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专题7.3 解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、新定义与规律探究问题之五大考点
目录
【典型例题】 1
【考点一 利用补形法或分割法求图形的面积】 1
【考点二 与图形面积相关的点的存在性问题】 5
【考点三 平面直角坐标系中新定义规律探究问题】 14
【考点四 平面直角坐标系中点运动规律探究问题】 20
【考点五 平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】 26
【典型例题】
【考点一 利用补形法或分割法求图形的面积】
例题：（2023上·河北保定·八年级统考阶段练习）已知，，．
(1)请在平面直角坐标系中画出．
(2)请判断的形状（需说明理由），并求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)为直角三角形，的面积为2
【分析】本题主要考查了坐标与图形、勾股定理及其逆定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．
（1）在平面直角坐标系中找出点的位置，然后顺次连接即可；
（2）分别计算的值，然后利用勾股定理的逆定理判断的形状即可；利用割补法求三角形面积即可．
【详解】（1）解：依次连接，，，即为所求；
（2）解：∵，，，
∴，，，
∴，
∴为直角三角形，且为直角边，为斜边；
∴．
【变式训练】
1．（2023上·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，过点作轴，过点作轴，轴，过点作轴，分别与和交于点和点，分别与和交于点和点．
(1)直接写出下列点的坐标：点____，点____，点____；
(2)利用图形求的面积．
【答案】(1)，，
(2)的面积为9．
【分析】本题考查网格中求三角形的面积，坐标与图形．
（1）根据点，点，点在坐标系中的位置，直接写出其坐标即可；
（2）利用正方形的面积减去周围三个三角形的面积即可求解．
【详解】（1）解：点，点，点；
故答案为：，，；
（2）解：的面积．
2．（2022上·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，
(1)在平面直角坐标系中画出．
(2)求的面积．
【答案】(1)见解析
(2)15
【分析】（1）根据点的坐标画出图形即可；
（2）把三角形的面积看成长方形的面积减去周围的三个三角形面积即可．
【详解】（1）如图，即为所求；
（2）
【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用面积法解决问题．
3．（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练面直角坐标系中，O为原点，点，，．
(1)如图①，则三角形ABC的面积为______；
(2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求的面积．
【答案】(1)6；
(2)9
【分析】本题考查了坐标与图形、点的平移等知识，掌握运用数形结合的思想分析解决问题是解题关键．
（1）根据题意得出，，，然后根据三角形面积公式直接计算即可；
（2）由平移的性质可得点坐标；①连接，过点作轴于点，过点作轴于点，根据进行计算即可得到答案；②根据的面积等于的面积，求解即可．
【详解】（1）解：∵O为原点，点，，．
∴，，，
∴，
∴．
故答案为：6；
（2）解：∵将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，，
∴得到对应点坐标为，
连接，过点作轴于点，过点作轴于点，
∵，
∴，，
∴
；
【考点二 与图形面积相关的点的存在性问题】
例题：（2023上·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，已知，，，．
(1)求的面积；
(2)设P为x轴上的一点，若，求点P的坐标．
【答案】(1)12
(2)点P的坐标为或
【分析】（1）先计算出，然后根据三角形面积公式计算的面积；
（2）当在轴上时，设点坐标为，则，再根据列方程计算即可；
【详解】（1）解：，，，
，
．
（2）设点P的坐标为，
，解得或，
点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半．
【变式训练】
1．（2024上·江西吉安·八年级统考期末）如图，在直角坐标平面内，已做，，
(1)求的面积．
(2)在y轴上找一点D，使，求点D的坐标．
【答案】(1)16
(2)或
【分析】本题考查的是坐标与图形面积，理解坐标系的特点是解本题的关键；
