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专题9.2 一元一次不等式组及应用之七大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 求一元一次不等式组的解集】 1
【考点二 求一元一次不等式组的整数解】 3
【考点三 解一元一次不等式组中错解复原问题】 4
【考点四 由一元一次不等式组的解集求参数】 7
【考点五 一元一次不等式组和方程组结合的问题】 8
【考点六 列一元一次不等式组】 11
【考点七 一元一次不等组的应用】 12
【过关检测】 17
【典型例题】
【考点一 求一元一次不等式组的解集】
例题：（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）解不等式组：，并用数轴确定不等式组的解集．
【答案】，见解析
【分析】
本题考查解不等式组，先分别求出两个不等式的解集，再用数轴表示出不等式解集，然后找出两解集的公共部分即可得不等式组的解集．
【详解】解：
解不等式①，得：
解不等式②，得：
解集在数轴上表示如图所示：
该不等式组的解集为：
【变式训练】
1．（2024·福建南平·模拟预测）解不等式组并将其解集表示在如图所示的数轴上．
【答案】，数轴见解析
【分析】
本题主要考查了解一元一次不等式组，解题关键是求出各个不等式的解集．先把①②的解集求出来，然后把两个解集画在数轴上，找出不等式组的解集即可．
【详解】解：由①得：，
由②得：，
把解集在数轴上表示出来为：
不等式组的解集为：．
2．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）解不等式组，并把解集表示在数轴上，并写出其整数解．
【答案】不等式组的解集为；不等式组的整数解为：，，，；数轴表示见解析．
【分析】本题考查了解不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，求不等式组的整数解，先分别求出每个不等式的解集，取解集的公共部分即得到不等式组的解集，进而可得不等式组的整数解，再根据解集在数轴上表示即可，掌握解不等式组的步骤是解题的关键．
【详解】解：，
解得，，
解得，，
∴不等式组的解集为，
∴不等式组的整数解为：，，，，
在数轴上表示不等式组的解集为：
【考点二 求一元一次不等式组的整数解】
例题：（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）不等式组的整数解为 ．
【答案】2
【分析】
本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可．
【详解】解：解不等式得：，
解不等式得：，
则不等式组解集为，
不等式组的整数解为2．
故答案为：2．
【变式训练】
1．（2023·河南驻马店·二模）写出一个满足不等式组的整数解 ．
【答案】（答案不唯一，写出、0、1中的一个即可）
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集，再结合题干条件，即可解题．
【详解】解：由得：，
由得：，
则不等式组的解集为，
所以不等式组的整数解为、0、1，
故答案为：（答案不唯一，写出、0、1，中的一个即可）．
2．（22-23八年级上·贵州铜仁·阶段练习）不等式组的正整数解是 ．
【答案】1，2，3
【分析】
先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分，再确定整数解即可．
【详解】解：，
由①得：，
∴，
由②得：，
∴，
∴不等式组的解集为：，
∴不等式组的正整数解为：1，2，3，
故答案为：1，2，3．
【点睛】本题考查的是不等式组的解法，确定不等式组的正整数解，熟练的解一元一次不等式组是解本题的关键．
【考点三 解一元一次不等式组中错解复原问题】
例题：（2024·江西南昌·一模）以下是小贤解不等式组的解答过程．
解：由①得，…………………………………………第一步 所以，……………………………………………………第二步 由②得，……………………………………………第三步 所以，……………………………………………………第四步 故原不等式组的解集是．……………………………第五步
小贤的解答过程从哪一步开始出现错误？请判断，并写出正确的解答过程．
【答案】第四步，正确解答见解析
【分析】
本题考查的是一元一次不等式组的解法，先分别解不等式组中的两个不等式，再确定解集的公共部分即可．
【详解】解：小贤的解答过程从第四步开始出现错误；
解：由①得，
所以，
由②得，
所以，
∴，
故原不等式组的解集是．
【变式训练】
1．（2023·宁夏银川·二模）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
解：由不等式①，得．第一步
解得．第二步
由不等式②，得．第三步
移项，得．第四步
解得 第五步
所以，原不等式组的解集是．第六步
(1)任务一：小明的解答过程中，第______步开始出现错误，错误的原因是______．
(2)任务二：直接写出这个不等式组正确的解集是______．
【答案】(1)五，没有改变符号；
(2)
【分析】
本题考查了解一元一次不等式组；
（1）根据等式的性质可判断第五步错误；
（2）通过解一元一次不等式得到这个不等式组正确的解集．
【详解】（1）
明的解答过程中，第五步开始出现了错误，产生错误的原因是没有改变符号；
故答案为：五，没有改变符号；
（2）
不等式组正确的解集是．
解：由不等式①，得．
解得．
由不等式②，得．
移项，得．
解得
所以，原不等式组的解集是．
故答案为：．
2．（2023·宁夏银川·二模）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
解：由不等式①，得第一步
解得．第二步
由不等式②，得．第三步
移项，得．第四步
