4.4数学归纳法 同步练习（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

4.4 数学归纳法 同步练习
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知，则共有（ ）
A．1项 B．项 C．项 D．项
2．用数学归纳法证明：时，从推证时，左边增加的代数式是（　　）
A． B．
C． D．
3．用数学归纳法证明：（）的过程中，从到时，比共增加了（ ）
A．1项 B．项 C．项 D．项
4．已知数列满足：，则下列命题正确的是（ ）
A．若数列为常数列，则 B．存在，使数列为递减数列
C．任意，都有为递减数列 D．任意，都有
5．利用数学归纳法证明时，第一步应证明（ ）
A． B．
C． D．
6．用数学归纳法证明（），在验证成立时，左边计算所得的项是（ ）
A．1 B．
C． D．
7．用数学归纳法证明，第一步应验证 （ ）
A．当时，不等式成立 B．当时，不等式成立
C．当时，不等式成立 D．当时，不等式成立
8．用数学归纳法证明不等式：，从到时，不等式左边需要增加的项为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．以下四个命题，其中满足“假设当时命题成立，则当时命题也成立”，但不满足“当（是题中给定的n的初始值）时命题成立”的是（ ）
A．
B．
C．凸n边形的内角和为
D．凸n边形的对角线条数
10．已知为数列的前项和，且，则（ ）
A．存在，使得 B．可能是常数列
C．可能是递增数列 D．可能是递减数列
11．已知数列的前项和为，若，则（ ）
A．为等差数列 B．
C． D．
12．已知数列和，设，，，则（ ）
A．， B．，
C．， D．，
三、填空题
13．利用数学归纳法证明“”时，由到时，左边应添加因式 .
14．用数学归纳法推断时，正整数n的第一个取值应为 ．
15．用数学归纳法证明（，）的过程中，当时，左端应在时的左端上加上
16．用数学归纳法证明（且），第一步要证明的不等式是 ，从到时，左端增加了 项.
四、解答题
17．已知等差数列的前项和为，公差，且成等比数列，．
(1)求数列的通项公式；
(2)若，求数列的前项和．
18．给定数列，称为的差数列（或一阶差数列），称数列的差数列为的二阶差数列……
(1)求的二阶差数列；
(2)用含的式子表示的阶差数列，并求其前项和．
19．已知等差数列的首项为，公差为，前项和为．
(1)若对，为常数k，求k；
(2)若，用数学归纳法证明：．
20．设，令，，．
(1)求，的表达式，并猜想；
(2)若数列满足：，求的前项和；
(3)若数列满足：，求的前项和．
21．设函数y＝f（x）对任意实数x，y都有f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋2xy.
(1)求f（0）的值；
(2)若f（1）＝1，求f（2），f（3），f（4）的值；
(3)在（2）的条件下，猜想f（n）（n∈N*）的表达式，并用数学归纳法加以证明.
第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页
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参考答案：
1．D
【分析】
依题意，分别写出的表达式，在中去掉中的项，即得剩余项的项数.
【详解】由可得，，
故的表达式中共有项数为.
故选：D.
2．A
【分析】根据，对分别赋值和，比较左式即得.
【详解】根据数学归纳法的规定，当时，等式为，
当时，等式为，
则左边增加的代数式是.
故选：A.
3．D
【分析】分别计算出和的项数，进而作差即得结论．
【详解】因为，
所以，共项，
则共项，
所以比共增加了项，
故选：D
4．D
【分析】
解方程判断A,利用单调性结合数学归纳法判断BD,举反例判断C.
【详解】对A:若数列为常数列，则，解得或，故A错误；
对B:易得，若为递减数列，则，解得或且，故不存在使得递减数列，故B错误；
对C,令，则，故不是递减数列，故C错误；
对D,用数学归纳法证明
当显然成立，
假设当，
则时，，故当时成立,
由选项B知，对任意 则数列为递减数列，故故D正确
故选：D
【点睛】利用递推关系结合数学归纳法证明，是本题关键.