（1）直接利用三角形的面积公式计算即可；
（2）设点D的坐标为，再利用面积公式建立方程求解即可．
【详解】（1）解：；
（2）设点D的坐标为，
．
解得．
∴满足条件的点D的坐标为或；
2．（2023上·河南郑州·八年级郑州市第八中学校考期中）如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴上，点、在轴上，，，，点的坐标是．
(1)求的顶点的坐标；
(2)连接、，并用含字母的式子表示的面积；
(3)在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，
(2)的面积为
(3)或
【分析】本题考查了坐标与图形性质；
（1）根据三角形面积公式得到，解得，则，，然后根据坐标轴上点的坐标特征写出三个顶点的坐标；
（2）分类讨论：当点在直线上方即；当点在直线下方，即；利用面积的和与差求解；
（3）先计算出，利用（）中的结果得到方程，然后分别求出的值，从而确定点坐标．
【详解】（1）解：，
，
，解得，
，
，
，，；
（2）当点在第二象限，直线的上方，即，作轴于，如图，
；
当点在直线下方，即，作轴于，如图，
；
∴的面积为
（3）解：∵，
当，
解得．
此时点坐标为；
当，
解得．
此时点坐标为．
综上所述，点的坐标为，或，．
3．（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，，满足关系式
(1)请求出、、三点的坐标：
(2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
【答案】(1)点坐标为，点坐标为，点坐标为；
(2)；
(3)存在这样的点M，点M的坐标为或．
【分析】本题考查非负数的性质，直角坐标系中的面积问题，三角形的面积公式等知识．
（1）根据非负数的性质求解即可；
（2）求出，，再用计算即可；
（3）根据设为，则，，再结合题意列出绝对值方程，求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴，，；
∴点坐标为，点坐标为，点坐标为；
（2）解：过点作于，则，
∵，，
∴，，
∴，，
∴；
（3）解：存在，点M的坐标为或，
理由如下：
假设存在这样的点M，设为，则，
∵，
∴
∵，
由题意得
解得：或，
∴存在这样的点M，点M的坐标为或．
4．（2021下·福建福州·七年级校联考期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足．
(1) ， ；
(2)点在x轴负半轴上；
①请用含m的式子表示四边形的面积；
②若线段通过平移恰好能与线段重合（O与C重合，B与A重合），Q为线段上一点，P为x轴上一点，且（即三角形面积为四边形面积的），求点P的坐标．
【答案】(1)
(2)①②或
【分析】（1）利用非负性进行求解即可；
（2）①利用分割法进行求解即可；②根据平移的性质，得到，进而得到，设点，，根据，以及，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴；
故答案为：；
（2）①如图：
由图可知：；
②如图，
∵线段通过平移恰好能与线段重合，（O与C重合，B与A重合）
∴，
∴，
∴，
∵点在轴上，点在线段上，
∴设点，，
∴，
∵，
∴，
∴或，
∴或．
【点睛】本题考查坐标与图形，坐标与平移，解题的关键是掌握非负性，平移的性质，利用数形结合的思想进行求解．
5．（2023下·七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足．同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点的对应点，连接．
(1)求点的坐标及四边形的面积；
(2)在坐标轴上是否存在一点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；
(3)是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与点重合），给出下列结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这个结论并求其值．
【答案】(1)，
(2)存在，或
(3)①正确，
【详解】（1），
．
点，点．
根据平移规律可得，
．
（2）坐标轴上存在点满足．
当点在轴上时，，
．
．
点的坐标为或；
当点在轴上时，，
．
．
点的坐标为或．
综上，点的坐标为或或或．
（3）如图，点在线段上（不与点，重合），作交于点，
．
．
．
．
．
①正确．
【考点三 平面直角坐标系中新定义规律探究问题】
例题：（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”．
(1)点的“短距”为______；