解得第五步
所以，原不等式组的解集是．第六步
任务一：
（1）小明的解答过程中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
任务二：
（2）直接写出这个不等式组正确的解集是 ．
【答案】任务一：五，系数化为1；任务二：
【分析】任务一：根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、系数化为1判断即可；
任务二：分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集．
本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：任务一：（1）小明的解答过程中，第五步开始出现错误，错误的原因是系数化为1错误，
故答案为：五，系数化为1；
任务二：（2）
由不等式①，得，
解得，
由不等式②，得
移项，得，
解得，
所以，原不等式组的解集是
故答案为：
【考点四 由一元一次不等式组的解集求参数】
例题：（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）若不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式组、根据不等式组的解集求参数的取值范围，先解不等式得：，再结合解集是即可得出答案，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
【详解】解：解不等式得：，
不等式组的解集是，
，
故答案为：．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）若关于不等式组若无解，则的取值范围 ．
【答案】
【分析】此题考查了解一元一次不等式组，弄清不等式组无解的条件是解本题的关键，不等式整理后，根据无解确定出的范围即可．
【详解】解：不等式整理得：，
不等式组无解，
，
解得：．
故答案为：．
2．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）关于x的不等式组恰有四个整数解，那么m的取值范围为 ．
【答案】
【分析】可先用m表示出不等式组的解集，再根据有四个整数解可得到关于m的不等组，可求得m的取值范围．
【详解】解：在中，
解不等式①可得，
解不等式②可得，
由题意可知原不等式组有解，
∴原不等式组的解集为，
∵该不等式组恰好有四个整数解，
∴整数解为0，1， 2，3，
故答案为：．
【点睛】此题考查一元一次不等式组的整数解，解题关键确定不等式的解集，注意表示解集的不等式是否含等号．
【考点五 一元一次不等式组和方程组结合的问题】
例题：（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）如果关于x、y的方程组的解满足且，则实数a的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，数量掌握相关解法是解题关键．先解二元一次方程组，进而得到关于的不等式组，求解即可．
【详解】解：，
由得：，
解得：，
将代入得：，
解得：，
且，
，
，
的取值范围是，
故答案为：
【变式训练】
1．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
【答案】3
【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据关于x的一元一次不等式组的解集是，可以求得k的取值范围，再求出关于y的方程的解，然后根据关于y的方程有正整数解，即可求出k的值，从而可以解答本题．
【详解】解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∵关于x的一元一次不等式组的解集是，
∴，
由方程可得，
∵关于y的方程有正整数解，
∴或或，
∴．
故答案为：3．
【点睛】本题考查一元一次不等式组的整数解、解一元一次不等式组、一元一次方程的解和解一元一次方程，熟练掌握一元一次不等式组的解集是解题的关键．
2．（22-23七年级下·河南周口·期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足且关于的不等式组无解，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】先分别求出方程组的解和不等式组的解集，再结合已知条件求出的范围，即可求解．
【详解】解方程组得：
∵方程组的解满足
∴，解得
解不等式组得：
∵关于的不等式组无解
∴，解得
∴
故答案为：．
【点睛】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组，解一元一次不等式等知识点，能求出的取值范围是解此题的关键．
【考点六 列一元一次不等式组】
例题：（22-23七年级·全国·假期作业）一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】张力平均每天读x页，则李永每天读页，根据张力读了一周(7天)还没读完可得不等式，根据李永不到一周就已读完可得不等式，再联立两个不等式即可．
【详解】解：设张力平均每天读x页，由题意得：
，
故选：A．
【点睛】本题考查了一元一次不等式组的应用，解答此题的关键是找到关键性的描述语言，列出不等式组．在求解时不要忽略x为整数这一关键性条件．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到2棵．设同学人数为x人，植树的棵数为棵，下列能准确的求出同学人数与种植棵数的不等关系是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】不到2棵意思是植树棵数在0棵和2棵之间，包括0棵，不包括2棵，关系式为：植树的总棵数，植树的总棵数，把相关数值代入即可．
