8.6.1 直线、平面垂直的判定及其性质 基础练习（含解析）

《直线、平面垂直的判定及其性质》基础练习
一、选择题
1．二面角指的是（ ）
A．两个平面相交所组成的角
B．经过同一条直线的两个平面所组成的图形
C．一条直线出发的两个半平面组成的图形
D．两个平面所夹的不大于90°的角
2．平面外的一条直线与内的两条平行直线垂直，那么（ ）
A．⊥　　B．// 　　C．与相交　　 D．与的位置关系不确定
3．过正方形ABCD的顶点A作PA⊥平面ABCD，若PA=AB，则平面ABP与平面CDP所成的二面角的度数是（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
4．已知直线a、b和平面，下列推论错误的是（ ）
　　A． 　　　　　　　B．
　　C．　　　　D．
5．设--是直二面角，直线，直线，且a不垂直于，b不垂直于，那么（ ）
A．a与b可能垂直，但不能平行
B．a与b可能垂直，也可能平行
C．a与b不可能垂直，但可能平行
D．a与b不可能平行，也不能垂直
6．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（ ）．
A．90° B．60° C．45° D．30°
二、填空题
1．如图，将正方形ABCD沿AC折成直二面角后，∠DAB=__________．
2．设P是60°的二面角－l－内一点，PA⊥，PB⊥，A、B分别为垂足，PA＝2，PB＝4，则AB的长是________．
3．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时， 平面MBD⊥平面PCD．（只要填写一个你认为是正确的条件即可）
4．如图，四棱锥S－ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱SB⊥底面ABCD，并且SB＝，用表示∠ASD，则sin＝________．
5．已知直线⊥平面，直线平面，有四个命题：
①//⊥；②⊥//；
③//⊥；④⊥//．
其中正确的命题是__________．（把所有正确命题的序号都填上）
三、解答题
1．已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心，
求证：PH⊥平面ABC．
2．已知四边形PABC为空间四边形，∠PCA=90°，△ABC是边长为的正三角形，PC=2，D、E分别是PA、AC的中点，BD=，试判断直线AC与平面BDE的位置关系，并且求出二面角P-AC-B的大小．
3．如下图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，△ABC与△A1B1C1都为正三角形且AA1⊥面ABC，F、F1分别是AC，A1C1的中点．
求证：（1）平面AB1F1∥平面C1BF；
（2）平面AB1F1⊥平面ACC1A1．
4．如图所示，直角△ABC所在平面外一点S，且SA=SB=SC，点D为斜边AC的中点．
（1）求证：SD⊥平面ABC；
（2）若AB=BC．求证：BD⊥面SAC．
　　　　　　　　　　　　　　　
参考答案
一、选择题
1．C 由二面角定义可知，应选C．
2．D 很明显与的位置关系不确定
3．B平面ABP与平面CDP所成二面角的大小即为∠DPA．
4．D a与b位置关系不能确定．
5．C 若，如图，在内可作⊥，则⊥，⊥．
　　　　　　　　　　
∴⊥，则⊥，与已知矛盾．
∴ a与b不可能垂直；当a、b均与平行时，a∥b，故选C．
6．C当三棱锥D－ABC体积最大时，平面DAC⊥ABC，取AC的中点O，则△DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°．
二、填空题
1．△BOD为直角三角形且DO=BO=AB．∴，∴BD=AD=AB
2．如图所示，PA与PB确定平面γ，与l交于点E，则BE⊥l，AE⊥l，
∴∠BEA即为二面角的平面角，
∴∠BEA＝60°，从而∠BPA＝120°，
∴AB＝
＝2．
3． DM⊥PC（或BM⊥PC等） 由定理可知，BD⊥PC．∴当DM⊥PC（或BM⊥PC）时，即有PC⊥平面MBD，而PC 平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD．
4．　由已知得SA＝2，SD＝，AD＝1，∴sin＝＝．
5．①③ ①∵⊥平面，//，∴⊥平面⊥，∴ ①正确；
　　　 ②设∩=d，平面，且m∥d时，⊥，故命题②错；
　　　 ③∵//，⊥平面，∴⊥平面．又平面，∴⊥，故③正确；
　　　 ④由②知④不正确．
三、解答题
1．证明：∵H是△ABC的垂心，∴AH⊥BC．①
∵PA⊥PB，PA⊥PC，∴PA⊥平面PBC．
又∵BC平面PBC，PA⊥BC，②
由①②知，BC⊥PH，
同理，AB⊥PH，∴PH⊥平面ABC．
2．解：∵D、E分别是PA、AC的中点，
∴DE∥PC且DE=PC=1．
∵∠PCA=90°，∴AC⊥DE．
∵△ABC是边长为的正三角形，并且E是AC的中点，
∴AC⊥BE，并且BE=3．
∵DE∩BE=E，∴直线AC与平面DEB垂直．
∴∠DEB为二面角P-AC-B的平面角．
在△BDE中，由DE=1，BE=3，BD=得DE2+BE2=BD2，∴∠DEB=90°．
综上所述，直线AC与平面BDE垂直，二面角P-AC-B的大小为90°．
3．证明：（1）在正三棱柱ABC－A1B1C1中，
∵F、F1分别是AC、A1C1的中点，
∴B1F1∥BF，AF1∥C1F．
又∵B1F1∩AF1＝F1，C1F∩BF＝F，
∴平面AB1F1∥平面C1BF．
（2）在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，∴B1F1⊥AA1．
又B1F1⊥A1C1，A1C1∩AA1＝A1，
∴B1F1⊥平面ACC1A1，而B1F1 平面AB1F1，
∴平面AB1F1⊥平面ACC1A1．
4．证明：（1）∵ SA=SC，D为AC的中点，　　 ∴ SD⊥AC．
连接BD．在Rt△ABC中， 则AD=DC=BD．
∴ △ADS≌△BDS．　 ∴ SD⊥BD．
　又AC∩BD=D，　　　 ∴ SD⊥面ABC．
（2）∵ AB=BC，D为AC中点，∴ BD⊥AC．
又由（1）知SD⊥面ABC， ∴ SD⊥BD．
∵ SD∩AC=D，∴ BD⊥平面SAC．