第八章 立体几何初步 单元测试（含解析）

立体几何初步——章测试
一、单选题（本大题共8小题）
在空间中，下列命题正确的是
A. 经过三个点确定一个平面 B. 平行于同一直线的两个平面平行
C. 四边形确定一个平面 D. 垂直于同一平面的两条直线平行
已知一圆锥的底面直径与母线长相等，一球体与该圆锥的所有母线和底面都相切，则球与圆锥的表面积之比为
A. B. C. D.
已知直线、与平面、，，，则下列命题中正确的是
A. 若，则必有 B. 若，则必有
C. 若，则必有 D. 若，则必有
如图，在下列四个正方体中，，为正方体的两个顶点，，，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是
A. B.
C. D.
在三棱锥中，平面平面，，，若，则三棱锥体积的最大值为
A. B. C. D.
祖暅是南北朝时代的伟大数学家，世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等．现有以下四个几何体：图是从圆柱中挖去一个圆锥所得的几何体，图、图、图分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为
A. B. C. D.
已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，，是边长为的正三角形，，分别是，的中点，，则球的体积为
A. B. C. D.
如图，在棱长为的正方体中，，，分别是棱，，的中点，是底面内一动点．若直线与平面不存在公共点，则三角形的面积的最小值为
A.
B.
C.
D.
二、多选题（本大题共4小题）
已知四棱台的上下底面均为正方形，其中则下述正确的是
A. 该四棱台的高为
B.
C. 该四棱台的表面积为
D. 该四棱台外接球的表面积为
如图，在正方体中，点在线段上运动，则
A. 直线平面
B. 二面角的大小为
C. 三棱锥的体积为定值
D. 异面直线与所成角的取值范围是
正方体的棱长为，，，分别为，，的中点，则
A. 直线与直线垂直
B. 直线与平面平行
C. 平面截正方体所得的截面面积为
D. 点与点到平面的距离相等
如图，点在棱长为的正方体的对角线上运动，过点作垂直于平面的直线，与正方体表面相交于，两点．设，，则
A. 动点运动形成的轨迹长度为
B. 线段运动形成的图形面积为
C.
D. 当时，
三、填空题（本大题共4小题）
已知球的表面积为，点，，在球的球面上，且，，则球心到平面的距离为 ．
如图，在一个底面边长为，侧棱长为的正四棱锥中，大球内切于该四棱锥，小球与大球及四棱锥的四个侧面相切，则小球的体积为 ．
棱长为的正方体中，，分别是线段，的中点，则直线到平面的距离为 ．
如图，在棱长为的正方体中，点，分别是棱，的中点，是侧面内一点，若平面，则线段长度的取值范围是 ．
四、解答题（本大题共7小题）
如图，在三棱柱中，，，，分别是，，，的中点．
求证：，，，四点共面；
平面平面．
如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点．
求证：；
线段上是否存在点，使平面平面，若不存在请说明理由；若存在给出证明．
在三棱柱中，，平面，，分别是，的中点．
求证：平面；
求证：平面平面．
如图，在正三棱柱中，已知，三棱柱的体积为．
求正三棱柱的表面积；
求异面直线与所成角的大小．
如图，在四棱锥，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，，
设，分别为，的中点，求证：平面；
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
如图，四棱锥的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，为侧棱上的点．
求证：；
若平面，求二面角的大小；
在的条件下，侧棱上是否存在一点，使得平面若存在求的值；若不存在，试说明理由．