【详解】解：位同学植树棵数为，
∵有1位同学植树的棵数不到2棵．植树的总棵数为棵，
∴可列不等式组为．
故选：D．
【点睛】本题考查了列一元一次不等式组，得到植树总棵数和预计植树棵数之间的关系式是解决本题的关键．
2．（2023八年级上·浙江·专题练习）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】设有x人，由于每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果，则苹果有 个；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分不到8个苹果，就是苹果数大于0，并且小于8，根据不等关系就可以列出不等式．
【详解】解：设有x人，则苹果有个，由题意得：
．
故选：C．
【点睛】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系．
【考点七 一元一次不等组的应用】
例题：（广东省韶关市2023-2024学年九年级下学期月考数学试题）仁化县传统土特产品“红山白毛茶”汤色清淡、口味甘甜，为我国三大白毛茶之首；“石塘堆花米酒”集色清、气香、味醇、质好于一身，在粤北颇有名气．已知2件红山白毛茶和3件石塘堆花米酒进货价为240元，3件红山白毛茶和4件石塘堆花米酒进货价为340元．
(1)分别求出每件红山白毛茶、石塘堆花米酒的进价；
(2)某特产店计划用不超过10440元购进红山白毛茶、石塘堆花米酒共200件，且红山白毛茶的数量不低于石塘堆花米酒数量的，该特产店有哪几种进货方案？
【答案】(1)红山白毛茶、石塘堆花米酒的进价分别是60元/件，40元/件；
(2)该特产店共有三种进货方案，即红山白茶78件、石塘堆花酒122件；红山白茶79件、石塘堆花酒121件；红山白茶80件、石塘堆花酒120件．
【分析】
本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，找准题中所蕴含的等量关系或不等关系，正确列出方程组、不等式组是解题关键．
（1）设每件红山白毛茶的进价为元，每件石塘堆花米酒的进价为元，根据“2件红山白毛茶和3件石塘堆花米酒进货价为240元，3件红山白毛茶和4件石塘堆花米酒进货价为340元”可得二元一次方程组，求解即可；
（2）设购进红山白毛茶件，则购进石塘堆花米酒件，根据题意可得关于的一元一次不等式组，求出的取值范围，以此得出的所有取值即可得出进货方案．
【详解】（1）
设每件红山白毛茶的进价为元，每件石塘堆花米酒的进价为元，
由题意得：，
解得：，
故每件红山白毛茶的进价为60元，每件石塘堆花米酒的进价为40元；
（2）
设红山白毛茶件，则购进石塘堆花米酒件，
由题意可得：，
解得：，且为整数，
该特产店有以下三种进货方案：
当时，，即购进红山白毛茶120件，购进石塘堆花米酒80件；
当时，，即购进红山白毛茶121件，购进石塘堆花米酒79件；
当时，，即购进红山白毛茶122件，购进石塘堆花米酒78件．
【变式训练】
1．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）某小区为解决业主新能源汽车充电难的问题，拟修建50个充电桩，已知新建1个地下充电桩和2个地上充电桩需要0.4万元；新建2个地下充电桩和1个地上充电桩共需0.5万元．
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？
(2)若该小区计划用不超过8.2万元的资金新建充电桩，并且要求地下充电桩至少30个，问共有几种建造方案？并列出所有方案．
(3)在第（2）问的条件下哪种方案投资最少？请求出最少投资金额．
【答案】(1)新建一个地上充电桩需0.1万元，新建一个地下充电桩需0.2万元
(2)一共有3种方案，分别为：①新建地上充电桩18个，则地下充电桩32个；②新建地上充电桩19个，则地下充电桩31个；③新建地上充电桩20个，则地下充电桩30个
(3)方案③投资最少，最少投资金额为8万元
【分析】
本题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式的思想进行求解．
（1）设新建一个地上充电桩需x万元，新建一个地下充电桩需y万元，根据等量关系可列出方程组，解出即可得出答案．
（2）设新建地上充电桩m个，则地下充电桩个，根据投资金额超过8.2万元，且地下充电桩至少30个，可得出不等式组，解出即可得出答案．
（3）分别算出（2）中每个方案的资金，然后比较即可．
【详解】（1）解：设新建一个地上充电桩需x万元，新建一个地下充电桩需y万元，
根据题意，得，
解得，
答：新建一个地上充电桩需0.1万元，新建一个地下充电桩需0.2万元；
（2）解：设新建地上充电桩m个，则地下充电桩个，
根据题意，得，
解得，
∴整数m的值为18，19，20，
∴一共有3种方案，分别为：①新建地上充电桩18个，则地下充电桩32个；②新建地上充电桩19个，则地下充电桩31个；③新建地上充电桩20个，则地下充电桩30个；
（3）解：方案①需要的资金为万元；
方案②需要的资金为万元；
方案③需要的资金为万元；
∵，
∴方案③投资最少，最少投资金额为8万元．
2．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）“全民阅读”深入人心，读书好，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书，经了解，本文学名著和本动漫书共需元，本文学名著与本动漫书的费用一样（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
(1)求每本文学名著和动漫书各多少元？
(2)若学校要求购买文学名著比动漫书多本，动漫书和文学名著总数不低于本，总费用不超过元，请问有几种购书方案？
