黑龙江省牡丹江市第一高级中学2023-2024学年高一下学期4月月考数学试题（含答案）

2023级高一学年下学期4月份月考
数学试题
考试时间：120分钟 分值：150分
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知复数在复平面内对应的点的坐标为，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知向量，，且，则=（ ）
A. B. C. D.
3.如图，在中，，点E是的中点，设，，则（ ）
A. B.
C. D.
4.如图，在边长为2的等边中，点为中线的三等分点（接近点），点为的中点，则（ ）
A. B. C. D.
5.在矩形中，，，是边上一点，且，则的值为（ ）
A.3 B.2 C. D.
6.在矩形中，，.点是矩形内一点，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7.已知单位圆是的外接圆，若则的最大值为（ ）
A. B. C.1 D.
8.数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆.已知在中，，，，则的九点圆的半径为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分）
9.已知向量，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.与的夹角为
C. D.在上的投影向量是
10.在中，若，下列结论中正确的有（ ）
A. B.是钝角三角形
C.的最大内角是最小内角的2倍 D.若，则外接圆的半径为
11.“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，则有.以下命题正确的有（ ）
A.若，则M为的重心
B.若M为的内心，则
C.若，，M为的外心，则.
D.若M为的垂心，，则
三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分）
12.设，复数其中为虚数单位，若为纯虚数，则____________.
13.已知向量，，满足，，，，则与的夹角为____________.
14.法国数学家费马被称为业余数学之王，很多数学定理以他的名字命名.对而言，若其内部的点满足，则称为的费马点.在中，已知，设为的费马点，且满足，.则的外接圆直径长为____________.
四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15.（13分）已知向量，满足，.
（1）若，求向量的坐标；
（2）若求向量与向量夹角的余弦值.
16.（15分）在中，角，，所对的边分别为，，，且，，.
（1）求的面积；
（2）求边长及的值.
17.（15分）记的内角，，的对边分别为，，已知.
（1）求角的大小；
（2）若求周长的最大值.
18.（17分）记的内角，，的对边分别为，，已知，.
（1）求；
（2）若的面积为，求边上的中线长.
19.（17分）如图，平面凸四边形中，，，，为边的中点.
（1）若，求的面积；
（2）求的最大值.
数学答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D B D B B B C D BCD ACD
11 12 13 14
ABD -2 -120°
四、解答题（共计77分）
15.（13分）【详解】（1）∵，，设，
又，∴，，
∴或.
（2），∴，即，
∴，∴，
即向量与向量夹角的余弦值为.
16.（15分）【详解】（1），且，则，.
（2）由，则，又，则.
17.（15分）【详解】（1）因为，由正弦定理可得，整理得，
由余弦定理可得，且，所以.
（2）由（1）可知：，整理得，即，
因为，当且仅当时，等号成立，
则，可得，即，
所以周长的最大值为4+2=6.
18.（17分）【详解】（1）由正弦定理可得，所以，
即，
又，所以，
整理得，解得；
（2）依题意，，解得，
又，
所以为钝角，所以由，解得，，
由正弦定理可得，
又，所以，，，
设的中点为，则，
所以.
所以边上的中线长为.
19.（17分）【详解】（1）因为，，
由余弦定理可得，
，
则，且，，所以，
则的面积为.
（2）取线段的中点为，连接，，
设，，因为，，
由余弦定理可得，
，
由正弦定理可得，，
则，
因为E，M分别为，的中点，所以，且，
所以，且，，所以.
在中，由余弦定理可得，
，
由可得，，
所以当时，即时，取得最大值，
所以的最大值为.