8.5 空间直线、平面的平行 综合练习（含解析）

《空间直线、平面的平行》综合练习
一、选择题
1．设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面、β，对于下面四种情况：①b∥，②b⊥，③∥β，④⊥β．其中可能的情况有（　　）
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
2．E，F，G分别是四面体ABCD的棱BC，CD，DA的中点，则此四面体中与过E，F，G的截面平行的棱的条数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
3．若空间四边形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8、12，过AB的中点E且平行于BD、AC的截面四边形的周长为（　　）
A．10 B．20 C．8 D．4
4．下列结论中，正确的有（ ）
①若aα，则a∥ ②a∥平面，b则a∥b
③平面∥平面β，a，bβ，则a∥b ④平面∥β，点P∈，a∥β，且P∈a，则a
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在空间四边形ABCD中，E、F分别是AB和BC上的点，若AE∶EB=CF∶FB=1∶3，则对角线AC和平面DEF的位置关系是（ ）
A．平行 B．相交 C．在内 D．不能确定
6．a，b是两条异面直线，A是不在a，b上的点，则下列结论成立的是
A．过A有且只有一个平面平行于a，b
B．过A至少有一个平面平行于a，b
C．过A有无数个平面平行于a，b
D．过A且平行a，b的平面可能不存在
二、填空题
1．已知平面⊥平面β，∩β＝l，点A∈，A l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥，n∥β，则直线AB与平面β的位置关系是_________．
2．棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是________．
3．在空间中，有如下命题
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线
②若平面∥平面β，则平面内任意一条直线m∥平面β
③若平面内的三点A，B，C到平面β的距离相等，则∥β
其中正确命题的序号是________．
4．在△ABC中，AB＝5，AC＝7，∠BAC＝60°，G是△ABC的重心，过点G的平面与BC平行，AB∩＝M， AC∩＝N，则MN＝________．
5．如下图所示，四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，能得到AB//面MNP的图形的序号的是
①②③④
三、解答题
1．如图，在正四棱锥中，，点在棱上． 问点在何处时，，并加以证明．
2．已知平面平面，，是夹在两平行平面间的两条线段，，在内，，在内，点，分别在，上，且．
求证：平面．
3．平面内两正方形ABCD与ABEF，点M，N分别在对角线AC，FB上，且AM：MC=FN：NB，沿AB折起，使得∠DAF=900
（1）证明：折叠后MN//平面CBE；
（2）若AM：MC=2：3，在线段AB上是否存在一点G，使平面MGN//平面CBE 若存在，试确定点G的位置．
参考答案
一、选择题
1． C　①③④都有可能，②不可能，否则有b⊥a，与已知矛盾．
2．C 棱AC，BD与平面EFG平行，共2条．
3． B　由题意易知，截面过AB、BC、CD、DA的中点，故其周长为2×（4＋6）＝20．
4．A 若a，则a∥或a与相交，由此知①不正确
若a∥平面，b，则a与b异面或a∥b，∴②不正确
若平面∥β，a，bβ，则a∥b或a与b异面，∴③不正确
由平面∥β，点P∈知P?β过点P而平行平β的直线a必在平面内，是正确的．证明如下：假设a，过直线a作一面γ，使γ与平面相交，则γ与平面β必相交．设γ∩=b，γ∩β=c，则点P∈b．由面面平行性质知b∥c；由线面平行性质知a∥c，则a∥b，这与a∩b=P矛盾，∴a．故④正确．
5．A ∵AE：EB=CF：FB=1：3，∴AC∥EF．可以证明AC平面DEF．若AC平面DEF，则AD平面DEF，BC平面DEF．由此可知ABCD为平面图形，这与ABCD是空间四边形矛盾，故AC平面DEF．∵AC∥EF，EF平面DEF．∴AC∥平面DEF．
6．D过点A可作直线a′∥a，b′∥b，则a′∩b′=A，∴a′，b′可确定一个平面，记为．如果a，b，则a∥，b∥．由于平面可能过直线a、b之一，因此，过A且平行于a、b的平面可能不存在．
二、填空题
1．AB∥β如图所示：
AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l AC⊥m；AB∥l AB∥β．
2．由面面平行的性质知截面与平面AB1的交线MN是△AA1B的中位线，所以截面是梯形CD1MN，易求其面积为．
3． ②两平行线在同一平面内的射影还可能是两个点，故①错．三点位于平面异侧也满足距离相等，故③错．
4．　如图，由题意BC2＝72＋52－2×7×5cos60°＝39，BC＝．
∵BC∥，∩平面ABC＝MN，
∴MN∥BC．∵MN过重心，∴MN＝．
5．①③ 对于①，面MNP//面AB，故AB//面MNP．对于③，MP//AB，故AB//面MNP，对于②④，过AB找一个平面与平面MNP相交，AB与交线显然不平行，故②④不能推证AB//面MNP．
三、解答题
1．解：当E为PC中点时，．
证明：连接AC，且，由于四边形ABCD为正方形，
∴O为AC的中点，又E为中点，∴OE为△ACP的中位线，
∴，又，∴．
2．证明：分，是异面、共面两种情况讨论．
（1）当，共面时，如图（）
，，连接，．
，且，，平面．
（2）当，异面时，如图（），过点作
交于点．
在上取点，使，连接，由（１）证明可得，又得．平面平面平面．
又面，平面．
3．（1）证明：设直线AN与BE交与点H，连接CH，
∽，∴．
又，则=，∴MN//CH．
又，∴MN//平面CBE．
（2）解：存在，过M作MG⊥AB，垂足为G，则MG//BC， ∴MG//平面CBE，
又MN//平面CBE，，平面MGN//平面CBE．
即G在AB线上，且AG：GB=AM：MC=2： 3
图（）
图（）