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专题9.1 不等式解集及性质、一元一次不等式之十大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 根据题意列不等式】 1
【考点二 不等式的基本性质】 2
【考点三 不等式的解集】 3
【考点四 一元一次不等式的识别】 4
【考点五 利用一元一次不等式的定义求参数】 6
【考点六 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集】 7
【考点七 求一元一次不等式的整数解】 9
【考点八 解|x|≥a型的不等式】 10
【考点九 列一元一次不等式】 12
【考点十 用一元一次不等式的解决实际问题】 13
【过关检测】 15
【典型例题】
【考点一 根据题意列不等式】
例题：（2024上·浙江宁波·八年级统考期末）用不等式表示减去大于： ．
【答案】
【分析】本题主要考查不等式，根据不等式的定义（用“>”或“<”表示不等关系的式子叫做不等式）即可求得答案．
【详解】用不等式表示减去大于为：．
故答案为：．
【变式训练】
1．（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）根据数量关系“x的2倍与y的差大于3”，列不等式： ．
【答案】
【分析】本题考查了列不等式题，关键是理解“大于”用数学符号表示应为“>”．表示出x的2倍与 y的差，表示为，后用“> "与3连接即可．
【详解】解∶ “x的2倍与y的差大于3”可表示为．
故答案为∶ ．
2．（2023下·河南周口·七年级统考期末）某日我市最高气温是27℃，最低气温是22℃，则当天气温℃的变化范围是 ．
【答案】
【分析】根据题意，将其转化为数学式子表示即可得到答案．
【详解】解：由题意得当天气温℃的变化范围是，
故答案为：．
【点睛】本题考查用不等式表示实际问题，读懂题意是解决问题的关键．
【考点二 不等式的基本性质】
例题：（2024上·浙江宁波·八年级宁波市第十五中学校考期末）若，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，不等式两边加或减同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式两边乘或除同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除同一个负数，不等号的方向改变，由此逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键．
【详解】解：、∵，∴，故该选项成立，不合题意；
、∵，∴，故该选项成立，不合题意；
、∵，∴，∴，故该选项成立，不合题意；
、∵，当时，；
当时，不等式两边除以无意义；
当时，；
故该选项不一定成立，符合题意；
故选：．
【变式训练】
1．（2024上·江苏苏州·七年级统考期末）已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐个判断即可．
【详解】A．不等式两边同时减，可得，选项一定不成立，不符合题意；
B．当时，可得，选项不一定成立，不符合题意；
C．不等式两边同时除以2再减去1，可得，选项一定不成立，不符合题意；
D．不等式两边同时乘，可得，选项一定成立，符合题意；
故选：D．
2．（2024上·浙江杭州·八年级统考期末）已知 ，则下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】此题考查了不等式性质的应用能力，关键是能准确理解并运用该知识进行辨别．运用不等式的性质进行逐一辨别、求解．
【详解】解：∵，
∴故A错误；
，故B错误；
，故C正确；
，故D错误
∴选项C符合题意．
故选：C．
【考点三 不等式的解集】
例题：（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．
【详解】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意；
B、∵，故错误，不符合题意；
C、正确，符合题意；
D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况．
【变式训练】
1．（2023下·全国·八年级假期作业）下列的值中，是不等式的解的是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
【答案】A
【解析】略
2．（2022·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的解
C．的解集是 D．的解集就是、、
【答案】D
【分析】根据不等式的性质即可求解．
【详解】解：A选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确；
B选项，是不等式的解，把代入不等式，不等式成立，故正确；
C选项，的解集是，解不等式得，故正确；
D选项，的解集就是、、，不是不等式的解，故错误．
故选：D．
【点睛】本题主要考查不等式的性质解一元一次不等式，掌握不等式的性质是解题的关键．
