4.2等比数列 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册
文档属性
| 名称 | 4.2等比数列 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册 |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 814.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 上教版（2020） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-04-12 21:45:45 | ||
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文档简介
4.2 等比数列 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知等比数列满足，且，则的最大值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
2．已知为等比数列，若，则（ ）
A．4 B． C． D．
3．在递增等比数列中，，，则公比q为( )
A． B．2 C．3 D．
4．已知等比数列的前项和为，则（ ）
A．63 B．728 C．730 D．64
5．设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B．3 C． D．5
6．对于数列，若点都在函数的图象上，其中且，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．设为等比数列的前项和，，，则（ ）
A．20 B．10 C．5 D．2
8．在等比数列中，．则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．已知数列的前项和为，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．数列，，，为等比数列
11．已知数列的首项为，且，数列、数列数列的前项和分别为，则（ ）
A． B． C． D．
12．对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（ ）
A．若数列是递减数列，则为常数列
B．若数列是递增数列，则有
C．满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8
D．若，记为的前n项和，则
三、填空题
13．在数列中，，，则 ．
14．已知等比数列的前n项和为，且满足，则实数λ的值是 ．
15．已知各项都为正数的等比数列，若，则 .
16．记为数列的前项和，为数列的前项积，若，且，则 ，当取得最小值时， .
四、解答题
17．已知数列的前n项和为，满足（且），．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设数列满足，证明：．
18．已知数列的前项和为，关于的方程有两个相等的实数根．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
19．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“佳幂数”．
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；
(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；
(3)（ⅰ）求满足的最小的“佳幂数”；
（ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．
20．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为.
(1)设第次构造后得的数列为，则，请用含的代数式表达出，并推导出与满足的关系式；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明：
21．已知数列满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】设出公比，根据题目条件求出公比和首项，得到通项公式，并得到当时，，当时，1，当时，，从而求出最大值.
【详解】设等比数列的公比为，由，得，即，
又，得，得，所以，
所以．
易知当时，，当时，1，当时，．
令，则，，
故．，
从而．
故选：D．
2．B
【分析】由等比中项的性质求解即可.
【详解】，
，
，
，
.
故选：B
3．B
【分析】根据等比数列通项公式基本量的计算，结合已知条件，即可求得结果.
【详解】，，
故可得，，两式相比可得：，
即，解得或，又，故；
又为递增数列，故.
故选：B.
4．B
【分析】由已知条件和等比数列的通项公式求出，代入等比数列的前项和公式即可算出.
【详解】设等比数列的公比为，
，即，
，
.
故选：B．
5．A
【分析】利用等差数列的性质可得，从而可求.
【详解】因为，故即，而，
故，
故选：A
6．A
【分析】利用等比数列的性质，结合指数函数的性质和充分必要条件的判断求解.
【详解】因为在函数的图象上，所以，
即是以为首项，为公比的等比数列.
若，且，，则可能的情况由两种：
（1）则，所以等比数列首项为负，公比，所以等比数列单调递增；
（2）则，所以等比数列首项为正，公比，所以等比数列单调递增.
所以“”是“为递增数列”的充分条件.
若为递增数列，，又且，
所以：或
由；
由；
所以“”是“为递增数列”的必要条件.
故选：A
7．D
【分析】法一：由题意可得数列是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的前项和可得，代入化简即可得出答案；法二：由倒序相加法结合等比数列的性质可得，代入化简即可得出答案.
【详解】法一：因为是等比数列，设其公比为，由题意得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
则，．
设数列的前项和为，
则．
法二：设数列的前项和为，则，
则
，即．
故选：D．
8．B
【分析】结合等比数列的性质与充分条件与必要条件的定义判断即可的.
【详解】设等比数列的公比为，
当时，即有，又，故且，
当时，有，故不能得到，
即“”不是“”的充分条件；
当时，即有，即且，
则，当时，由，故，故，
当时，，亦可得，
故“”是“”的必要条件；
综上所述，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
9．AC
【分析】根据数列递推式可求得，判断A；利用递推式求出数列的通项公式，判断B；判断数列的性质，结合等比数列前n项和公式求出，可判断C；根据即可判断D.