(2)若点的“短距”为3，求m的值；
(3)若，两点为“等距点”，求k的值．
【答案】(1)7
(2)4或
(3)或
【分析】本题主要考查新定义下点到坐标轴的距离，
（1）根据新定义，求得点B到坐标轴的距离即可；
（2）根据新定义得到，求解即可；
（3）根据新定义分别找到点C和点D到坐标轴的距离，再分类讨论与2的大小，列出对应的等式即可求得答案；
【详解】（1）解：点到x轴、y轴距离分别为和7，
根据定义得点的“短距”为7；
（2）∵点的“短距”为3，且，
∴，解得或．
（3）点C到x轴的距离为，到y轴距离为2，点D到x轴的距离为，到y轴距离为4，
当时，，
则或，解得或（舍）．
当时，，
则或，解得或（舍）．
综上，k的值为或．
【变式训练】
1．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义： 点P到X轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”， 点Q到x轴、y轴的距离相等时， 称点Q为“完美点”．
(1)点的“长距”为 ；
(2)若点是“完美点”， 求a 的值；
(3)若点的长距为4，且点C 在第二象限内，点D的坐标为，试说明： 点 D 是“完美点”．
【答案】(1)3
(2)或
(3)见解析
【分析】本题主要考查了平面直角坐标系的知识，属于阅读理解类型题目，关键是要读懂题目里定义的“长距”与“完美点”．
（1）根据“长距”的定义解答即可；
（2）根据“完美点”的定义解答即可；
（3）由“长距”的定义求出b的值，然后根据“完美点”的定义求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得点到轴的距离为3，到轴的距离为1，
∴点A的“长距”为3．
故答案为：3；
（2）解：∵点是“完美点”，
∴，
∴或，
解得或；
（3）解：∵点的长距为4，且点C 在第二象限内，
∴，
解得，
∴，
∴点D的坐标为，
∴点D到x轴、y轴的距离都是5，
∴点 D 是“完美点”．
2．（2023下·云南昭通·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．
例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”.
(1)若，，，则“水平底”______，“铅垂高”______，“矩面积”______
(2)若，，的“矩面积”为20，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)或
【分析】(1) 根据题目中的新定义可以求得相应的a，h和“矩面积”;
(2) 首先由题意得:, 然后分别从①当时,, 当时, , 列等式求解即可求得答案；
【详解】（1）解：∵，，，
∴
∴,
故答案为: ,
（2）由题意:，
①当时,,
则, 可得, 故点P的坐标为；
②当时, ,
则, 可得, 故点P的坐标为；
综上, 点的坐标为或．
【点睛】本题是新定义：“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”的学习，考查坐标与图形的性质及学生的理解分析能力的培养，解答本题的关键是明确题目中的新定义，利用新定义解答问题.
3．（2022上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点P的一对“和谐点”．
例如，点的一对“和谐点”是点与点
(1)点的一对“和谐点”坐标是 与 ；
(2)若点的一对“和谐点”重合，则y的值为 ．
(3)若点C的一个“和谐点”坐标为，求点C的坐标．
【答案】(1)
(2)6
(3)或
【分析】（1）根据“和谐点”的含义即可完成；
（2）根据“和谐点”的含义及两点重合即可完成；
（3）设点C的坐标为，根据“和谐点”的含义分两种情况即可完成．
【详解】（1）解：由题意得：，，
所以点的一对“和谐点”坐标是与；
故答案为：；
（2）解：由题意得：，，
所以点的一对“和谐点”坐标是与；
又点的一对“和谐点”重合，
，
，
故答案为：6；
（3）解：设，
若点C的一个“和谐点”坐标为，
则，，
；
；
若点C的另一个“和谐点”坐标为，
则，，
；
；
综上，点C的坐标为或．
【点睛】本题是新定义问题，考查了坐标与图形，关键是理解题中“和谐点”的含义．
4．（2022下·湖北武汉·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，点P（a，b），Q（c，d）给出如下定义：对于实数k（k≠0），我们称点M（ka＋kc，kb＋kd）为P，Q两点的“k”系和点．例如，点P（3，4），Q（1，－2），则点P．Q的“”系和点的坐标为：（2，1），如图，已知点A（4，－1），B（－2，－1）．
(1)直接写出点A，B的“－”系和点坐标为_________；
