8.6.1 直线、平面垂直的判定及其性质 提高练习（含解析）

《直线、平面垂直的判定及其性质》提高练习
一、选择题
1．下面四个命题：
　　①若直线a∥平面，则内任何直线都与a平行；
　　②若直线a⊥平面，则内任何直线都与a垂直；
　　③若平面∥平面，则内任何直线都与平行；
　　④若平面⊥平面，则内任何直线都与垂直．
其中正确的两个命题是（ ）
　　A．①与② 　　　B．②与③ 　　　C．③与④　　　 D．②与④
2．一个二面角的两个面分别垂直于另一个二面角的两个面，那么这两个二面角（ ）．
　　A．相等 　　　B．互补　　　 C．关系无法确定　　　 D．相等或互补
3．l1和l2是异面直线，则过l1作平面与l2垂直，这样的平面（ ）
A．有且只有一个 B．有且只有一个或有无数个
C．有可能存在，有可能不存在 D．可以作无数个
4．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是（ ）
A．垂直且相交 B．相交但不一定垂直
C．垂直但不相交 D．不垂直也不相交
5．线段AB的长等于它在平面内射影长的2倍，则AB所在直线与平面所成的角为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．120°
6．在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将菱形沿对角线AC折起，使折起后BD＝1，则二面角B－AC－D的余弦值为（　　）
A．　　　B．　　　C．　　　D．
二、填空题
1．如图所示，三棱锥的四个面中，最多有________个直角三角形．
　　　　　　　　　　　　　　　　
2．长方体中，MN在平面内，MN⊥BC于M，则MN与
AB的位置关系是_______．
3．如图所示，在正三棱柱中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，则与侧面所成的角是________．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4．m、n是空间两条不同的直线，、是两个不同的平面，下面四个命题中，真命题的序号是________．
①m⊥，n∥，∥ m⊥n；
②m⊥n，∥，m⊥ n∥；
③m⊥n，∥，m∥ n⊥；
④m⊥，m∥n，∥ n⊥．
5．在正方体ABCD—A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则
①四边形BFD′E一定是平行四边形．
②四边形BFD′E有可能是正方形．
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形．
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
以上结论正确的为__________．（写出所有正确结论的编号）
三、解答题
1． 已知直线PA与平面内过点A的三条直线AB、AC、AD成等角，求证：PA⊥平面．
2． 已知VC是△ABC所在平面的一条斜线，点N是V在平面ABC上的射影，且在△ABC的高CD上（如图）．
（1）证明：∠MDC是二面角M-AB-C的平面角；
（2）当∠MDC=∠CVN时，证明：VC⊥平面AMB．
3．在四棱锥S－ABCD中，已知AB∥CD，SA＝SB，SC＝SD，E、F分别为AB、CD的中点．
（1）求证：平面SEF⊥平面ABCD；
（2）若平面SAB∩平面SCD＝l，求证：AB∥l．
　
4．已知ABCD为矩形，SA⊥平面ABCD，过点A作AE⊥SB于点E，
过点E作EF⊥SC于点F，如图所示．
（1）求证：AF⊥SC；
（2）若平面AEF交SD于点G，求证：AG⊥SD．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
参考答案
一、选择题
1．B ①是错误的，a与内的一簇平行线平行．②③由线面垂直，面面平行的性质可判断出是正确的．④是错误的．　
2．C 可类比“空间中一个角的两条边分别垂直于另一个角的两条边”可知，这两个角关系不确定．
3． C若l1⊥l2则存在一个平面．若l1不垂直于l2则不存在．
4．C取BD中点E，连结AE、CE．∵AB=AD=BC=CD，∴AE⊥BD，CE⊥BD．∴BD⊥平面AEC．又AC面AEC，∴BD⊥AC．
5． C由直角三角形的边角关系，可知直线与平面α所成的角为60°．
6． A在原图中连接AC与BD交于O点，则AC⊥BD，在折起后的图中，
由四边形ABCD为菱形且边长为1，则DO＝OB＝，由于DO⊥AC，
因此∠DOB就是二面角B－AC－D的平面角，由BD＝1得
cos∠DOB＝＝＝，故选A．
二、填空题
1．4 如图所示，PA⊥面ABC．∠ABC=90°，则图中四个三角形都是直角三角形．故填4．
2．MN⊥AB如下图，由长方体的性质知，平面⊥平面ABCD，交线为BC．因为MN在平面内，且MN⊥BC，所以MN⊥平面ABCD．AB平面ABCD，∴ MN⊥AB．
3．如右图．由题取AC中点O，连接BO．则BO⊥平面．故为
与平面所成角．　　又在中，，．　∴ ，　　∴=．
4． ①④①显然正确；②错误，n还可能在内；③错误，n可能与相交但不垂直；④正确．
5． ①③④如图所示：
∵BE＝FD′，ED′＝BF，∴四边形BFD′E为平行四边形．∴①正确．
②不正确（∠BFD′不可能为直角）．③正确（其射影是正方形ABCD）．④正确．当E、F分别是AA′、CC′中点时正确．
三、解答题
1．证明：如图，在AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE=AF=AG，连接PE、PF、PG、EF、FG，设EF、FG的中点分别为H、I．由已知可得△PAE≌△PAF．∴ PE=PF．∵ H是EF中点，∴ PH⊥EF，AH⊥EF．∴ EF⊥平面PAH．∴ EF⊥PA．同理可证FG⊥PA．又EF∩FG=F，∴ PA⊥平面EFG，即PA⊥平面．
2．证明：（1）由已知，CD⊥AB，VN⊥平面ABC，N∈CD，AB平面ABC，∴VN⊥AB．
∴AB⊥平面VNC．又∵V、M、C、D都在平面VNC内，∴DM与VN必相交，且AB⊥DM，AB⊥DC．∴∠MDC为二面角M-AB-C的平面角；
（2）由已知，∠MDC=∠CVN，在△VNC与△DMC中，∠NCV=∠MCD．
又∠VNC=90°，∴∠DMC=∠VNC=90°，∴DM⊥VC，又VC⊥AB，∴VC⊥平面AMB．
3．解：（1）证明：由SA＝SB，E为AB中点得SE⊥AB．
由SC＝SD，F为CD中点得SF⊥DC．又AB∥DC，∴AB⊥SF．
又SF∩SE＝S，∴AB⊥平面SEF．又∵AB 平面ABCD，∴平面SEF⊥平面ABCD．
（2）∵AB∥CD，CD 面SCD，∴AB∥平面SCD．又∵平面SAB∩平面SCD＝l，
根据直线与平面平行的性质定理得AB∥l．
4．证明：（1）∵ SA⊥平面ABCD，BC平面ABCD， ∴ SA⊥BC．又BC⊥AB，
SA∩AB=A，
∴ BC⊥平面SAB，AE平面SAB．∴ BC⊥AE．又AE⊥SB，BC∩SB=B．
∴ 有AE⊥平面SBC，
又SC平面SDC，∴ AE⊥SC．又EF⊥SC，AE∩EF=E，
∴ SC⊥平面AEF，AE平面AEF，∴ AF⊥SC．
（2）∵ SC⊥平面AEF，AG平面AEF，
∴ SC⊥AG，又CD⊥AD，CD⊥SA，AD∩SA=A．
∴ CD⊥平面SAD，AG平面SAD．
∴ CD⊥AG，又SC∩CD=C，∴ AG⊥平面SDC．
又SD平面SDC，∴ AG⊥SD．