5．B
【分析】观察为项连续正整数之和的规律，可得.
【详解】由题意，，
即从起连续项正整数之和.
则为从起连续3个正整数之和，
故第一步应证明.
故选：B.
6．C
【分析】
根据题意代入即可得结果.
【详解】
因为，
当时，左边，故C正确.
故选：C.
7．C
【分析】
利用数学归纳法的定义可得出结论.
【详解】由题意知的最小值为，所以第一步应验证当时，不等式成立，
故选：C.
8．D
【分析】根据归纳法即可得到答案.
【详解】解：根据数学归纳法可知：
当时，
当时，
相比从到，可知多增加的项为
故选：D
9．AB
【分析】首先根据数学归纳法逐一验证，并注意检验初始值是否成立即可求解.
【详解】A：假设当，时，命题成立，即，
当时有，故当时命题也成立，
当时有，故当n为给定的初始值时命题不成立；
B：假设当，时，命题成立，即，
当时有，故当时命题也成立，
当时，等号左边为2，右边为，，所以当时命题不成立；
C：假设当，时，命题成立，即，
当时有，故当时命题也成立，
当时内角和为命题成立；
D：假设当，时，命题成立，即，
当时有，故当时命题不成立.
综上可知，满足条件的选项为AB.
故选：AB.
10．ABD
【分析】取，可判断AB选项；利用反证法可判断C选项；取，求出数列的通项公式，结合数列的单调性可判断D选项.
【详解】因为为数列的前项和，且，
对于A选项，取，则，则，A对；
对于B选项，取，则，，，
以此类推可知，对任意的，，所以，可能是常数列，B对；
对于C选项，假设数列为递增数列，则对任意的，，
即，所以，对任意的恒成立，
但当时，，矛盾，故数列不可能是递增数列，C错；
对于D选项，取，则，，，
猜想，，
当时，猜想成立，
假设当时，猜想成立，即，
则当时，，
这说明当时，猜想也成立，故对任意的，，
此时，数列为单调递减数列，D对.
故选：ABD.
11．BCD
【分析】
A：根据的值进行分析判断；B：先表示出，根据表示的结果用数学归纳法证明的范围，由此判断出的正负；C：分析数列的单调性然后判断即可；D：令根据BC选项可得，进而可得结果.
【详解】对于A：由，即解得，
所以，
此时，所以不是等差数列，故A错误；
对于B： ，
因为，且，所以，
下面用数学归纳法证明：，
当时，，
设当时，，
当时，，
因为在上单调递增，
所以，
所以，所以，所以时成立，
所以成立，
所以，所以，
所以，所以，故B正确；
对于C：，
且，
由对勾函数单调性可知在上单调递增，
因为是递增数列，所以是递增数列，所以是递增数列，
所以是递减数列，所以是递减数列，
所以，所以，故C正确；
对于D：令，
则，
且
，
因为，，则，，
且，可得，
即，可知为递减数列，
则，
即，
整理得，故D正确；
故选：BCD.
【点睛】关键点睛：本题考查数列与不等式的综合运用，其中涉及到等差数列的判断、数列单调性的分析，对学生的分析与计算能力要求较高，难度较大.解答本题的关键在于BC选项的分析，先通过数学归纳法说明的范围，从而计算出的正负完成单调性证明，接着再通过分析的结果完成的单调性的说明，同时为分析D选项作铺垫.
12．ABD
【分析】利用已知结合不等式性质得出，，设命题：，，根据已知结合基本不等式与数学归纳法的步骤得出命题，成立，即可得出，结合已知判断A；根据，，得出，结合已知判断B；根据，，得出，结合已知得出即可判断C；设命题，，根据数学归纳法证明即可判断D.