(2)若点A为B，C的“－3”系和点，求点C的坐标：
(3)点D为A，B的“k”系和点．
①求点D的坐标（结果用k含的式子表示）；
②若三角形ABD的面积为6，则符合条件的k的值为_________（直接写出结果）．
【答案】(1)（-1，1）
(2)（，）
(3)①，②或
【分析】（1）直接根据系和点的定义分别求出点的横坐标与纵坐标即可；
（2）设出点C的坐标，根据系和点的定义列出方程，解方程即可得到答案；
（3）①根据系和点的定义将k代入计算即可；②求出AB的长度，同时表示出AB边上的高，列出方程解出k的值即可．
【详解】（1）解：∵点A（4，－1），B（－2，－1），
∴点A，B的“－”系和点的横坐标为，
纵坐标为，
∴点A，B的“－”系和点坐标为（-1，1）．
（2）解：∵点A为B，C的“－3”系和点，
设点C坐标为（m，n），
∴，，
解得，．
∴点C的坐标为（，）．
（3）解：①∵点D为A，B的“k”系和点，设点D坐标为（a，b）
则，，
∴点D的坐标为；
②∵点A（4，－1），B（－2，－1），
∴．
∵点D到AB的距离为，三角形ABD的面积为6，
∴，
解得或，
∴符合条件的k的值为或．
【点睛】本题考查新定义问题，图形与坐标，解题的关键是正确理解新定义的含义列出代数式表示出点的横纵坐标．
【考点四 平面直角坐标系中点运动规律探究问题】
例题：（2023上·广东揭阳·八年级统考期末）如图；一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查点的运动规律，找到规律是解题的关键．根据每次对应的对标找到规律即可．
【详解】解：由题意知，
第1次它从原点运动到点，
第2次运动到点，
第3次运动到点，
第次运动到点，
第次运动到点，
第次运动到点，
由此可见，小蚂蚁运动次，所在的位置的坐标是，
下一次运动对应的坐标是，
经过第次运动后，小蚂蚁的坐标是，
故经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是．
故答案为：．
【变式训练】
1.（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，．一只蚂蚁从点处出发，并按的规律在四边形的边上以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为．若，则这只蚂蚁所在位置的点的坐标为 ．
【答案】
【解析】略
2．（2023上·安徽六安·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度.其行走路线如图所示．
(1)填写下列各点的坐标：（_____，_____），（_____，_____），（_____，_____）；
(2)写出点的坐标；
(3)指出蚂蚁从点到点的移动方向．
【答案】(1)2，0；5，1；7，0
(2)
(3)蚂蚁从点到点的移动方向是向下
【分析】本题考查了平面直角坐标系中的找规律问题，熟练掌握平面直角坐标系中坐标的特征是解题的关键．
（1）观察图形可知，，，都在轴上，求出，，的长度，然后写出坐标即可；
（2）根据题意可得规律观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，再由，可得的纵坐标为0，横坐标为。据此可得答案；
（3）由可知从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致，据此可得答案．
【详解】（1）解：根据题意可得，，都在轴上
∵小蚂蚁每次移动1个单位，
∴，，，，
∴，，，
故答案为：2，0；5，1；7，0
（2）解：观察可知，每四次运动为一个循环，每个循环中，横坐标增加2，纵坐标为1，1，0，0，依次出现，
∵，
∴的纵坐标为0，横坐标为，
∴
（3）解：∵，
∴从点到点的移动方向与从点到点的移动方向一致，为向下．
3．（2023上·安徽亳州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中， ，，都是等边三角形，都是等腰直角三角形．
(1)直接写出下列点的坐标：
①：______；②：______；③：______；④：______．
(2)是正整数，用含的代数式表示下列坐标：
①的横坐标为：______；②的坐标为______．
(3)若，点从点出发，沿着点运动，到点时运动停止，则点运动的路程为______．
【答案】(1)①；②；③；④
(2)①；②
(3)
【分析】本题考查图形与坐标，涉及点的坐标规律、等腰三角形性质、等边三角形性质及勾股定理，数形结合，准确找到点的坐标特征是解决问题的关键．
（1）由平面直角坐标系及所给的图形可找到规律，是正整数；，是自然数；，是自然数；代值求解即可得到答案；
（2）由（1）中所得规律，结合题中要求即可得到答案；
（3）由图形及题意，数形结合即可得到答案．
【详解】（1）解：在平面直角坐标系中， ，
