第1章 坐标平面上的直线 综合复习训练（含解析）2023——2024学年沪教版（2020）高中数学选择性必修第二册

第1章 坐标平面上的直线综合复习训练
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．直线的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系xoy中，已知，动点满足，且，则下列说法正确的是（ ）
A．动点的轨迹是一个圆 B．动点的轨迹所围成的面积为6
C．动点的轨迹跟坐标轴不相交 D．动点离原点最短距离为1
3．已知直线与直线互相平行，则实数a的值（ ）
A． B．或1 C．2 D．1
4．已知点A(－1，0)，B(5，2)，直线l经过AB的中点且与直线2x＋3y＋1＝0垂直，则l的方程是（ ）
A．3x＋2y－8＝0 B．3x－2y－4＝0
C．2x－3y－1＝0 D．2x＋3y－7＝0
5．已知经过点的直线的一个方向向量为，则的方程为（ ）
A． B．
C． D．
6．对于直线，下列选项正确的为（ ）
A．直线倾斜角为
B．直线在轴上的截距为
C．直线的一个方向向量为
D．直线经过第二象限
7．点到直线的距离最大时，其最大值以及此时的直线方程分别为（ ）
A．； B．；
C．； D．；
8．已知两条直线，的斜率分别为，，倾斜角分别为.若，则下列关系正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．直线过，两点，那么直线的倾斜角有可能是（ ）
A． B． C． D．
10．（多选）下列结论正确的是（　　）
A．经过点P（－2，5），且斜率为－的直线的方程是3x－4y＋26＝0
B．过点M（－3，5）且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为x－y＋8＝0
C．过点（x1，y1），（x2，y2）的直线的方程为（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1）
D．任意一条不过点（0，2）的直线均可用方程mx＋n（y－2）＝1形式表示
11．下列说法中错误的是（ ）
A．不过原点的直线都可以用方程表示
B．若直线，则两直线的斜率相等
C．过两点，的直线都可用方程表示
D．若两条直线中，一条直线的斜率存在，另一条直线的斜率不存在，则两条直线垂直
12．已知直线：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线的倾斜角是
B．过点与直线平行的直线是
C．直线到直线的距离为
D．若直线：，则
三、填空题
13．已知向量，若，则的最小值为 .
14．当m变化时，直线（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0恒过定点 .
15．若直线y＝k（x＋1）与以（1，2）和（1，－2）为端点的线段有交点，则该直线倾斜角的取值范围是 ．
16．已知两点分别在两条互相垂直的直线和上，且的中点为，则 ，直线的一般式方程为 ．
四、解答题
17．已知直线.
(1)若直线不经过第三象限，求的取值范围；
(2)若直线交轴负半轴于，交轴正半轴于的面积为（为坐标原点），求的最小值和此时直线的方程.
18．已知直线，设直线的交点为.
(1)求点的坐标；
(2)若直线过点且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
19．已知的三个顶点是，，．
(1)求边上的中线的直线方程；
(2)求边上的高的直线方程
(3)求AC边的垂直平分线
20．已知直线与直线．
(1)若两条直线垂直，求实数a的值；
(2)若两条直线的夹角为，求实数a的值．
21．已知的顶点，边上的中线所在的直线方程为，的内角平分线所在的直线方程为，求：
(1)顶点的坐标；
(2)直线的方程．
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参考答案：
1．C
【分析】根据题意求得直线的斜率，得到，进而求得直线的倾斜角，得到答案.
【详解】直线即的斜率为，设直线的倾斜角为，
则，因为，所以，即直线的倾斜角为.
故选：C
2．B
【分析】由题意得，结合可知，画出图形可知P点轨迹是一个菱形，故A、C错误；由点到直线的距离即可验证D；B转换成面积的两倍来求即可.
【详解】设P点坐标为，则由已知条件可得，整理得．
又因为，所以P点坐标对应轨迹方程为．
，且时，方程为；，且时，方程为；
，且时，方程为；，且时，方程为．
P点对应的轨迹如图所示：

，且，所以P点的轨迹为菱形，故A、C错误；
原点到：的距离为，D错误；
轨迹图形是平行四边形，面积为，B正确．
故选：B．
3．A
【分析】
根据直线平行的等价条件可得结果.