【详解】由题意知数列的前项和为，且，
则，A正确；
当时，，则，即，
而，即时，不适合，
故数列从第2项起为公比为的等比数列，则，B错误；
由于，C正确；
当时，，
也适合该式，故，
则，D错误，
故选：AC
10．ABC
【分析】根据等比数列的性质得到，即可得到关于和方程组，结合条件解得和，从而得到，再逐一分析各个选项，即可求解.
【详解】对于B，因为数列为等比数列，则，
由，解得或，
则或，又为整数，所以，故B正确；
对于A，此时，则，故A正确；
对于CD，又，所以，
则，，，
因为，所以不是等比数列，故C正确，D错误；
故选：ABC.
11．BCD
【分析】先推出均为非零项，变形得到是以4为首项，公比为4的等比数列，求出通项公式，对于A，计算出，A错误；B选项，分组求和得到；C选项，，分组求和即可；D选项，错位相减法并进行放缩得到答案.
【详解】若数列中存在某项，由可推得，
进而所有项均为0，与矛盾，故数列均为非零项．
由两边同时除以，可得，
所以，
故数列是以4为首项，公比为4的等比数列，所以，即，
对于A，因为，可得，矛盾，所以A错误；
对于B，由，
所以成立，所以B正确；
对于C，由，
所以，所以C正确；
对于D，因为，则，
错位相减得，
则成立，所以D正确．
故选：BCD
【点睛】结论点睛：常见的裂项相消法求和类型：
分式型：，，等；
指数型：，等，
根式型：等，
对数型：，且；
12．ABD
【分析】由“M值数列”的定义，对选项中的结论进行判断.
【详解】若数列是递减数列，则是，，…，中最大值（）（），
所以， 为常数列，A选项正确；
若数列是递增数列，则是，，…，中最大值（）（），
所以，即，B选项正确；
满足为2，3，3，5，5，则，，可以取1，2，3，，可以取1，2，3，4，5，
所有数列的个数为，C选项错误；
若，则数列中奇数项构成递增的正项数列，偶数项都是负数，
则有，
所以，D选项正确.
故选：ABD.
13．255
【分析】将给定的递推公式变形构造等比数列求解即可.
【详解】数列中，，则，，
于是得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，即，
所以.
故答案为：255．
14．-2
【分析】由已知推得，继而结合等比数列的前n项和的特点及已知即可求解.
【详解】等比数列中，由可得，
则，若公比，则，
则，故，
则等比数列的前n项和，（），
故令，即，
故答案为：
15．9
【分析】首先分析题意，利用等比中项性质化简求解即可.
【详解】已知各项都为正数的等比数列，且，
所以，解得或（舍去），
所以.
故答案为：9.
16． 6
【分析】先利用题给条件确定为公比为的等比数列，进而求得其通项公式；先求得的表达式，进而求得取得最小值时的n值.
【详解】由题意知，因为，所以，
故为公比为的等比数列，
由得，，解得，
所以，
则，
当取得最小值时，则为奇数，且取得最小值，
所以或（舍）.
故答案为：；
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由移项可得数列公比为，即可证明；
（2）由（1）求出通项后，再由对数运算求出，最后用裂项相消法证明不等式即可.
【详解】（1）证明：因为，
所以，即，又，
所以，即有，所以数列为等比数列.
（2）证明：由（1）可知，首项，所以，
所以，
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由得到，再利用与的关系求解；
（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.
【详解】（1）解：因为关于的方程有两个相等的实数根，
所以，即，
当时，，
又当时，，符合上式，所以．
（2）由（1）得，
则，①
，②
①②得
，
，
故．
19．(1)1、2、3、18；
(2)50不是“佳幂数”，理由见解析
(3)（ⅰ）1897；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）由数列的“佳幂数”的定义求解即可；
（2）由题意求出，由“佳幂数”的定义判断即可；
（3）(i)根据（2）中的分组先确定时，所分组数的范围，结合新定义配出的形式，确定出的最小值；(ii)根据(i)中的结论证明即可.
【详解】（1）因为，所以1为该数列的“佳幂数”；
又因为，，
所以2、3、18也为该数列的“佳幂数”；
所以该数列的前4个“佳幂数”为：1、2、3、18；
（2）由题意可得，数列如下：
第1组：1；
第2组：1，2；
第3组：1，2，4；
…
第组：，
则该数列的前项的和为：
，①
当时，，
则，
由于，对，，
故50不是“佳幂数”．
（3）（ⅰ）在①中，要使，有
出现在第44组之后，又第组的和为，前组和为
第组前项的和为．
则只需．
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小“佳幂数”
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：．
当，且取任意整数时，可得“佳幂数”，
所以，该数列的“佳幂数”有无数个.