(3)在（）的条件下，若学校实际购买时，文学名著单价上调元本，动漫书单价下调了元本，此时购买这两种书籍所需最少费用为元，则的值为_____．
【答案】(1)每本文学名著元，每本动漫书为元；
(2)文学名著本，则动漫书本；文学名著本，则动漫书本，文学名著本，则动漫书本；文学名著本，则动漫书本；
(3)．
【分析】（）每本文学名著和动漫书分别为，元，根据等量关系列出二元一次方程组，再解即可；
（）设购买文学名著本，则动漫书本，列出不等式，再解即可；
（）由每本文学名著和动漫书分别为元，元，列出不等式，再解即可；
此题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系与不等关系，列出方程组与不等式组．
【详解】（1）每本文学名著和动漫书分别为，元，
根据题意，得：，解得：，
答：每本文学名著元，每本动漫书为元；
（2）设购买文学名著本，则动漫书本，
由题意得，解得：，
∵为正整数，
∴有四种方案：
文学名著本，则动漫书本，
文学名著本，则动漫书本，
文学名著本，则动漫书本，
文学名著本，则动漫书本，
（3）上调后每本文学名著和动漫书分别为元，元，
根据题意得，
∵，
∴，
由（）得：
，解得：，
∴，
，解得：，
∴，
，解得：，
∴，
，解得：，
∴，
由，
∴的值为．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·广西贺州·三模）已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】观察数轴，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．
本题考查了不等式组的解集，不等式组中各个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集．解一元一次不等式组．遵循的原则是：同大取大，同小取小，小大大小中间找，大大小小解不了．掌握不等式组的解集的概念是解题的关键．
【详解】由图知两个不等式的解集分别为和，它们的公共部分为，
∴这个不等式组的解集为：，
故选：B．
2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
【答案】B
【分析】
本题考查根据点所在的象限求参数的范围，根据点在第二象限的符号特征：，列出不等式组，求解即可．
【详解】解：∵点在第二象限，
∴，
∴；
故选B．
3．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）若不等式组的解集为，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解集与两个不等式解集间的关系是解题的关键．先求出第一个不等式的解集，再结合不等式组的解集确定的取值范围．
【详解】解：由不等式得，由不等式得，
∵不等式组的解集为，
，
解得：，
故选：A．
4．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．
已知当电梯乘载的重量超过公斤时警示音响起，且小丽，小欧的重量分别为公斤，公斤．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为公斤，则满足题意的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，解决本题的关键是根据题意找到不等关系．由图可得，小丽的重量为公斤，且进入电梯后，警示音没有响起，小欧的重量分别为公斤，且进入电梯后，警示音响起，分别列出不等式即可求解．
【详解】解：由题意可得：，
解得：，
故选：C．
5．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）若关于x的方程的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．7 B．6 C．4 D．0
【答案】C
【分析】本题主要考查解一元一次方程和求一元一次不等式组的解集，根据题意求得方程的解为，结合非负可得，求得不等式解为，由于无解则，即可得到a的范围，结合x方程的解为非负整数，即可求得a的值，利用有理数的加减法计算即可．
【详解】解：，整理得，解得，
∵关于x的方程的解为非负整数，
∴，解得，
，解得，
∵关于x的不等式组无解，
∴，
则，
∵x的方程的解为非负整数，
∴满足条件的a只有，0，2和4，
则．
故选：C．
二、填空题
6．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）不等式组的最小整数解是 ．
【答案】
【分析】本题考查解一元一次不等式组，分别解出每个不等式的解集，然后确定不等式组的解集，然后求出最小整数解即可，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键．
【详解】解：，
解不等式得，，
解不等式得，，
∴不等式的解集为，
∴最小整数解是，
故答案为：．
7．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）某公司组织员工去公园划船，报名人数不足50，在安排乘船时发现，若每只船坐6人，则有18人无船可坐；若每只船坐10人，则其余的船坐满后有一只船不空也不满，参加划船的员工共有 人．
【答案】48
【分析】本题考查一元一次不等组的应用．解题的关键是根据题意，列出不等式组求解．设共安排x艘船，根据报名人数不足50人得；根据每只船坐6人，则有18人无船可坐；若每只船坐10人，则其余的船坐满后有一只船不空也不满得，解得x代入即是划船的员工数．
【详解】设共安排x艘船，
根据题意得：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为：，
∴，
∴划船员工数为：（人），
∴参加划船的员工共有48人．
故答案为：48．