，是正整数，
，；
，都是等边三角形，
中，以轴上的边为底的高长为，
，是自然数；
都是等腰直角三角形，
如图所示，，是自然数；
，
；
故答案为：①；②；③；④；
（2）解：由（1）中，是自然数；，是自然数；
当是正整数时，；；
故答案为：①；②；
（3）解：由题意及前问解析可知，点在轴上，
点从点出发，沿着点运动，到点时运动停止，点运动的路程为100段与100段的和，
，
点运动的路程为，
故答案为：．
4．（2023上·安徽合肥·八年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，即按这样的运动规律，完成下列任务：
(1)点的坐标为 ，点的坐标为 ；点的坐标为 ；
(2)在动点的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出之间满足的数量关系为 ，之间满足的数量关系为 ．
【答案】(1)；
(2)；
【分析】(1)观察点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环，再运算求解；
(2)根据(1)中的规律求解．
【详解】（1）解：∵
∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环，
∵，，
点的坐标为，，的坐标为，；
∵，
∴的纵坐标与的纵坐标一样，
点的坐标为，，
故答案为：，，，，，；
（2）解：∵
∴点的坐标的规律为横坐标逐次大，纵坐标四个为一个循环，
；，
故答案为：．
【考点五 平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】
例题：（2024上·广东珠海·九年级统考期末）如图，矩形起始位置紧贴在坐标轴上，且坐标为，，将矩形绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．则顶点在旋转2023次后的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查规律型：点的坐标、旋转，解题的关键是每旋转次为一个循环，点回到轴上，横坐标增加，根据可知，顶点在旋转次后的横坐标为，纵坐标为．
【详解】由题意得，旋转第次至图①位置，点的坐标为，
旋转第次至图②位置，点的坐标为，
旋转第次至图③位置，点的坐标为，
旋转第次, 点的坐标为,
即每旋转次为一个循环，点回到轴上，横坐标增加，
，
∴顶点在旋转次后的横坐标为纵坐标为，
∴顶点在旋转次后的坐标为．
故答案为: ．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右滚动到的位置，再到的位置……依次进行下去，若已知点，，则点的坐标为 ．
【答案】
【分析】本题考查了点的坐标的规律，找到点的坐标的变化规律是解题的关键．根据三角形的滚动，可得出：每滚动3次为一个周期，点在第一象限，点在x轴上，然后寻找规律，即可完成解答．
【详解】解：，，
，
由图像可知点在第一象限，点横坐标为，纵坐标为3，
点在x轴上，
∴点 在第一象限，
的坐标为，
的坐标为，即，
的坐标为，即，
的坐标为即的坐标为．
故答案为：．
2．（2024上·河北张家口·八年级统考期末）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2023次，点P依次落在点，，，，…，的位置，则：
（1）的横坐标 ；
（2）的横坐标 ．
【答案】 5 2022
【分析】本题主要考查点的坐标规律，观察图形和各点坐标可知：翻转过程中4次为一个循环，P到横坐标刚好加4，P到，，处横坐标加3，P到，处横坐标加2，按照此规律，求解即可．
【详解】（1）观察图形和各点坐标可知：翻转过程中4次为一个循环，P到横坐标刚好加4，P到，，处横坐标加3，P到，处横坐标加2，
∴的横坐标是横坐标加2，
∴的横坐标，
故答案为：；
（2），
∴是过个循环得到的
∴的横坐标，
故答案为：．
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专题7.3 解题技巧专题：平面直角坐标系求面积、新定义与规律探究问题之五大考点
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【典型例题】 1
【考点一 利用补形法或分割法求图形的面积】 1
【考点二 与图形面积相关的点的存在性问题】 5
【考点三 平面直角坐标系中新定义规律探究问题】 14
【考点四 平面直角坐标系中点运动规律探究问题】 20
【考点五 平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】 26
【典型例题】
【考点一 利用补形法或分割法求图形的面积】
例题：（2023上·河北保定·八年级统考阶段练习）已知，，．