【点睛】方法点睛：解答数列新定义的基本步骤
①审题：仔细阅读材料，认真理解题意；
②建模：将已知的条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求通项还是前项和；
③求解：求出该问题的数学解；
④还原：将所求结果还原到原问题中.
20．(1)，；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据新数列构造的定义，直接求解即可；
（2）根据递推公式构造，结合等比数列的定义和通项公式求解即可；
（3）利用放缩可得，再根据等比数列求和公式证明即可.
【详解】（1）设第次构造后得的数列为，则，
根据题意可得第次构造后得到的数列为，，，
所以，
即与满足的关系式为.
（2）由，可得，
且，，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，即.
（3）由（2）得，
所以
21．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）对递推式变形得，利用等差数列定义即可证明，代入等差数列通项公式即可求解；
（2）先利用（1）知，然后利用分组求和思想求解即可.
【详解】（1）显然，将两边同时取倒数得，即，所以数列是公差为2的等差数列，
所以，所的.
（2）由已知得，那么数列的前项和，
当为偶数时，；
当为奇数时，．
故.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知等比数列满足，且，则的最大值为（ ）
A．12 B．13 C．14 D．15
2．已知为等比数列，若，则（ ）
A．4 B． C． D．
3．在递增等比数列中，，，则公比q为( )
A． B．2 C．3 D．
4．已知等比数列的前项和为，则（ ）
A．63 B．728 C．730 D．64
5．设为等差数列的前项和，若，则（ ）
A． B．3 C． D．5
6．对于数列，若点都在函数的图象上，其中且，则“”是“为递增数列”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
7．设为等比数列的前项和，，，则（ ）
A．20 B．10 C．5 D．2
8．在等比数列中，．则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
二、多选题
9．已知数列的前项和为，且，则下列命题正确的是（ ）
A． B． C． D．
10．在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．数列，，，为等比数列
11．已知数列的首项为，且，数列、数列数列的前项和分别为，则（ ）
A． B． C． D．
12．对于数列（），定义为，，…，中最大值（）（），把数列称为数列的“M值数列”.如数列2，2，3，7，6的“M值数列”为2，2，3，7，7，则（ ）
A．若数列是递减数列，则为常数列
B．若数列是递增数列，则有
C．满足为2，3，3，5，5的所有数列的个数为8
D．若，记为的前n项和，则
三、填空题
13．在数列中，，，则 ．
14．已知等比数列的前n项和为，且满足，则实数λ的值是 ．
15．已知各项都为正数的等比数列，若，则 .
16．记为数列的前项和，为数列的前项积，若，且，则 ，当取得最小值时， .
四、解答题
17．已知数列的前n项和为，满足（且），．
(1)证明：数列为等比数列；
(2)设数列满足，证明：．
18．已知数列的前项和为，关于的方程有两个相等的实数根．
(1)求的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
19．已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是，接下来的两项是，，再接下来的三项是，，，依此类推．设该数列的前项和为，规定：若，使得，则称为该数列的“佳幂数”．
(1)将该数列的“佳幂数”从小到大排列，直接写出前4个“佳幂数”；
(2)试判断50是否为“佳幂数”，并说明理由；
(3)（ⅰ）求满足的最小的“佳幂数”；
（ⅱ）证明：该数列的“佳幂数”有无数个．
20．若在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列．现对数列1，2进行构造，第一次得到数列1，3，2；第二次得到数列1，4，3，5，2；依次构造，第次得到的数列的所有项之和记为.
(1)设第次构造后得的数列为，则，请用含的代数式表达出，并推导出与满足的关系式；
(2)求数列的通项公式；
(3)证明：
21．已知数列满足.
(1)求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和.
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第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
参考答案：
1．D
【分析】设出公比，根据题目条件求出公比和首项，得到通项公式，并得到当时，，当时，1，当时，，从而求出最大值.
