，则，
所以.
故答案为：.
14．19
【分析】根据题意，由与的关系可得，再由裂项相消法代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，当时，，
当时，，
且也满足上式，所以，
则，则，
所以，
由可得，解得，
所以使得成立的n的最大值为19.
故答案为：19
15．
【分析】根据等差前项和的性质即可结合等差中项求解.
【详解】．
故答案为：
16．
【分析】由的最小公倍数为，得只需在这个范围内讨论即可，再结合等差数列得前项和公式即可得解.
【详解】由题意，当时，，
则，解得（舍去），
当时，，
则，解得（舍去），
当时，，
则，解得，
所以的最小值为，
当时，，
则，解得（舍去），
当时，，
则，解得，
当时，，
则，解得，
当时，，故舍去，
因为的最小公倍数为，
以为首项为公差的等差数列，设为，则，
以为首项为公差的等差数列，设为，则，
所以数列和是满足条件的所有值，
令，解得，
令，解得，
则当时，满足条件的所有值的和
.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：由的最小公倍数为，可得只需在这个范围内讨论，求出这个范围内的的值，是解决本题的关键.
17．(1)是，理由见解析
(2)①的可能值为.②证明见解析
【分析】（1）根据题意，推得，取，得到，即可求解；
（2）若是“数列”，且为等差数列，得到，进而得到存在，使得，求得，得到的值，进而求得的可能值；
②设数列公差为，得到，求得，鸡儿推得，得到答案.
【详解】（1）解：数列的通项公式为，
对任意的，都有，
取，则，所以 是“数列”.
（2）解：数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，
则，
对任意的，
，由题意存在，使得，
即，显然，
所以，即，
.所以是8的正约数，即，
时，；
时；
时；
时.
综上，的可能值为.
②若对任意，存在，使得成立，
所以存在，
设数列公差为，则，
可得，
对任意，
则，取，
可得，所以数列是“数列”.
18．(1)
(2)证明见解析，首项为，公差为
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，
（2）根据等差数列的定义证明即可.
【详解】（1）设数列的首项为，公差为，
依题意得：，解得：，
故.
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
所以，所以，
所以数列是以为公差的等差数列，又，
故数列的首项为，公差为.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据与的关系依次求出，，再利用作商法可确定数列的单调性.
（2）先对通项分母有理化，再分奇偶进行讨论求解.
【详解】（1）证明：当时，，得．因为，所以．
当时，，则，
所以，即．
因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，
因为为正项数列，所以．
当时，，也适合该式，所以．
因为，且，所以是递减数列．
（2）解：由已知得：，
当为偶数时，，
当为奇数时，
，
所以，
20．(1)或；
(2)-5或13；
(3)详解见解析.
【分析】（1）由等差数列的性质得，解方程组可得和的值，可得公差d，则通项公式可求；
（2）分别求出在不同通项公式下的的值；
（3）把分别代入两个不同的通项公式，求解n的值得答案
【详解】（1）由，得，
又，所以，
所以，故是一元二次方程的两个实根，
解得或
当时，公差
数列的通项公式为：
当时，公差，
数列的通项公式为：
（2）当时，
当时，
（3）当时，由，解得，不合题意，
所以不是数列中的项
当时，由，解得，所以是数列中的第20项.
另解：（1）由，得，
又，所以=7，
设数列的公差为则，
化简整理的，解得
数列的通项公式为：或 下解同前
21．(1)
(2)
【分析】（1）设公差，将条件利用等差数列的基本关系式列出方程组，求解即得；
（2）将代入，分母有理化后，利用裂项相消法求和即得.
【详解】（1）设数列的公差为，由，
则，解得，故；
（2）由（1）得．
.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知数列的前项和为，，若，则（ ）
A．5 B．7 C．9 D．17
2．等差数列的通项公式为，其前项和为，则数列的前100项的和为（ ）
A．-10100 B．10100 C．-5050 D．5050
3．设等差数列，的前项和分别为，，若对任意正整数都有，则（ ）
A． B． C． D． E．均不是
4．已知为等差数列的前n项和，，则（ ）
A．100 B．250 C．500 D．750
5．数列满足，前12项和为164，则的值为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
6．在数列中，，对任意正整数，则数列的前项和的最大值为（ ）
A．77 B．76 C．75 D．74
7．设为等差数列的前项和，已知，则（ ）
A．8 B．10 C．12 D．14
8．已知，分别是等差数列与的前项和，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数，则（ ）
A．直线是曲线的切线
B．有两个极值点
C．有三个零点
D．存在等差数列，满足
10．已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列，下列说法正确的有（ ）
A． B．当时，
C．当时，不是数列中的项 D．若是数列中的项，则的值可能为6
11．设是公差为d的等差数列，为其前项的和，且，，则下列说法正确的是（ ）
A． B． C． D．，均为的最大值
12．下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中正确的有（ ）
A．数列是等差数列 B．数列是等差数列
C．数列是递增数列 D．数列是递增数列
三、填空题
13．已知数列的首项，且数列是以1为公差的等差数列，则 ．
14．已知数列的前n项和满足，记数列的前n项和为，，则使得成立的n的最大值为
15．等差数列前n项和分别为，且满足，则 ．
16．已知表示不超过的最大整数，，设，且，则的最小值为 ；当时，满足条件的所有值的和 .