【考点四 一元一次不等式的识别】
例题：（22·23六年级下·上海宝山·期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．0个
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的次数是1，对各选项分析判断后利用排除法求解．
【详解】解：（1），是一元一次不等式；
（2），含有两个未知数，不是一元一次不等式；
（3），是一元一次不等式；
（4），未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式；
一元一次不等式共2个，
故选：A．
【点睛】本题考查一元一次不等式的概念，掌握一元一次不等式的定义：含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式是解题关键．
【变式训练】
1．（22·23七年级下·山东泰安·期末）下列式子是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】只含有一次未知数，且未知数的最高次数为1的不等式叫一元一次不等式，根据一元一次不等式的定义可直接判断求解．
【详解】解：A、此不等式中不是整式，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
B、此不等式是一元一次不等式，故此选项符合题意；
C、此不等式含有2个未知数，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意；
D、此不等式最高次数是2次，不是一元一次不等式，故此选项不符合题意．
故选：B．
【点睛】本题主要考查一元一次不等式的定义，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键．要注意：一元一次不等式中必须只含有一个未知数，未知数的最高次数是一次，并且不等式左右两边必须是整式．
2．（22·23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中，一元一次不等式有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据一元一次不等式的定义进行逐一判断即可：含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．
【详解】解：①，不含有未知数，不是一元一次不等式；
②是一元一次不等式；
③，未知数的次数不是1，不是一元一次不等式；
④是一元一次不等式；
⑤不是整式，不是一元一次不等式；
⑥，含有两个未知数，不是一元一次不等式；
∴一元一次不等式一共有2个，
故选A．
【点睛】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟知定义是解本题的关键．
【考点五 利用一元一次不等式的定义求参数】
例题：（2023下·江苏南通·七年级启东市长江中学校考阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据一元一次不等式的定义得出、求出k的值，然后代入不等式就x的解集．
【详解】解：是关于x的一元一次不等式，
∴ 解得
∴不等式为：，
解得，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，一元一次不等式的解法，注意一次项系数不为0是解题关键．
【变式训练】
1．（2023下·陕西西安·八年级校联考阶段练习）若是关于的一元一次不等式．则的值为（ ）
A． B． C． D．或
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的未知数的次数等于，系数不等于即可得出答案．
【详解】解：∵是关于的一元一次不等式，
∴且，
解得：．
故选：C．
【点睛】本题考查一元一次不等式的定义．掌握一元一次不等式的未知数的次数等于且系数不等于是解题的关键．
2．（2023下·全国·七年级专题练习）若关于的一元一次不等式，则的值（ ）
A． B．1或 C．或 D．
【答案】C
【分析】根据一元一次不等式的定义解答即可．
【详解】解：是关于的一元一次不等式，
，
或．
故选：C．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的定义，类似于一元一次方程，含有一个未知数，未知数的次数是1，未知数的系数不为0，左右两边为整式的不等式，叫做一元一次不等式．
【考点六 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集】
例题：（2024上·广西来宾·八年级统考阶段练习）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【答案】，数轴见解析
【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解题的关键是严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．首先去分母，移项、合并同类项，系数化为1，即可求得原不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可．