【详解】设等比数列的公比为，由，得，即，
又，得，得，所以，
所以．
易知当时，，当时，1，当时，．
令，则，，
故．，
从而．
故选：D．
2．B
【分析】由等比中项的性质求解即可.
【详解】，
，
，
，
.
故选：B
3．B
【分析】根据等比数列通项公式基本量的计算，结合已知条件，即可求得结果.
【详解】，，
故可得，，两式相比可得：，
即，解得或，又，故；
又为递增数列，故.
故选：B.
4．B
【分析】由已知条件和等比数列的通项公式求出，代入等比数列的前项和公式即可算出.
【详解】设等比数列的公比为，
，即，
，
.
故选：B．
5．A
【分析】利用等差数列的性质可得，从而可求.
【详解】因为，故即，而，
故，
故选：A
6．A
【分析】利用等比数列的性质，结合指数函数的性质和充分必要条件的判断求解.
【详解】因为在函数的图象上，所以，
即是以为首项，为公比的等比数列.
若，且，，则可能的情况由两种：
（1）则，所以等比数列首项为负，公比，所以等比数列单调递增；
（2）则，所以等比数列首项为正，公比，所以等比数列单调递增.
所以“”是“为递增数列”的充分条件.
若为递增数列，，又且，
所以：或
由；
由；
所以“”是“为递增数列”的必要条件.
故选：A
7．D
【分析】法一：由题意可得数列是首项为，公比为的等比数列，由等比数列的前项和可得，代入化简即可得出答案；法二：由倒序相加法结合等比数列的性质可得，代入化简即可得出答案.
【详解】法一：因为是等比数列，设其公比为，由题意得，
所以数列是首项为，公比为的等比数列．
则，．
设数列的前项和为，
则．
法二：设数列的前项和为，则，
则
，即．
故选：D．
8．B
【分析】结合等比数列的性质与充分条件与必要条件的定义判断即可的.
【详解】设等比数列的公比为，
当时，即有，又，故且，
当时，有，故不能得到，
即“”不是“”的充分条件；
当时，即有，即且，
则，当时，由，故，故，
当时，，亦可得，
故“”是“”的必要条件；
综上所述，“”是“”的必要不充分条件.
故选：B.
9．AC
【分析】根据数列递推式可求得，判断A；利用递推式求出数列的通项公式，判断B；判断数列的性质，结合等比数列前n项和公式求出，可判断C；根据即可判断D.
【详解】由题意知数列的前项和为，且，
则，A正确；
当时，，则，即，
而，即时，不适合，
故数列从第2项起为公比为的等比数列，则，B错误；
由于，C正确；
当时，，
也适合该式，故，
则，D错误，
故选：AC
10．ABC
【分析】根据等比数列的性质得到，即可得到关于和方程组，结合条件解得和，从而得到，再逐一分析各个选项，即可求解.
【详解】对于B，因为数列为等比数列，则，
由，解得或，
则或，又为整数，所以，故B正确；
对于A，此时，则，故A正确；
对于CD，又，所以，
则，，，
因为，所以不是等比数列，故C正确，D错误；
故选：ABC.
11．BCD
【分析】先推出均为非零项，变形得到是以4为首项，公比为4的等比数列，求出通项公式，对于A，计算出，A错误；B选项，分组求和得到；C选项，，分组求和即可；D选项，错位相减法并进行放缩得到答案.
【详解】若数列中存在某项，由可推得，
进而所有项均为0，与矛盾，故数列均为非零项．
由两边同时除以，可得，
所以，
故数列是以4为首项，公比为4的等比数列，所以，即，
对于A，因为，可得，矛盾，所以A错误；
对于B，由，
所以成立，所以B正确；
对于C，由，
所以，所以C正确；
对于D，因为，则，
错位相减得，
则成立，所以D正确．
故选：BCD
【点睛】结论点睛：常见的裂项相消法求和类型：
分式型：，，等；
指数型：，等，
根式型：等，
对数型：，且；
12．ABD
【分析】由“M值数列”的定义，对选项中的结论进行判断.
【详解】若数列是递减数列，则是，，…，中最大值（）（），
所以， 为常数列，A选项正确；
若数列是递增数列，则是，，…，中最大值（）（），
所以，即，B选项正确；
满足为2，3，3，5，5，则，，可以取1，2，3，，可以取1，2，3，4，5，
所有数列的个数为，C选项错误；
若，则数列中奇数项构成递增的正项数列，偶数项都是负数，
则有，
所以，D选项正确.