题号 答案 学科核心素养 水平 解析
1 直观想象 水平一 解：对，当三点共线时，平面不确定，故A错误； 对，平行于同一直线的两个平面可能相交，故B错误； 对，因为空间四边形不在一个平面内，故C错误；
对，根据垂直于同一平面的两直线平行，故D正确．
故选D．
2 直观想象 水平一 解：设圆锥底面圆半径为，球的半径为，
由题意知，圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，球的截面是该等边三角形的内切圆，
所以，，
，
所以球与圆锥的表面积之比为．
故选B．
3 C． 直观想象 水平一 解：如图所示，设，，满足条件，但是与不平行，因此不正确；
B.假设，，，，，则满足条件，但是与不垂直，因此不正确；
C.若，，根据面面垂直的判定定理可得，故正确；
D.设，若，，虽然，但是可有，因此，不正确．
综上可知：只有C正确．
故选C．
4 直观想象 水平二 解：对于选项B，由于，结合线面平行判定定理可知平面，故B不满足题意；
对于选项C，由于，结合线面平行判定定理可知平面，故C不满足题意；
对于选项D，由于，结合线面平行判定定理可知平面，故D不满足题意；
对于选项A，如图，连接，易知，则根据线面平行判定定理得知面，
如果面，又，所以面面，
而事实上和有交点，矛盾，
所以直线与平面不平行
所以选项A满足题意，
故选A．
5 直观想象 水平二 解：如图：
取中点，连结， 平面平面，平面平面，平面，， 平面， 设点到平面的距离为， ，，，为的中点， ，， 解得， 所以， 设，，则， ，， 关于求导，得， 所以函数在单调递增，在单调递减． 所以当时，． 故选：．
6 直观想象 水平一 解：设截面与底面的距离为，
则中截面内圆半径为，则截面圆环的面积为
中截面圆的半径为，则截面圆的面积为
中截面圆的半径为，则截面圆的面积为
中截面圆的半径为，则截面圆的面积为，
所以中截面的面积相等，
故选D．
7 直观想象 水平二 解：
设，，，
因为，分别是，的中点，所以，，
在中，，
在中，，
整理得，
因为是边长为的正三角形，所以，
又，则，，
由得，
所以，
所以，即，
同理可得，，则、、两两垂直，
则球是以为棱的正方体的外接球，则外接球的直径为，
所以球的体积为．
故选：．
8 逻辑推理 水平二 解：扩展平面，得截面，其中，，分别是所在棱的中点．
因为直线与平面不存在公共点，所以平面．
由中位线定理知又，所以平面．
同理可得平面，又因为，，平面．
所以平面平面，
所以当与在平面内相交，即当点在上时，直线与平面不存在公共点．
设底面的中心为，
因为，所以当点与点重合时，最小，
此时三角形的面积最小，最小值为．
故选C．
9 逻辑推理 水平二 解：连接，，取，的中点分别为，，连接，如图所示：
由题意，因为四棱台的上下底面均为正方形，
且，
可知四棱台是一正四棱锥被一平行于底面的平面所截后的部分，
则有平面，且平面平面，所以为四棱台的高．
又，，
所以，，
由四边形是等腰梯形，
所以，故A正确；
由于，且，易知，
故直线和直线的夹角为，故错误；
在等腰梯形中，其高为，
则，
故四棱台的表面积为，故C错误；
可知四棱台的外接球球心在直线上，记为点，
令，，
则，解得，
即四棱台的外接球球心为，其半径为，
故该四棱台外接球的表面积为，故D正确．
故选AD．
10 直观想象 水平二 解：如图，
在中，连接，，，
、平面平面，
平面
，同理，，
，平面，
平面，故A正确；
在中，由正方体可知平面不垂直平面，故B错误；
在中，，平面，平面，平面，
点在线段上运动，
到平面的距离为定值，
又的面积是定值，三棱锥的体积为定值，故C正确；
在中，，由于为等边三角形，
当点与线段的两端点重合时，
异面直线与所成角取得最小值为，
当点为线段中点时，异面直线与所成角取得最大值为，
故异面直线与所成角的取值范围是，故D正确，
故选：．
11 直观想象 水平一 解： ，显然与不垂直，故A错误；
取的中点，连接，，则，
同理可得