【详解】解：去分母得：，
去括号得：
移项合并得：，
解得：；
在数轴上表示：
．
【变式训练】
1．（2023下·全国·八年级假期作业）解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
【答案】，数轴见解析
【详解】解：去分母，得，去括号，得，
移项，得，合并同类项，得，
两边都除以，得．
该不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)．
【答案】(1)．
(2)．
【详解】（1）去括号，得．
移项、合并同类项，得．
系数化为1，得．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
（2）去分母，得．
移项、合并同类项，得．
系数化为1，得．
这个不等式的解集在数轴上的表示如图所示．
【考点七 求一元一次不等式的整数解】
例题：（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）不等式的正整数解是 ．
【答案】1，2
【分析】根据不等式的基本性质及解不等式的步骤求出不等式的解集，再求出不等式的正整数解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
又∵不等式的解为正整数，
∴不等式的正整数解为：1，2
故答案为：1，2
【点睛】本题考查解一元一次不等式及不等式的特殊解，能正确求出不等式的解集是解决本题的关键．
【变式训练】
1．（2023上·浙江宁波·八年级校考阶段练习）关于x的不等式的正整数解是 ．
【答案】1
【分析】先解出不等式，然后求满足条件的正整数解即可．
【详解】解：，
，
，
，
，
不等式的正整数解是1．
故答案为：1．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式及其正整数解，熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键．
2．（2023下·辽宁盘锦·七年级校考期末）不等式的所有正整数解的和为 ．
【答案】3
【分析】根据解不等式的步骤，先移项、合并同类项、系数化成1即可求解．
【详解】解：移项，得，
合并同类项，得，
系数化成1得．
则正整数解是1和2，
有正整数解的和为．
故答案为：3．
【点睛】本题考查了一元一次不等式的解法，解不等式的依据是不等式的基本性质，需注意，在不等式两边都除以一个负数时，应只改变不等号的方向．
【考点八 解|x|≥a型的不等式】
例题：（2023下·河南鹤壁·七年级统考期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题．
例：解绝对值方程：．
解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得；
②当时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解为或．
根据材料，解下列绝对值方程：
(1)理解应用：；
(2)拓展应用：不等式的解集为______．
【答案】(1)①；②或
(2)或
【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可；
（2）分为两种情况：①当时，②当时，分情况求出即可．
【详解】（1）解：分情况讨论：
①当时，
原方程可化为，解得；
②当时，
原方程可化为：，
解得：，
所以原方程的解为或；
（2）解：分情况讨论：
①当时，
解得：；
②当时，
解得：，
所以不等式解集为或．
【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程及一元一次不等式的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想．
【变式训练】
1．解下列不等式：
（1） （2）
【答案】（1）或；（2）
【分析】根据绝对值的意义，分类讨论，再解一元一次不等式不等式即可．
【详解】（1）
当时，则，解得，
，
当时，则，解得，
，
综上，或；
（2）
当，即时，，解得，
，
当时，则，解得，
，
综上，．
【点睛】本题考查了解一元一次不等式，根据绝对值的意义，分类讨论是解题的关键．
【考点九 列一元一次不等式】
例题：（2024上·浙江丽水·八年级统考期末）根据数量关系“的5倍大于1”，列不等式为 ．
【答案】
【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的不等式．根据题意，表示出x的5倍，即可求解．
【详解】解：“x的5倍大于1”，可表示为，
故答案为：．
【变式训练】
1．（2023下·辽宁大连·七年级统考阶段练习）一件衬衫进价50元，问定价至少是多少元，打八折后才不会亏本？设定价为x元，列出关于x的一元一次不等式： ．
【答案】
【分析】利用售价＝定价×折扣率，结合售价不低于进价，可列出关于x的一元一次不等式，此题得解．
【详解】解：根据题意得：．