(1)请在平面直角坐标系中画出．
(2)请判断的形状（需说明理由），并求的面积．
【变式训练】
1．（2023上·安徽滁州·八年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，的顶点坐标分别为，，，过点作轴，过点作轴，轴，过点作轴，分别与和交于点和点，分别与和交于点和点．
(1)直接写出下列点的坐标：点____，点____，点____；
(2)利用图形求的面积．
2．（2022上·陕西宝鸡·八年级校考阶段练习）如图所示，在平面直角坐标系中，已知，，
(1)在平面直角坐标系中画出．
(2)求的面积．
3．（2023上·江苏常州·八年级校考阶段练面直角坐标系中，O为原点，点，，．
(1)如图①，则三角形ABC的面积为______；
(2)如图②，将点B向右平移7个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到对应点D．求的面积．
【考点二 与图形面积相关的点的存在性问题】
例题：（2023上·广东茂名·八年级信宜市第二中学校考期中）如图，已知，，，．
(1)求的面积；
(2)设P为x轴上的一点，若，求点P的坐标．
【变式训练】
1．（2024上·江西吉安·八年级统考期末）如图，在直角坐标平面内，已做，，
(1)求的面积．
(2)在y轴上找一点D，使，求点D的坐标．
2．（2023上·河南郑州·八年级郑州市第八中学校考期中）如图，已知在平面直角坐标系中，点在轴上，点、在轴上，，，，点的坐标是．
(1)求的顶点的坐标；
(2)连接、，并用含字母的式子表示的面积；
(3)在（2）问的条件下，是否存在点，使的面积等于的面积？如果存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023下·黑龙江牡丹江·七年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为，点坐标为，且，，满足关系式
(1)请求出、、三点的坐标：
(2)如果在第三象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积；
(3)在（2）的条件下，当时，在轴上是否存在点，使三角形的面积等于四边形面积的？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
4．（2021下·福建福州·七年级校联考期中）如图1，在平面直角坐标系中，已知，其中a，b满足．
(1) ， ；
(2)点在x轴负半轴上；
①请用含m的式子表示四边形的面积；
②若线段通过平移恰好能与线段重合（O与C重合，B与A重合），Q为线段上一点，P为x轴上一点，且（即三角形面积为四边形面积的），求点P的坐标．
5．（2023下·七年级课时练习）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标分别为，且满足．同时将点分别向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到点的对应点，连接．
(1)求点的坐标及四边形的面积；
(2)在坐标轴上是否存在一点，连接，使？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；
(3)是线段上的一个动点，连接，当点在上移动时（不与点重合），给出下列结论：①的值不变；②的值不变．其中有且只有一个结论是正确的，请你找出这个结论并求其值．
【考点三 平面直角坐标系中新定义规律探究问题】
例题：（2023上·安徽宿州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点A到x轴、y轴距离的较小值称为点A的“短距”，当点P的“短距”等于点Q的“短距”时，称P，Q两点为“等距点”．
(1)点的“短距”为______；
(2)若点的“短距”为3，求m的值；
(3)若，两点为“等距点”，求k的值．
【变式训练】
1．（2023上·江苏泰州·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，给出如下定义： 点P到X轴、y轴的距离的较大值称为点P的“长距”， 点Q到x轴、y轴的距离相等时， 称点Q为“完美点”．
(1)点的“长距”为 ；
(2)若点是“完美点”， 求a 的值；
(3)若点的长距为4，且点C 在第二象限内，点D的坐标为，试说明： 点 D 是“完美点”．
2．（2023下·云南昭通·七年级统考期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点，，的“矩面积”给出如下定义：“水平底”：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”．
例如：三点的坐标分别为，，，则“水平底”，“铅垂高”，“矩面积”.