【详解】直线斜率必存在，由两直线平行则，
解得或，
当时，两直线都为，两直线重合，舍去；
当时，两直线分别为与直线，两直线平行，满足要求；
故选：A.
4．B
【详解】
由题意，所求直线的斜率为.又AB的中点为(2，1)，所以所求直线方程为y－1＝ (x－2)，即3x－2y－4＝0.
【考查意图】
两直线垂直的斜率判定．
5．B
【分析】
由题意得与共线，为直线上的点，且不与重合，由此即可得解.
【详解】设直线上任意与点不重合的一点为，由题意有与共线，
所以，整理得的方程为，
又点在直线上，且点满足方程，
综上所述，的方程为.
故选：B.
6．C
【分析】
由直线斜率与倾斜角的关系可判断A，令可判断B，得出直线上两点，可作一个确定的向量，判断该向量与是否共线即可，画出图形即可判断D.
【详解】因为直线的斜率为，所以直线倾斜角为，故A错误；
在中，令，解得，即直线在轴上的截距为，故B错误；
在中，令，解得，即直线过两点，
，所以直线的一个方向向量为，故C正确；
画出直线的图象如图所示，
所以直线不经过第二象限，故D错误.
故选：C.
7．C
【分析】根据题意，得到直线过定点，若使得到直线的距离最大，则，求得，得到，进而得到直线方程.
【详解】
由直线，
可得化为，
联立方程组，解得，即直线过定点，
若要到直线的距离最大，只需，
此时点到直线的最大距离，即为线段的长度，可得，
又由直线的斜率为，
因为，可得，可得，
故此时直线的方程为，即，
经检验，此时，上述直线的方程能够成立.
故选：C.
8．D
【分析】根据直线斜率与倾斜角的关系，结合正切函数的单调性即可得解.
【详解】依题意得，，，，
而在和上单调递增，且在上，，
在上，所以，即.
故选：D
9．AD
【分析】根据斜率的取值范围求得倾斜角的取值范围，进而选择正确答案.
【详解】设的倾斜角分别为，直线的斜率，
，又，
直线的倾斜角的取值范围是.
故选：AD.
10．CD
【详解】
解析：A选项，由点斜式，得所求直线方程是y－5＝－（x＋2），即3x＋4y－14＝0，错误．B选项，①当过原点时，直线方程为y＝－x；②当不过原点时，设直线方程为＋＝1，即x－y＝a，代入点（－3，5），得a＝－8，即直线方程为y＝－x或x－y＋8＝0，错误．C选项，若直线的斜率不存在，即x1＝x2，且y1≠y2，则直线方程为x＝x1，若直线的斜率存在，则x1≠x2，则直线方程为y－y1＝（x－x1），即（y－y1）（x2－x1）＝（y2－y1）（x－x1），且x＝x1，也满足该方程，C正确．D选项，当方程mx＋n（y－2）＝1中的x＝0，y＝2时，0＝1，不成立，则该直线不过点（0，2），D正确．
11．ABD
【分析】
根据两直线的位置关系判断B、D，根据截距式方程的定义判断A，根据两点式方程判断C.
【详解】对于A：直线的截距式方程不能表示过原点和垂直于坐标轴的直线，故A错误；
对于B：和的斜率有可能不存在，故B错误；
对于C：选项中的方程是直线的两点式方程化为整式后的结果，
直线的两点式方程不能表示垂直于坐标轴的直线，但化为整式后就没有缺陷了，可以表示任意直线，故C正确；
对于D：直线斜率不存在，则直线垂直于轴，
直线斜率存在，但不一定斜率为，所以两直线不一定垂直，故D错误.