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键．
2．（2022上·浙江宁波·八年级校联考阶段练习）2022年卡塔尔世界杯正如火如荼地进行着，其小组赛赛制为：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某强队想要在小组赛中确保出线，就必须在3场中保持不败并且积分不少于7分，则该队至少胜多少场？设该队胜x场，则列出的不等式为 ．
【答案】
【分析】设该队至少胜x场，则平场，根据题意列不等式即可．
【详解】解：设该队至少胜x场，则平场，
由题意得，
故答案为：．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据各数量之间的关系，正确列出不等式是关键．
【考点十 用一元一次不等式的解决实际问题】
例题：（2023下·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）某景区为了吸引游客，现打算在一空地种植A，B两种品种的牡丹，A、B两种牡丹每棵的价格分别是55元和72元，若购买两种牡丹共90棵，且总价格不超过5460元，求最少要购买A种牡丹多少棵？
【答案】最少要购买A种牡丹60棵
【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用．设购买A种牡丹x棵，则购买B种牡丹棵，根据题意，列出不等式，即可求解．
【详解】解：设购买A种牡丹x棵，则购买B种牡丹棵，
由题意得，，
解得：，
最少要购买A种牡丹60棵．
【变式训练】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）某商店购进甲、乙两种品牌的文具，若购进甲种文具20件，乙种文具30件，共需要400元；若购进甲种文具10件，乙种文具5件，共需要100元．
(1)求该商店购进甲、乙两种品牌的文具每件各需要多少元？
(2)若该商店准备购进甲、乙两种品牌的文具共100件，且总预算费用不超过800元，那么该商店最多可购进乙种品牌的文具多少件？
【答案】(1)该商店购进甲种品牌的文具每件需要5元，乙两种品牌的文具每件需要10元；
(2)该商店最多可购进乙种品牌的文具60件．
【分析】（1）根据题意列出二元一次方程，求解即可；
（2）设该商店可购进乙种品牌的文具件，列出一元一次不等式，求出解即可；
本题主要考查二元一次方程，一元一次不等式，准确列出式子是解题的关键．
【详解】（1）解：设该商店购进甲种品牌的文具每件需要元，乙两种品牌的文具每件需要元，
根据题意，得，
解得，
答：该商店购进甲种品牌的文具每件需要5元，乙两种品牌的文具每件需要10元．
（2）设该商店可购进乙种品牌的文具件，
则购买件甲种品牌的文具，
根据题意，
得：，
解得，
答：该商店最多可购进乙种品牌的文具60件．
2．（2024上·浙江衢州·八年级统考期末）2024年，人工智能技术将迎来新的突破，智能驾驶、智能家居、智能医疗等领域的创新将改变人们的生活方式，并带来巨大的便利，某连锁酒店计划向机器人公司购买A型号和B型号送餐机器人共台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的倍．
(1)该连锁酒店最多购买几台A型号机器人？
(2)机器人公司报价A型号机器人7万元/台，B型号机器人9万元/台，要使总费用不超过万元，则有哪几种购买方案？
【答案】(1)最多购买台A型号机器人；
(2)有两种方案：A型号台、B型号台或A型号台、B型号台．
【分析】本题考查一元一次不等式的应用，能根据题中不等关系列出不等式是解题的关键，
（1）设该垃圾处理厂购买台型号机器人，根据“B型号机器人不少于A型号机器人的倍”列出不等式求解即可；
（2）根据“总费用不超过万元”列出不等式，结合（1）中不等式的解和为整数，即可得出共有两种方案．
【详解】（1）解：设购买台型号机器人，则购买台型号机器人，则
，
∴，
答：最多购买台型号机器人．
（2）解：设购买台型号机器人，则购买台型号机器人，则
，
∴，
，又是整数，
∴或，
当A型号为台时、B型号为台；当A型号为台时、B型号为台，
答：共有2种方案，A型号台、B型号台；A型号台、B型号台．
【过关检测】
一、单选题
1．（22·23八年级下·贵州贵阳·阶段练习）下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，只含有一个未知数，未知数的次数是1，不等号的两边都是整式的不等式叫一元一次不等式，据此逐项判断即可求解．
【详解】解：A、 是一元一次不等式，符合题意；
B、未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式，不合题意；
C、 不含有未知数，不是一元一次不等式，不合题意；
D、含有两个未知数，不是一元一次不等式，不合题意．
故选：A
2．（23·24七年级上·吉林长春·期末）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，且，则
C．若，则 D．若，则
【答案】D
【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，根据不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，进行分析即可．