(1)若，，，则“水平底”______，“铅垂高”______，“矩面积”______
(2)若，，的“矩面积”为20，求点的坐标．
3．（2022上·江苏连云港·八年级校考阶段练习）对于平面直角坐标系xOy中的任意一点，给出如下定义：记，那么我们把点与点称为点P的一对“和谐点”．
例如，点的一对“和谐点”是点与点
(1)点的一对“和谐点”坐标是 与 ；
(2)若点的一对“和谐点”重合，则y的值为 ．
(3)若点C的一个“和谐点”坐标为，求点C的坐标．
4．（2022下·湖北武汉·七年级统考期中）在平面直角坐标系中，点P（a，b），Q（c，d）给出如下定义：对于实数k（k≠0），我们称点M（ka＋kc，kb＋kd）为P，Q两点的“k”系和点．例如，点P（3，4），Q（1，－2），则点P．Q的“”系和点的坐标为：（2，1），如图，已知点A（4，－1），B（－2，－1）．
(1)直接写出点A，B的“－”系和点坐标为_________；
(2)若点A为B，C的“－3”系和点，求点C的坐标：
(3)点D为A，B的“k”系和点．
①求点D的坐标（结果用k含的式子表示）；
②若三角形ABD的面积为6，则符合条件的k的值为_________（直接写出结果）．
【考点四 平面直角坐标系中点运动规律探究问题】
例题：（2023上·广东揭阳·八年级统考期末）如图；一只小蚂蚁在平面直角坐标系中按图中路线进行“爬楼梯”运动，第1次它从原点运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点按这样的运动规律，经过第2023次运动后，小蚂蚁的坐标是 ．
【变式训练】
1.（2024下·全国·七年级假期作业）如图，在平面直角坐标系中，．一只蚂蚁从点处出发，并按的规律在四边形的边上以每秒1个单位长度的速度运动，运动时间为．若，则这只蚂蚁所在位置的点的坐标为 ．
2．（2023上·安徽六安·八年级统考期中）在平面直角坐标系中，一只蚂蚁从原点O出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断地移动，每次移动1个单位长度.其行走路线如图所示．
(1)填写下列各点的坐标：（_____，_____），（_____，_____），（_____，_____）；
(2)写出点的坐标；
(3)指出蚂蚁从点到点的移动方向．
3．（2023上·安徽亳州·八年级校考期末）如图，在平面直角坐标系中， ，，都是等边三角形，都是等腰直角三角形．
(1)直接写出下列点的坐标：
①：______；②：______；③：______；④：______．
(2)是正整数，用含的代数式表示下列坐标：
①的横坐标为：______；②的坐标为______．
(3)若，点从点出发，沿着点运动，到点时运动停止，则点运动的路程为______．
4．（2023上·安徽合肥·八年级合肥市第四十八中学校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，即按这样的运动规律，完成下列任务：
(1)点的坐标为 ，点的坐标为 ；点的坐标为 ；
(2)在动点的上述运动过程中，若有连续四点，，，，请直接写出之间满足的数量关系为 ，之间满足的数量关系为 ．
【考点五 平面直角坐标系中图形变换规律探究问题】
例题：（2024上·广东珠海·九年级统考期末）如图，矩形起始位置紧贴在坐标轴上，且坐标为，，将矩形绕其右下角的顶点按顺时针方向旋转至图①位置，继续绕右下角的顶点按顺时针方向旋转至图②位置，以此类推，这样连续旋转2022次．则顶点在旋转2023次后的坐标为 ．
【变式训练】
1．（2023上·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，将沿轴向右滚动到的位置，再到的位置……依次进行下去，若已知点，，则点的坐标为 ．
2．（2024上·河北张家口·八年级统考期末）如图，将边长为1的正方形OAPB沿x轴正方向连续翻转2023次，点P依次落在点，，，，…，的位置，则：
（1）的横坐标 ；
（2）的横坐标 ．
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