四、解答题
17．对于无穷数列，若对任意，且，存在，使得成立，则称为“数列”.
(1)若数列的通项公式为，试判断数列是否为“数列”，并说明理由；
(2)已知数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，求所有可能的取值；
②若对任意，存在，使得成立，求证：数列为“数列”.
18．已知等差数列的前项和为，且，.
(1)求的通项公式；
(2)求证：数列是等差数列，并写出其首项与公差.
19．已知正项数列的前项和为，且．
(1)证明：是单调递减数列．
(2)求数列的前项和．
20．在等差数列中，已知
(1)求数列的通项公式；
(2)求的值；
(3)是不是数列中的项？
21．设数列为等差数列，前项和为 ．
(1)求数列的通项公式；
(2)设的前项和为，求．
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第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．C
【分析】先根据条件判断数列是等差数列，再根据等差数列的前项和与等差数列的性质求解.
【详解】因为，所以数列是等差数列，
由，得，
所以．
故选：C
2．C
【分析】利用等差数列求和，再判断数列是等差数列，再求前100项和.
【详解】等差数列，所以，
所以，因为，即数列是等差数列，
所以数列数列的前项的和为.
故选：C
3．C
【分析】运用等差数列的等和性及等差数列前项和公式求解即可.
【详解】由等差数列的等和性可得，
.
故选：C.
4．B
【分析】本题考查等差数列通项公式、求和公式，直接利用通项公式和求和公式计算即可；也可利用等差数列的性质公式简化运算.
【详解】解法一：设等差数列的公差为d，则，即，所以，故，
故选：B.
解法二：因为，所以，得，故，
故选：B.
5．C
【分析】利用递推关系求出偶数项的和及奇数项与首项的关系，结合条件可得答案.
【详解】因为，所以，
，
因为前12项和为164，所以，
所以，即，解得.
故选：C.
6．A
【分析】先由题给条件判定数列为等差数列，进而求得数列的通项公式，利用数列的单调性即可求得其前n项和的最大值.
【详解】因为，即，所以为等差数列，且公差为-3．又20，
所以，所以数列单调递减数列，
所以，
所以最大，且．
故选：A．
7．B
【分析】根据条件求出，再利用等差数列的性质，即可求出结果.
【详解】设等差数列的首项为，公差为，则，解得，
所以，
故选：B.
8．A
【分析】利用等差数列的第项和前项和的关系进行计算.
【详解】.
故选：A.
9．BCD
【分析】由导数的意义可知斜率为时，求出切点，再由点斜式判断A错误；求导后由单调性可判断B正确；代入极值点后可判断C正确；由等差中项可判断D正确.
【详解】，
A：令，而，
由点斜式可知此时切线方程为；
，由点斜式可知此时切线方程为；
所以直线不是曲线的切线，故A错误；
B：令，解得，所以函数在上单调递增，在上单调递减，
故时取得极大值，取得极小值；故B正确；
C：因为，所以由单调性可知函数由三个零点，故C正确；
D：取，则，故D正确；
故选：BCD
10．ABD
【分析】对A，根据等差数列通项公式求解即可；对B，分析的公差再求解即可；对C，由B中通项公式判断即可；对D，根据题意判断当时即可.
【详解】对A，，故A正确；
对B，当时，公差，此时，故B正确；
对C，当时，此时，，即是数列中的项，故C错误；
对D，当时，，又，故D正确.
故选：ABD
11．BCD
【分析】由题意首先得，结合已知可得，进一步有，由此即可逐一判断每个选项.
【详解】由题意，
又是公差为d的等差数列，所以，故A错B对；
从而，所以，均为的最大值，D对；
而，所以，C对.
故选：BCD.
12．ABD
【分析】由题意写出等差数列的通项公式，根据公差，逐一写出四个选项的通项公式，利用等差数列的定义以及函数单调性加以判断即可.