【详解】解：A、若，则，故原变形错误，故此选项不符合题意；
B、若，且，则，故原变形错误，故此选项不符合题意；
C、若，当时，则，故原变形错误，故此选项不符合题意；
D、若，由题分析得，不等式两边同时除以正数，则，原变形正确，故此选项符合题意．
故选：D．
3．（22·23七年级下·湖南衡阳·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
【答案】C
【分析】先求出不等式的解集，再依次判断解的情况．
【详解】解：A、该不等式的解集为，故错误，不符合题意；
B、∵，故错误，不符合题意；
C、正确，符合题意；
D、因为该不等式的解集为，所以无正整数解，故错误，不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了不等式的性质和不等式的解集的理解，解题关键是根据解集正确判断解的情况．
4．（23·24九年级下·湖北十堰·阶段练习）关于x一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【答案】C
【分析】本题考查了解不等式，在数轴上表示不等式的解集，解题的关键是掌握在数轴上表示不等式解集的方法．先求出，根据数轴得出，则，即可求解．
【详解】解：∵，
∴，
由图可知，该不等式的解集为，
∴，
解得：，
故选：C．
5．（22·23七年级下·江苏南通·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，已知二元一次方程组的解的情况求参数，利用整体的思想可得，从而可得，然后根据已知，可得，最后进行计算即可解答．
【详解】解：，
得：，
解得：，
，
，
，
，
故选：A．
二、填空题
6．（23·24八年级下·陕西西安·开学考试）若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，进行判断即可．
【详解】解：两边都乘以，得
，
两边都加，得
，
故答案为：．
7．（23·24八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知不等式的解集为，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质．根据的解集为，不等号方向发生改变，得出，解关于a的不等式即可．
【详解】解：∵不等式的解集为，
∴，
解得：，
故答案为：．
8．（23·24八年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上点、分别表示数2，，则的取值范围是 ．
【答案】
【分析】本题考查了解一元一次不等式，根据数轴得到不等式是解题的关键．
根据数轴得到关于的不等式，然后解不等式即可．
【详解】解：由题意可知，
解得，
故答案为：．
9．（23·24七年级下·全国·假期作业）若关于x的不等式仅有的正整数解是1，2，3，则a的取值范围是 ．
【答案】
【解析】略
10．（23·24七年级上·江苏苏州·期末）我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数．若她采集到的一筐野果不少于46个则在第2根绳子上的打结数至少是 ．
【答案】4
【分析】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满五进一计数，运用了类比的方法，根据图示列式求解．解题的关键是运用“满五进一”的进制思想．
设在第2根绳子上的打结数是x，根据满五进一列出不等式，然后求解即可得出答案．
【详解】解：设在第2根绳子上的打结数是x（x为正整数），根据题意得：
解得：
因x为正整数，故x取最小值4．
即在第2根绳子上的打结数至少是4．
故答案为：4．
三、解答题
11．（2024七年级下·全国·专题练习）解下列不等式并把解集表示在数轴上．
(1)； (2)．
【答案】(1)，数轴见解析；
(2)，数轴见解析．
【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，解题根据是熟练掌握解一元一次不等式的一般步骤．
（1）根据解一元一次不等式的一般步骤，移项，合并同类项，系数化1,求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可．
（2）根据解一元一次不等式的一般步骤，确保正确无误分母，再去括号，移项，合并同类项，系数化1,求出不等式的解集，并在数轴上表示出来即可．
【详解】（1）解：
∴解集在数轴上表示为：
（2）解：
，
∴解集在数轴上表示为：
12．（2024七年级下·全国·专题练习）解下列不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来：
(1)； (2)．
【答案】(1)，数轴表示见解答；
(2)，数轴表示见解．
【分析】（1）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可；
（2）按照去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式，再在数轴上表示出不等式的解集即可．