【详解】，且，
，，，
，，，
设命题：，，
①当时，由题可知成立，
②设时，成立，则，由基本不等式得，
，，
成立，
根据数学归纳法可知，命题，成立；
对于A，，，
，，
，，故A正确；
对于B，，，
，，
，，故B正确；
对于C，，，
，
，不成立，故C错误；
对于D，命题：，，
①当时，由已知得成立，
②设时，成立，
，，，
成立，
根据数学归纳法可知，命题，成立，
则，成立，故D正确；
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是利用数学归纳法证得，从而得解.
13．
【分析】
根据条件写出时左边的表达式，进一步分析即可.
【详解】解：当时，左边，
当时，
左边
所以左边应添加因式为.
故答案为：.
14．
【分析】根据数学归纳法的步骤，结合函数图像可得时，恒成立.
【详解】
根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立；
结合本题现将看成函数上的点，将看成上的点，
两函数图像有两个交点，即，解得或，根据两函数图像分析，
时，恒成立，所以正整数n的第一个取值应为.
故答案为:
15．
【分析】由题意，整理取不同值时的式子，对比可得答案.
【详解】由题意，当时，所得等式左端为；
当时，所得等式左端为；
所以当时，左端应在时的左端上加上.
故答案为：.
16．
【分析】观察不等式的结构，式子左边为项之和，则当时，左边为项之和，当时，左边为项之和，时，左边共项之和.
【详解】由已知且，
故第一步要证明的不等式是当n＝2时成立的不等式，
即 ；
又当时，不等式左端为，共项之和，
当时，不等式左端为， 共项之和，
所以增加了，
共增加了项.
故答案为：；.
17．(1)
(2)
【分析】
（1）根据题意列式求，进而可得结果；
（2）根据题意利用分组求和法结合等差、等比数列求和公式运算求解.
【详解】（1）由题意可得：，即，
且，解得，
所以数列的通项公式.
（2）由（1）可得，
可得
，
所以.
18．(1)
(2)
【分析】（1）根据差数列的定义，依次求出数列的一阶差数列和二阶差数列即得；
（2）根据（1）的规律，猜想的阶差数列为，接着运用数学归纳法进行证明；再根据等比数列的前项和公式求解即得.
【详解】（1）由差数列的定义，数列的一阶差数列为
数列的二阶差数列为的一阶差数列，即
故数列的二阶差数列为．
（2）通过找规律得，的阶差数列为，下面运用数学归纳法进行证明：
①当时，显然成立；时，由（1）得结论也成立．
②假设该结论对时成立，尝试证明其对时也成立．
由差数列的定义，的阶差数列即的阶差数列的一阶差数列，即
故该结论对时也成立，证毕．
故的阶差数列为．该数列是以为首项，2为公比的等比数列，
故其前项和为
故的阶差数列为，其前项和为.
19．(1)4
(2)证明见解析
【分析】（1），根据等差数列公式得到，解得答案.
（2）确定，验证时成立，假设时成立，计算时也成立，得到证明.
【详解】（1），可得，
整理得，所以，
又，故，所以常数的值为4．
（2），则．
①当时，，，结论成立；
②假设当时，结论成立，即，即，
则当时，
，
即，所以当时，结论也成立．
由①②可得，原结论成立．
20．(1)；；；
(2)；
(3)
【分析】（1）根据题意，求出，，归纳猜想即可；
（2）应用分组求和及等比数列公式求和即可
（3）应用裂项相消法即可.
【详解】（1）因为，，，
则，
，
，
猜想；
（2）由，则，
则
则的前项和
；
（3），
则的前项和
21．(1);
(2)，，;
(3)，证明见解析
【分析】（1）利用特殊值法求解；
（2）由已知条件和，反复代入求解；
（3）利用数学归纳法证明.
【详解】（1）令，则，则.
（2）若，
则，
,
.
（3）猜想
下面利用数学归纳法证明，
当时，，满足条件
假设当时成立，即，
当 时， ，
从而可得当时满足条件
所以对任意的正整数，都有.
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