平面平面，平面， 直线与平面平行 ，故B正确；
平面截正方体所得的截面为，
截面面积为，
故C正确；
选项D，因为为中点，所以，到平面的距离相等，而，到平面的距离不相等，所以点与点到平面的距离不相等，故 D错误．
故选BC．
12 逻辑推理 水平二 解：线段运动形成的图形如图所示：
动点运动形成的轨迹长度为，故A正确；
线段运动形成的图形为平行四边行，其面积为，故B正确；
当，则，故C错误；
当时，有，则，故D正确；
故选：．
13 直观想象 水平一 解：
设球的半径为，的外接圆半径为，球心到平面的距离为． 由，得；由，得，所以． 故答案为：．
14 直观想象 水平二 解：设为正方形的中心，的中点为，连接，，，
则，
，，
如图，在截面中，设为球与平面的切点，
则在上，且，设球的半径为，则，
因为，所以，则，
，所以，
设球与球相切于点，则，设球的半径为，
同理可得，所以，
故小球的体积，
故答案为．
15 直观想象 水平二 解：连结， 是的中位线， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，
平面，平面， 平面， 上任一点到平面的距离就是到平面的距离，
连接底面正方形对角线、交于，连结、，， ，为中点， ，
，，， ， 是直角三角形，， ，，平面， 平面，即是点到平面的距离，， 直线到平面的距离为， 故答案为．
16 直观想象 水平二 解：如图所示：
分别取棱、的中点、，连接，连接，
、、、为所在棱的中点，
，，
，
又平面，平面，
平面；
，，
四边形为平行四边形，
，
又平面，平面，
平面，
又，、平面，
平面平面，
是侧面内一点，且平面，
则必在线段上，
在中，
，
同理，在中，求得，
为等腰三角形，
当在中点时，
此时最短，位于、处时最长，
，
，
所以线段长度的取值范围是
故答案为
17 答案见解析 逻辑推理 水平一 证明：、分别为，中点，
，
三棱柱中，，
，
、、、四点共面； ，分别为，的中点，
．
平面，平面，
平面．
且，四边形是平行四边形，
．
平面，平面，
平面．
，，平面，
平面平面．
18 答案见解析 逻辑推理 水平一 证明：在四棱锥中，平面，平面，
平面平面，
，
取中点，连接，，
，分别为，的中点，
，
平面，平面，
平面，
，
四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面，
，，平面，
所以平面平面，
所以存在为的中点，使得平面．
19 答案见解析 逻辑推理 水平一 证明：，分别是，的中点．
所以，因为平面，平面，
所以平面；
因为平面，平面，
所以，
又因为，，平面，平面，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面．
20 答案见解析 直观想象 水平一 解：因为三棱柱的体积为，．
即．
从而，因此．
该三棱柱的表面积为．
由可知，
因为所以为异面直线与所成的角，
在中，，所以．
所以异面直线与所成的角为．
21 答案见解析 直观想象 水平二 证明：如图：
证明：连接，由题意得，，
又由，得，
平面，平面，
平面；
证明：取棱中点，连接，
依题意得，
又平面平面，平面平面，平面，
平面，
又平面，，
又，，
平面，平面，
平面；
解：连接，由中平面，
知是直线与平面所成角，
是等边三角形，，且为中点，
，
又平面，，
，
在中，．
直线与平面所成角的正弦值为．
22 答案见解析 逻辑推理 水平二 证明：Ⅰ连结，交于点，故为和的中点，
由题意得，故，
在正方形中，，
由，，
平面，
平面，．
解：Ⅱ设正方形边长为，由题意知平面，
则，又，
，
连结，由知，又平面，
，
是二面角的平面角，
由平面，知，
，
二面角的大小为．
Ⅲ在棱上存在一点，使平面，
由Ⅱ得，故可在上取一点，使，
过作的平行线与的交点即为，
连结，在中，，
又由于，，，平面，
，，平面，
平面平面，
平面，
平面，
由已知可得，为正三角形，为中点，为中点，
：：，：：．