本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，正确求出每个不等式的解集是解题的关键．
【详解】（1），
，
，
，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
（2），
，
，
，
，
，
该不等式的解集在数轴上表示如图所示：
13．（22·23七年级下·山东烟台·阶段练习）已知关于x的不等式．
(1)当时，求该不等式的解集；
(2)取何值时，该不等式有解？并求出解集．
【答案】(1)
(2)当时有解；解集：或
【分析】本题考查求不等式的解集，掌握求不等式的解集的步骤和方法，是解题的关键．
（1）将代入不等式，进行求解即可；
（2）根据未知数的系数不为0时，不等式有解集，再分系数大于0和小于0，2种情况求解即可．
【详解】（1）解：当时，不等式化为：，
∴，
解得：；
（2），
∴，
∴当，即：时，不等式有解集；
当时，，即：；
当时，，即：．
14．（22·23七年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于x的方程与的解相同，回答下列问题
(1)求k的值；
(2)解关于k的不等式：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元一次方程，一元一次方程解的定义，解一元一次不等式：
（1）先解方程得，再把代入方程中求出k的值即可；
（2）按照去分母，移项，合并同类项，系数化为1的步骤解不等式即可．
【详解】（1）解：解方程得，
∵关于x的方程与的解相同，
∴，
∴；
（2）解：，
去分母得：，
移项得：，
合并同类项得：，
系数化为1得：．
15．（2024七年级下·全国·专题练习）我们度过了寒冬，迎来了充满希望的春天，同学们将走出教室进行适当的体育锻炼，7.1班想集体购买跳绳和毽子、第一次买20条跳绳和30个毽子共花了590元，第二次又买了10条跳绳和10个毽子共花了260元．请回答下面的两个问题：
(1)求跳绳和毽子的单价是多少元？
(2)若7.9班也打算购买同样的跳绳和毽子共50个，且总花费不超过600元，问7.9班的跳绳最多买多少条？
【答案】(1)跳绳的单价是19元，毽子的单价是7元；
(2)7.9班的跳绳最多买20条．
【分析】（1）设跳绳的单价是x元，毽子的单价是y元，然后找出两个等量关系：20根跳绳的钱数+ 30个毽子的钱数=590元；10根跳绳的钱数+10个毽子的钱数=260元．根据这两个等量关系可列出方程组，解方程组即可；
（2）设7.9班购买m条跳绳，则购买个毽子，根据总花费不超过600元列不等式，求出m的值，最后取m的最大整数值即可．
本题考查了二元一次方程组的应用和一元一次不等式的应用，根据题意找出等量关系和不等量关系是解题的关键．
【详解】（1）设跳绳的单价是x元，毽子的单价是y元，
根据题意得：，
解得：．
答：跳绳的单价是19元，毽子的单价是7元；
（2）设7.9班购买m条跳绳，则购买个毽子，
根据题意得：，
解得：，
又∵m为正整数，
∴m的最大值为20．
答：7.9班的跳绳最多买20条．
16．（2024年山西省吕梁市部分学校中考一模数学试题）2023年10月23日，以“果蔬运城，走向世界”为主题的第七届山西（运城）国际果品交易博览会在运城会展中心开幕，果博会已发展成为山西省的品牌展会，架起了山西农业走出国门、走向世界的桥梁．为培育大量的优质果木品种，果树科研人员尝试培育甲、乙两种新品果苗．已知培育2株甲种果苗和3株乙种果苗，共需成本2200元；培育3株甲种果苗和1株乙种果苗，共需成本1900元．
(1)问甲、乙两种果苗每株的成本分别为多少元？
(2)据市场调研，1株甲种果苗的售价为600元，1株乙种果苗的售价为550元．该基地决定培育乙种果苗的株数是甲种果苗株数的2倍还多10株，且总利润不少于10000元，则该基地应至少培育甲种果苗多少株？
【答案】(1)培育甲、乙两种花木每株成本分别为500元、400元；
(2)该基地至少培育甲种花木株．
【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，二元一次方程组的应用，解决问题的关键是读懂题意，找到关键描述语，进而找到所求的量的等量关系和不等关系．
（1）设甲种花木的成本价是x元，乙种花木的成本价为y元．此问中的等量关系：①甲种花木2株，乙种花木3株，共需成本2200元；②培育甲种花木3株，乙种花木1株，共需成本1900元；
（2）结合（1）中求得的结果，根据题目中的不等关系：总利润不少于10000元，列不等式进行分析．
【详解】（1）解：设甲、乙两种花木的成本价分别为元和元，
由题意得，
解得；
答：培育甲、乙两种花木每株成本分别为500元、400元；
（2）解：设培育甲种花木株，则培育乙种花木株，
由题意得，
解得，
由于为整数，所以最小值为；
所以该基地至少培育甲种花木株．
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专题9.1 不等式解集及性质、一元一次不等式之十大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 根据题意列不等式】 1