故选：ABD
12．BC
【分析】
直接利用直线的倾斜角和斜率的关系，点到直线的距离公式，两直线平行或垂直的充要条件求解即可．
【详解】
对于A：直线的斜率为，
由于，所以，故A错误；
对于B：设过点且与直线平行的直线为，
由于点满足该直线，代入得：；
所以所求的直线方程为，故B正确；
对于C：由于直线：与直线平行，
故两直线的距离，故C正确；
对于D：直线的斜率为，
直线的斜率为：，
因为，所以直线和直线不垂直，故D错误．
故选：BC．
13．
【分析】先由向量的坐标运算求，再结合平行关系可得，再由向量的模长公式结合两点之间的距离、点到直线的距离可得.
【详解】由题意知，
，即，
，
可看作点到点的距离，
.
故答案为：.
14．（－1，－1）
【详解】解析：方程（m＋2）x＋（2－m）y＋4＝0可化为（x－y）m＋（2x＋2y＋4）＝0.由得所以定点坐标是（－1，－1）.
【考查意图】直线过定点.
15．[0，]∪[，π）
【详解】
解析：该直线过点（－1，0），过点（－1，0），（1，2）的直线斜率为，过点（－1，0），（1，－2）的直线斜率为－1，画图可得k＝tan α∈[－1，]（图略），由正切函数图象得α∈[0，]∪[，π）.
【考查意图】
倾斜角与斜率的关系．
16． 1
【分析】根据两条直线互相垂直求得，设，根据中点坐标公式求出，然后求得直线的一般式方程.
【详解】由题意得，得．
设，由得
即，则直线的方程为，即．
故答案为：1；.
17．(1)；
(2)最小值为4，直线的方程为.
【分析】（1）转化为斜截式，根据直线不经过第三象限得到不等式，求出答案；
（2）表达出，利用基本不等式求出面积的最小值，并得到直线的方程.
【详解】（1）直线可化为，
要使直线不经过第三象限，则，解得，
的取值范围为.
（2）由题意可得中，取，得，
取，得，
，
当且仅当时，即时，取“=”，
此时的最小值为4，直线的方程为.
18．(1)；
(2)或.
【分析】（1）将两直线方程联立求解，即得交点坐标；
（2）结合图形理解，直线在两坐标轴上的截距相等包括直线斜率为或经过原点，分别求直线方程即得.
【详解】（1）联立方程解得.
（2）直线在两坐标轴上的截距相等，
直线的斜率为或经过原点.
①当直线过原点时，直线过点，
的方程为；
②当直线斜率为时，直线过点，
的方程为，即.
综上所述，直线的方程为或.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）求出中点，则可得到中线的直线方程；
（2）根据直线垂直得到高的斜率，则得到边上的高的直线方程；
（3）求出AC的中点，再根据斜率垂直则得到斜率，即可得到直线方程.
【详解】（1），，由中点坐标公式得中点为，
又，由直线方程的两点式得边上的中线的直线方程为，
整理得：.
（2），，则，所以边上的高的直线的斜率为，
又，则边上的高的直线方程为，
整理得：．
（3）因为，，则其中点坐标为，
而，则AC边的垂直平分线的斜率为1，其方程为：，
即.
20．(1)
(2)或
【分析】（1）就参数分类讨论，利用两直线垂直的充要条件即可求得；
（2）结合图象分类讨论验证，得出时符合题意，再运用到角公式计算即得另一值.
【详解】（1）当时，直线与直线显然不垂直，
由可得：，即直线斜率为：，
由知直线斜率为，因两条直线垂直，
则得，即：.
（2）
设两直线的夹角为，依题意，，
①当时，直线，
如图，设直线的倾斜角为，则，即，
因是锐角，故，即有，符合题意；
②当时，由可得其斜率为：，
又直线的斜率为，
由可得：，
由到角公式：，即：，解得：.
综上，或.
21．(1)
(2)
【分析】（1）通过设出方程，通过联立解出答案即可.
（2）首先设出对称点,解出所在方程即可.
【详解】（1）设，由中点在上可得
，即，
又，联立，解得．即顶点的坐标为．
（2）设关于直线的对称点为，
则有，解得，即，
所以边所在的方程为：，即直线的方程为：．
答案第1页，共2页
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