【详解】设等差数列的首项为，所以，
对于A，由，则，所以，即数列是等差数列为公差为的等差数列，故A正确；
对于B，由，所以，则，所以数列是以公差为的等差数列，故B正确；
对于C，由，可得，当时，数列不是递增数列，故C不正确；
对于D，由，可得，所以，所以数列是递增数列，故D正确；
故选：ABD
13．
【分析】根据题意，利用等差数列的通项公式，求得，进而求得的值，得到答案.
【详解】由数列的首项，且数列是以1为公差的等差数列，
可得，则，
所以.
故答案为：.
14．19
【分析】根据题意，由与的关系可得，再由裂项相消法代入计算，即可得到结果.
【详解】因为，当时，，
当时，，
且也满足上式，所以，
则，则，
所以，
由可得，解得，
所以使得成立的n的最大值为19.
故答案为：19
15．
【分析】根据等差前项和的性质即可结合等差中项求解.
【详解】．
故答案为：
16．
【分析】由的最小公倍数为，得只需在这个范围内讨论即可，再结合等差数列得前项和公式即可得解.
【详解】由题意，当时，，
则，解得（舍去），
当时，，
则，解得（舍去），
当时，，
则，解得，
所以的最小值为，
当时，，
则，解得（舍去），
当时，，
则，解得，
当时，，
则，解得，
当时，，故舍去，
因为的最小公倍数为，
以为首项为公差的等差数列，设为，则，
以为首项为公差的等差数列，设为，则，
所以数列和是满足条件的所有值，
令，解得，
令，解得，
则当时，满足条件的所有值的和
.
故答案为：；.
【点睛】关键点点睛：由的最小公倍数为，可得只需在这个范围内讨论，求出这个范围内的的值，是解决本题的关键.
17．(1)是，理由见解析
(2)①的可能值为.②证明见解析
【分析】（1）根据题意，推得，取，得到，即可求解；
（2）若是“数列”，且为等差数列，得到，进而得到存在，使得，求得，得到的值，进而求得的可能值；
②设数列公差为，得到，求得，鸡儿推得，得到答案.
【详解】（1）解：数列的通项公式为，
对任意的，都有，
取，则，所以 是“数列”.
（2）解：数列为等差数列，
①若是“数列”，，且，
则，
对任意的，
，由题意存在，使得，
即，显然，
所以，即，
.所以是8的正约数，即，
时，；
时；
时；
时.
综上，的可能值为.
②若对任意，存在，使得成立，
所以存在，
设数列公差为，则，
可得，
对任意，
则，取，
可得，所以数列是“数列”.
18．(1)
(2)证明见解析，首项为，公差为
【分析】（1）根据等差数列基本量的计算即可求解，
（2）根据等差数列的定义证明即可.
【详解】（1）设数列的首项为，公差为，
依题意得：，解得：，
故.
所以数列的通项公式为.
（2）由（1）知，
所以，所以，
所以数列是以为公差的等差数列，又，
故数列的首项为，公差为.
19．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据与的关系依次求出，，再利用作商法可确定数列的单调性.
（2）先对通项分母有理化，再分奇偶进行讨论求解.
【详解】（1）证明：当时，，得．因为，所以．
当时，，则，
所以，即．
因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，
所以，
因为为正项数列，所以．
当时，，也适合该式，所以．
因为，且，所以是递减数列．
（2）解：由已知得：，
当为偶数时，，
当为奇数时，
，
所以，
20．(1)或；
(2)-5或13；
(3)详解见解析.
【分析】（1）由等差数列的性质得，解方程组可得和的值，可得公差d，则通项公式可求；
（2）分别求出在不同通项公式下的的值；
（3）把分别代入两个不同的通项公式，求解n的值得答案
【详解】（1）由，得，
又，所以，
所以，故是一元二次方程的两个实根，
解得或
当时，公差
数列的通项公式为：
当时，公差，
数列的通项公式为：
（2）当时，
当时，
（3）当时，由，解得，不合题意，
所以不是数列中的项
当时，由，解得，所以是数列中的第20项.
另解：（1）由，得，
又，所以=7，
设数列的公差为则，
化简整理的，解得
数列的通项公式为：或 下解同前
21．(1)
(2)
【分析】（1）设公差，将条件利用等差数列的基本关系式列出方程组，求解即得；
（2）将代入，分母有理化后，利用裂项相消法求和即得.
【详解】（1）设数列的公差为，由，
则，解得，故；
（2）由（1）得．
.
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