8．（2024·甘肃·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为 ．
【答案】/
【分析】
本题主要考查解二元一次方程组以及不等式，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据远算法则进行计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
解得，
故答案为：．
9．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则实数a的取值范围是 ．
【答案】/
【分析】
本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，先解不等式得，再根据不等式组只有3个整数解进行求解即可．
【详解】解：解不等式得，
故不等式组的解集为：
∵关于x的不等式组只有3个整数解，
故或0或，
∴，
故答案为：．
10．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）如果关于的不等式组的解集为，且整数使得关于的二元一次方程组的解为整数（均为整数），则符合条件的所有整数的和是 ．
【答案】2
【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和二元一次方程组以及分式的整数值，解不等式组，结合其解集得出；解方程组得出其解，结合解均为整数得出整数m的值；综合前面m的取值范围确定m的最终取值，从而得出答案．
【详解】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∵不等式的解集为，
∴，
解方程组得，
∵解集为整数，
∴或或或，
∴或或或，
∵，
∴或或，
∴整数的和是，
故答案为：2．
三、解答题
11．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见详解
【分析】
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
分别求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集，最后在数轴上表示解集即可．
【详解】
解：解不等式①，去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
解不等式②，去分母得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，；
故不等式组的解集为：．
数轴表示如下：
12．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）解不等式组：，并写出符合不等式组解集的整数解．
【答案】，整数解为1、2
【分析】
本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键．先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后找出整数解即可．
【详解】
解：，
解不等式①，得：，
解不等式②，得：，
∴不等式组的解集为，
则整数解为1、2．
13．（23-24七年级下·重庆荣昌·阶段练习）解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
(1)
(2)
【答案】(1)，数轴表示见解析
(2)，数轴表示见解析
【分析】
本题考查解一元一次不等式组和利用数轴表示不等式组的解集，掌握解一元一次不等式组的方法是解题的关键．
（1）先求不等式组的解集，再表示在数轴上；
（2）先求不等式组的解集，再表示在数轴上．
【详解】（1）解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为：，
不等式组的解集在数轴上表示如下：
（2）解：
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴不等式组的解集为：，
不等式组的解集在数轴上表示如下：
14．（23-24八年级下·全国·课后作业）解下列不等式组，并把解集表示在数轴上：
(1)；
(2)．
【答案】(1)，数轴上表示见解析
(2)，数轴上表示见解析
【分析】
本题主要考查了解不等式组，解题的关键是熟练掌握解不等式组的一般方法，准确计算．
（1）先求出两个不等式的解集，然后得出不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可；
（2）先求出两个不等式的解集，然后得出不等式组的解集，最后把解集表示在数轴上即可．
【详解】（1）解：由①，得，
由②，得，
∴原不等式组的解集是，
在数轴上表示，如图所示：
（2）解：由①得：，
由②得：，
∴原不等式组的解集是，
在数轴上表示如图所示：
15．（2023·宁夏·中考真题）解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
【答案】任务一：4，不等号的方向没有发生改变，；任务二：，
【分析】任务一：系数化1时，系数小于0，不等号的方向要发生改变，即可得出结论；
任务二：移项，合并同类项，系数化1，求出不等式②的解集，进而得出不等式组的解集即可．
【详解】解：任务一：∵，
∴；
∴该同学的解答过程第4步出现了错误，错误原因是不等号的方向没有发生改变，不等式①的正确解集是；
故答案为：4，不等号的方向没有发生改变，；
任务二：，
，
，
；
又，
∴不等式组的解集为：．
【点睛】本题考查解一元一次不等式，求不等式组的解集．解题的关键是正确的求出每一个不等式的解集，注意系数化1时，系数是负数，不等号的方向要发生改变．
16．（2024·山东东营·一模）某单位需采购一批商品，购买甲商品件和乙商品件需资金元，而购买甲商品件和乙商品件需要资金元.