【考点二 不等式的基本性质】 2
【考点三 不等式的解集】 3
【考点四 一元一次不等式的识别】 4
【考点五 利用一元一次不等式的定义求参数】 6
【考点六 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集】 7
【考点七 求一元一次不等式的整数解】 9
【考点八 解|x|≥a型的不等式】 10
【考点九 列一元一次不等式】 12
【考点十 用一元一次不等式的解决实际问题】 13
【过关检测】 15
【典型例题】
【考点一 根据题意列不等式】
例题：（2024上·浙江宁波·八年级统考期末）用不等式表示减去大于： ．
【变式训练】
1．（2023上·浙江温州·八年级校联考期中）根据数量关系“x的2倍与y的差大于3”，列不等式： ．
2．（2023下·河南周口·七年级统考期末）某日我市最高气温是27℃，最低气温是22℃，则当天气温℃的变化范围是 ．
【考点二 不等式的基本性质】
例题：（2024上·浙江宁波·八年级宁波市第十五中学校考期末）若，则下列不等式不一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2024上·江苏苏州·七年级统考期末）已知，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024上·浙江杭州·八年级统考期末）已知 ，则下列各式中，正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点三 不等式的解集】
例题：（2023下·湖南衡阳·七年级校考期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
【变式训练】
1．（2023下·全国·八年级假期作业）下列的值中，是不等式的解的是（ ）
A．4 B．2 C．0 D．
2．（2022·全国·七年级专题练习）下列说法错误的是（ ）
A．是不等式的解 B．是不等式的解
C．的解集是 D．的解集就是、、
【考点四 一元一次不等式的识别】
例题：（22·23六年级下·上海宝山·期末）下列各式：（1）；（2）；（3）；（4）；中是一元一次不等式的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．0个
【变式训练】
1．（22·23七年级下·山东泰安·期末）下列式子是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（22·23八年级下·辽宁沈阳·阶段练习）下列式子：①；②；③；④；⑤；⑥中，一元一次不等式有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【考点五 利用一元一次不等式的定义求参数】
例题：（2023下·江苏南通·七年级启东市长江中学校考阶段练习）已知是关于x的一元一次不等式，则不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
【变式训练】
1．（2023下·陕西西安·八年级校联考阶段练习）若是关于的一元一次不等式．则的值为（ ）
A． B． C． D．或
2．（2023下·全国·七年级专题练习）若关于的一元一次不等式，则的值（ ）
A． B．1或 C．或 D．
【考点六 求一元一次不等式的解集并在数轴上表示不等式的解集】
例题：（2024上·广西来宾·八年级统考阶段练习）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来．
【变式训练】
1．（2023下·全国·八年级假期作业）解不等式，并把它的解集表示在数轴上．
2．（2024下·全国·七年级假期作业）解下列不等式，并把解集在数轴上表示出来：
(1)；
(2)．
【考点七 求一元一次不等式的整数解】
例题：（2022下·黑龙江哈尔滨·七年级统考期末）不等式的正整数解是 ．
【变式训练】
1．（2023上·浙江宁波·八年级校考阶段练习）关于x的不等式的正整数解是 ．
2．（2023下·辽宁盘锦·七年级校考期末）不等式的所有正整数解的和为 ．
【考点八 解|x|≥a型的不等式】
例题：（2023下·河南鹤壁·七年级统考期中）先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题．
例：解绝对值方程：．
解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得；
②当时，原方程可化为，解得．
所以原方程的解为或．
根据材料，解下列绝对值方程：
(1)理解应用：；
(2)拓展应用：不等式的解集为______．
【变式训练】
1．解下列不等式：
（1） （2）
【考点九 列一元一次不等式】
例题：（2024上·浙江丽水·八年级统考期末）根据数量关系“的5倍大于1”，列不等式为 ．
【变式训练】
1．（2023下·辽宁大连·七年级统考阶段练习）一件衬衫进价50元，问定价至少是多少元，打八折后才不会亏本？设定价为x元，列出关于x的一元一次不等式： ．