故选：ABD.
13．255
【分析】将给定的递推公式变形构造等比数列求解即可.
【详解】数列中，，则，，
于是得数列是以2为首项，2为公比的等比数列，
则，即，
所以.
故答案为：255．
14．-2
【分析】由已知推得，继而结合等比数列的前n项和的特点及已知即可求解.
【详解】等比数列中，由可得，
则，若公比，则，
则，故，
则等比数列的前n项和，（），
故令，即，
故答案为：
15．9
【分析】首先分析题意，利用等比中项性质化简求解即可.
【详解】已知各项都为正数的等比数列，且，
所以，解得或（舍去），
所以.
故答案为：9.
16． 6
【分析】先利用题给条件确定为公比为的等比数列，进而求得其通项公式；先求得的表达式，进而求得取得最小值时的n值.
【详解】由题意知，因为，所以，
故为公比为的等比数列，
由得，，解得，
所以，
则，
当取得最小值时，则为奇数，且取得最小值，
所以或（舍）.
故答案为：；
17．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）由移项可得数列公比为，即可证明；
（2）由（1）求出通项后，再由对数运算求出，最后用裂项相消法证明不等式即可.
【详解】（1）证明：因为，
所以，即，又，
所以，即有，所以数列为等比数列.
（2）证明：由（1）可知，首项，所以，
所以，
.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据题意，由得到，再利用与的关系求解；
（2）由（1）得到，再利用错位相减法求解.
【详解】（1）解：因为关于的方程有两个相等的实数根，
所以，即，
当时，，
又当时，，符合上式，所以．
（2）由（1）得，
则，①
，②
①②得
，
，
故．
19．(1)1、2、3、18；
(2)50不是“佳幂数”，理由见解析
(3)（ⅰ）1897；（ⅱ）证明见解析
【分析】（1）由数列的“佳幂数”的定义求解即可；
（2）由题意求出，由“佳幂数”的定义判断即可；
（3）(i)根据（2）中的分组先确定时，所分组数的范围，结合新定义配出的形式，确定出的最小值；(ii)根据(i)中的结论证明即可.
【详解】（1）因为，所以1为该数列的“佳幂数”；
又因为，，
所以2、3、18也为该数列的“佳幂数”；
所以该数列的前4个“佳幂数”为：1、2、3、18；
（2）由题意可得，数列如下：
第1组：1；
第2组：1，2；
第3组：1，2，4；
…
第组：，
则该数列的前项的和为：
，①
当时，，
则，
由于，对，，
故50不是“佳幂数”．
（3）（ⅰ）在①中，要使，有
出现在第44组之后，又第组的和为，前组和为
第组前项的和为．
则只需．
所以，则，此时，
所以对应满足条件的最小“佳幂数”
（ⅱ）证明：由（ⅰ）知：．
当，且取任意整数时，可得“佳幂数”，
所以，该数列的“佳幂数”有无数个.
【点睛】方法点睛：解答数列新定义的基本步骤
①审题：仔细阅读材料，认真理解题意；
②建模：将已知的条件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求通项还是前项和；
③求解：求出该问题的数学解；
④还原：将所求结果还原到原问题中.
20．(1)，；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据新数列构造的定义，直接求解即可；
（2）根据递推公式构造，结合等比数列的定义和通项公式求解即可；
（3）利用放缩可得，再根据等比数列求和公式证明即可.
【详解】（1）设第次构造后得的数列为，则，
根据题意可得第次构造后得到的数列为，，，
所以，
即与满足的关系式为.
（2）由，可得，
且，，
所以数列是以为首项，3为公比的等比数列，
所以，即.
（3）由（2）得，
所以
21．(1)证明见解析，
(2)
【分析】（1）对递推式变形得，利用等差数列定义即可证明，代入等差数列通项公式即可求解；
（2）先利用（1）知，然后利用分组求和思想求解即可.
【详解】（1）显然，将两边同时取倒数得，即，所以数列是公差为2的等差数列，
所以，所的.
（2）由已知得，那么数列的前项和，
当为偶数时，；
当为奇数时，．
故.
答案第1页，共2页
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