(1)求甲、乙商品每件各多少元？
(2)本次计划采购甲、乙商品共件，计划资金不超过元，要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，请给出所有购买方案，并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金？
【答案】(1)甲商品每件元，乙商品每件元
(2)购买甲商品件，乙商品件时花费最少，最少要用元
【分析】本题考查一元一次不等式组的应用、二元一次方程组的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；
（2）根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题．
【详解】（1）
解：设甲商品每件x元，乙商品每件y元，
由题意可得，解得，，
答：甲商品每件元，乙商品每件元；
（2）解：设采购甲商品m件，则购买乙商品件，
由题意可得，解得，
又∵m须为非负整数，
∴或或或
∴购买方案有四种，
方案一：甲商品件，乙商品件，此时花费为：（元），
方案二：甲商品件，乙商品件，此时花费为：（元），
方案三：甲商品件，乙商品件，此时花费为：（元），
方案四：甲商品件，乙商品件，此时花费为：（元），
即购买甲商品件，乙商品件时花费最少，最少要用元．
17．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）为拓宽学生视野，亲近大自然，我市某中学决定组织部分师生去九华天池开展研学活动，在参加此次活动的师生中若每位老师带14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人辆） 35 30
租金（元/辆） 400 340
(1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
(2)为安全起见，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为____辆；
(3)在（2）的基础上，学校计划此次研学活动的租车总费用不超过3000元，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
【答案】(1)老师有16人，学生有234人
(2)8
(3)有三种不同的租车方案；最节省费用的租车方案是：租用甲型客车2辆，乙型客车6辆，理由见解析
【分析】
本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用：
（1）设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，根据题意即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）设租车总辆数为n，首先要保证每辆车上老师数量不少于2人，则，再也要保证车辆最少时，能坐下所有人，则，据此列出不等式组求解即可；
（3）设租35座客车m辆，则需租30座的客车辆，根据总费用不超过3000元，以及所有人都要坐下列出不等式组求解即可．
【详解】（1）解：设参加此次研学活动的老师有x人，学生有y人，
依题意，得：，
解得：．
答：参加此次研学活动的老师有16人，学生有234人．
（2）解：设租车总辆数为n，
由题意得，，
解得，
∵n为整数，
∴，
租车总辆数为8辆．
故答案为：8．
（3）解：设租35座客车m辆，则需租30座的客车辆，
依题意，得：，
解得：．
为正整数，
，
共有3种租车方案．
方案一：租用甲型客车2辆，乙型客车6辆，租车费用为2840元；
方案二：租用甲型客车3辆，乙型客车5辆，租车费用为2900元；
方案三：租用甲型客车4辆，乙型客车4辆，租车费用为2960元；
故最节省费用的租车方案是：租用甲型客车2辆，乙型客车6辆．
18．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
(1)在方程①；②；③中，关于x的不等式组的“关联方程”是___________；（填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”求k的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求m的取值范围．
【答案】(1)①②
(2)
(3)
【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解；
（1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可；
（2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可；
（3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可．
【详解】（1）①，解得；
②，解得；
③，解得；
解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集为，
∵，在范围内，
∴不等式组“关联方程”是①②；
故答案为：①②；
（2）解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集为，
关于的方程的解为，
∵关于的方程是不等式组的“关联方程”，
∴在范围内
∴，
解得；
（3）解不等式得：，
解不等式得：，
∴的解集为，
∵此时不等式组有4个整数解，
∴，
解得，
关于的方程的解为，
∵关于的方程是不等式组的“关联方程”，
∴在范围内
∴，
解得，
综上所述，．
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专题9.2 一元一次不等式组及应用之七大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 求一元一次不等式组的解集】 1