2．（2022上·浙江宁波·八年级校联考阶段练习）2022年卡塔尔世界杯正如火如荼地进行着，其小组赛赛制为：每队胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分．若某强队想要在小组赛中确保出线，就必须在3场中保持不败并且积分不少于7分，则该队至少胜多少场？设该队胜x场，则列出的不等式为 ．
【考点十 用一元一次不等式的解决实际问题】
例题：（2023下·陕西咸阳·八年级咸阳市实验中学校考阶段练习）某景区为了吸引游客，现打算在一空地种植A，B两种品种的牡丹，A、B两种牡丹每棵的价格分别是55元和72元，若购买两种牡丹共90棵，且总价格不超过5460元，求最少要购买A种牡丹多少棵？
【变式训练】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·九年级校考阶段练习）某商店购进甲、乙两种品牌的文具，若购进甲种文具20件，乙种文具30件，共需要400元；若购进甲种文具10件，乙种文具5件，共需要100元．
(1)求该商店购进甲、乙两种品牌的文具每件各需要多少元？
(2)若该商店准备购进甲、乙两种品牌的文具共100件，且总预算费用不超过800元，那么该商店最多可购进乙种品牌的文具多少件？
2．（2024上·浙江衢州·八年级统考期末）2024年，人工智能技术将迎来新的突破，智能驾驶、智能家居、智能医疗等领域的创新将改变人们的生活方式，并带来巨大的便利，某连锁酒店计划向机器人公司购买A型号和B型号送餐机器人共台，其中B型号机器人不少于A型号机器人的倍．
(1)该连锁酒店最多购买几台A型号机器人？
(2)机器人公司报价A型号机器人7万元/台，B型号机器人9万元/台，要使总费用不超过万元，则有哪几种购买方案？
【过关检测】
一、单选题
1．（22·23八年级下·贵州贵阳·阶段练习）下列不等式是一元一次不等式的是（ ）
A． B． C． D．
2．（23·24七年级上·吉林长春·期末）下列不等式的变形正确的是（ ）
A．若，则 B．若，且，则
C．若，则 D．若，则
3．（22·23七年级下·湖南衡阳·期中）下列说法中，正确的是（ ）
A．不等式的解集是 B．是不等式的一个解
C．不等式的整数解有无数个 D．不等式的正整数解有4个
4．（23·24九年级下·湖北十堰·阶段练习）关于x一元一次不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则m的值为（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
5．（22·23七年级下·江苏南通·期末）若关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
6．（23·24八年级下·陕西西安·开学考试）若，则 ．
7．（23·24八年级上·浙江杭州·阶段练习）已知不等式的解集为，则的取值范围是 ．
8．（23·24八年级上·浙江金华·期末）如图，在数轴上点、分别表示数2，，则的取值范围是 ．
9．（23·24七年级下·全国·假期作业）若关于x的不等式仅有的正整数解是1，2，3，则a的取值范围是 ．
10．（23·24七年级上·江苏苏州·期末）我国古代《易经》记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到野果的个数．若她采集到的一筐野果不少于46个则在第2根绳子上的打结数至少是 ．
三、解答题
11．（2024七年级下·全国·专题练习）解下列不等式并把解集表示在数轴上．
(1)； (2)．
12．（2024七年级下·全国·专题练习）解下列不等式，并把不等式的解集在数轴上表示出来：
(1)； (2)．
13．（22·23七年级下·山东烟台·阶段练习）已知关于x的不等式．
(1)当时，求该不等式的解集；
(2)取何值时，该不等式有解？并求出解集．
14．（22·23七年级下·吉林长春·阶段练习）已知关于x的方程与的解相同，回答下列问题
(1)求k的值；
(2)解关于k的不等式：．
15．（2024七年级下·全国·专题练习）我们度过了寒冬，迎来了充满希望的春天，同学们将走出教室进行适当的体育锻炼，7.1班想集体购买跳绳和毽子、第一次买20条跳绳和30个毽子共花了590元，第二次又买了10条跳绳和10个毽子共花了260元．请回答下面的两个问题：
(1)求跳绳和毽子的单价是多少元？
(2)若7.9班也打算购买同样的跳绳和毽子共50个，且总花费不超过600元，问7.9班的跳绳最多买多少条？
16．（2024年山西省吕梁市部分学校中考一模数学试题）2023年10月23日，以“果蔬运城，走向世界”为主题的第七届山西（运城）国际果品交易博览会在运城会展中心开幕，果博会已发展成为山西省的品牌展会，架起了山西农业走出国门、走向世界的桥梁．为培育大量的优质果木品种，果树科研人员尝试培育甲、乙两种新品果苗．已知培育2株甲种果苗和3株乙种果苗，共需成本2200元；培育3株甲种果苗和1株乙种果苗，共需成本1900元．
(1)问甲、乙两种果苗每株的成本分别为多少元？
(2)据市场调研，1株甲种果苗的售价为600元，1株乙种果苗的售价为550元．该基地决定培育乙种果苗的株数是甲种果苗株数的2倍还多10株，且总利润不少于10000元，则该基地应至少培育甲种果苗多少株？
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