【考点二 求一元一次不等式组的整数解】 3
【考点三 解一元一次不等式组中错解复原问题】 4
【考点四 由一元一次不等式组的解集求参数】 7
【考点五 一元一次不等式组和方程组结合的问题】 8
【考点六 列一元一次不等式组】 11
【考点七 一元一次不等组的应用】 12
【过关检测】 17
【典型例题】
【考点一 求一元一次不等式组的解集】
例题：（23-24九年级下·广西南宁·阶段练习）解不等式组：，并用数轴确定不等式组的解集．
【变式训练】
1．（2024·福建南平·模拟预测）解不等式组并将其解集表示在如图所示的数轴上．
2．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）解不等式组，并把解集表示在数轴上，并写出其整数解．
【考点二 求一元一次不等式组的整数解】
例题：（2024·新疆乌鲁木齐·模拟预测）不等式组的整数解为 ．
【变式训练】
1．（2023·河南驻马店·二模）写出一个满足不等式组的整数解 ．
2．（22-23八年级上·贵州铜仁·阶段练习）不等式组的正整数解是 ．
【考点三 解一元一次不等式组中错解复原问题】
例题：（2024·江西南昌·一模）以下是小贤解不等式组的解答过程．
解：由①得，…………………………………………第一步 所以，……………………………………………………第二步 由②得，……………………………………………第三步 所以，……………………………………………………第四步 故原不等式组的解集是．……………………………第五步
小贤的解答过程从哪一步开始出现错误？请判断，并写出正确的解答过程．
【变式训练】
1．（2023·宁夏银川·二模）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
解：由不等式①，得．第一步
解得．第二步
由不等式②，得．第三步
移项，得．第四步
解得 第五步
所以，原不等式组的解集是．第六步
(1)任务一：小明的解答过程中，第______步开始出现错误，错误的原因是______．
(2)任务二：直接写出这个不等式组正确的解集是______．
2．（2023·宁夏银川·二模）下面是小明同学解不等式组的过程，请认真阅读，完成相应的任务．
解：由不等式①，得第一步
解得．第二步
由不等式②，得．第三步
移项，得．第四步
解得第五步
所以，原不等式组的解集是．第六步
任务一：
（1）小明的解答过程中，第 步开始出现错误，错误的原因是 ；
任务二：
（2）直接写出这个不等式组正确的解集是 ．
【考点四 由一元一次不等式组的解集求参数】
例题：（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）若不等式组的解集是，则的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）若关于不等式组若无解，则的取值范围 ．
2．（22-23七年级下·江苏苏州·期末）关于x的不等式组恰有四个整数解，那么m的取值范围为 ．
【考点五 一元一次不等式组和方程组结合的问题】
例题：（23-24八年级下·山东青岛·阶段练习）如果关于x、y的方程组的解满足且，则实数a的取值范围是 ．
【变式训练】
1．（23-24八年级上·重庆九龙坡·阶段练习）若关于的一元一次不等式组的解集是，且关于的方程有正整数解，则符合条件的所有整数的和为 ．
2．（22-23七年级下·河南周口·期末）已知关于、的二元一次方程组的解满足且关于的不等式组无解，则的取值范围是 ．
【考点六 列一元一次不等式组】
例题：（22-23七年级·全国·假期作业）一本书共98页，张力读了一周(7天)还没读完，而李永不到一周就已读完．李永平均每天比张力多读3页．若设张力平均每天读x页，则由题意列出不等式组为( )
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（22-23八年级上·浙江杭州·期末）八年级某小组同学去植树，若每人平均植树7棵，则还剩9棵，若每人平均植树9棵，则有1位同学植树的棵数不到2棵．设同学人数为x人，植树的棵数为棵，下列能准确的求出同学人数与种植棵数的不等关系是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2023八年级上·浙江·专题练习）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有一个小朋友分到苹果但不到8个苹果．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设有x人，则可列不等式组为( )
A． B．
C． D．
【考点七 一元一次不等组的应用】
例题：（广东省韶关市2023-2024学年九年级下学期月考数学试题）仁化县传统土特产品“红山白毛茶”汤色清淡、口味甘甜，为我国三大白毛茶之首；“石塘堆花米酒”集色清、气香、味醇、质好于一身，在粤北颇有名气．已知2件红山白毛茶和3件石塘堆花米酒进货价为240元，3件红山白毛茶和4件石塘堆花米酒进货价为340元．
(1)分别求出每件红山白毛茶、石塘堆花米酒的进价；
(2)某特产店计划用不超过10440元购进红山白毛茶、石塘堆花米酒共200件，且红山白毛茶的数量不低于石塘堆花米酒数量的，该特产店有哪几种进货方案？
【变式训练】
1．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）某小区为解决业主新能源汽车充电难的问题，拟修建50个充电桩，已知新建1个地下充电桩和2个地上充电桩需要0.4万元；新建2个地下充电桩和1个地上充电桩共需0.5万元．
(1)该小区新建一个地上充电桩和一个地下充电桩各需多少钱？
(2)若该小区计划用不超过8.2万元的资金新建充电桩，并且要求地下充电桩至少30个，问共有几种建造方案？并列出所有方案．
(3)在第（2）问的条件下哪种方案投资最少？请求出最少投资金额．
2．（22-23七年级下·湖北武汉·阶段练习）“全民阅读”深入人心，读书好，好读书，读好书，让人终身受益．为满足同学们的读书需求，学校图书馆准备到新华书店采购文学名著和动漫书两类图书，经了解，本文学名著和本动漫书共需元，本文学名著与本动漫书的费用一样（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）．
(1)求每本文学名著和动漫书各多少元？
(2)若学校要求购买文学名著比动漫书多本，动漫书和文学名著总数不低于本，总费用不超过元，请问有几种购书方案？
(3)在（）的条件下，若学校实际购买时，文学名著单价上调元本，动漫书单价下调了元本，此时购买这两种书籍所需最少费用为元，则的值为_____．
【过关检测】
一、单选题
1．（2023·广西贺州·三模）已知两个不等式的解集在数轴上如图表示，那么这个不等式组的解集为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·辽宁沈阳·模拟预测）已知点在第二象限，则a的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
3．（23-24八年级下·广东茂名·阶段练习）若不等式组的解集为，则a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．（23-24八年级上·浙江丽水·期末）如图为小丽和小欧依序进入电梯时，电梯因超重而警示音响起的过程，且过程中没有其他人进出．
已知当电梯乘载的重量超过公斤时警示音响起，且小丽，小欧的重量分别为公斤，公斤．若小丽进入电梯前，电梯内已乘载的重量为公斤，则满足题意的不等式是（ ）
A． B．
C． D．
5．（23-24八年级上·重庆渝北·阶段练习）若关于x的方程的解为非负整数，且关于x的不等式组无解，则所有满足条件的a的值之和是（ ）
A．7 B．6 C．4 D．0
二、填空题
6．（23-24九年级下·河南商丘·阶段练习）不等式组的最小整数解是 ．
7．（22-23七年级下·新疆乌鲁木齐·期末）某公司组织员工去公园划船，报名人数不足50，在安排乘船时发现，若每只船坐6人，则有18人无船可坐；若每只船坐10人，则其余的船坐满后有一只船不空也不满，参加划船的员工共有 人．
8．（2024·甘肃·一模）已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则k的取值范围为 ．
9．（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）已知关于x的不等式组只有3个整数解，则实数a的取值范围是 ．
10．（22-23七年级下·重庆·阶段练习）如果关于的不等式组的解集为，且整数使得关于的二元一次方程组的解为整数（均为整数），则符合条件的所有整数的和是 ．
三、解答题
11．（23-24八年级下·山东枣庄·阶段练习）解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来．
12．（23-24九年级下·江苏扬州·阶段练习）解不等式组：，并写出符合不等式组解集的整数解．
13．（23-24七年级下·重庆荣昌·阶段练习）解下列不等式或不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
(1)
(2)
14．（23-24八年级下·全国·课后作业）解下列不等式组，并把解集表示在数轴上：
(1)；
(2)．
15．（2023·宁夏·中考真题）解不等式组
下面是某同学的部分解答过程，请认真阅读并完成任务：
解：由①得：
第1步
第2步
第3步
第4步
任务一：该同学的解答过程第_______步出现了错误，错误原因是_______，不等式①的正确解集是_______；
任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集．
16．（2024·山东东营·一模）某单位需采购一批商品，购买甲商品件和乙商品件需资金元，而购买甲商品件和乙商品件需要资金元.
(1)求甲、乙商品每件各多少元？
(2)本次计划采购甲、乙商品共件，计划资金不超过元，要求购买乙商品的数量不超过甲商品数量的，请给出所有购买方案，并求出该单位购买这批商品最少要用多少资金？
17．（23-24七年级下·安徽安庆·阶段练习）为拓宽学生视野，亲近大自然，我市某中学决定组织部分师生去九华天池开展研学活动，在参加此次活动的师生中若每位老师带14名学生，则还剩10名学生没老师带；若每位老师带15名学生，就有一位老师少带6名学生，现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示：
甲型客车 乙型客车
载客量（人辆） 35 30
租金（元/辆） 400 340
(1)参加此次研学活动的老师和学生各有多少人？
(2)为安全起见，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少要有2名老师，可知租车总辆数为____辆；
(3)在（2）的基础上，学校计划此次研学活动的租车总费用不超过3000元，你能得出哪几种不同的租车方案？其中哪种租车方案最省钱？请说明理由．
18．（23-24七年级下·安徽蚌埠·阶段练习）新定义：若某一元一次方程的解在某一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程”．
(1)在方程①；②；③中，关于x的不等式组的“关联方程”是___________；（填序号）
(2)若关于x的方程是不等式组的“关联方程”求k的取值范围；
(3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组恰好有4个整数解，试求m的取值范围．
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