9.2.3用样本的数字特征估计总体的数字特征 同步练习（含解析）

用样本的数字特征估计总体的数字特征
一、选择题
1．某学习小组在一次数学测验中，得100分的有1人，95分的有1人，90分的有2人，85分的有4人，80分和75分的各有1人，则该小组成绩的平均数、众数、中位数分别是(　　)
A．85,85,85 B．87,85,86
C．87,85,85 D．87,85,90
2．某台机床加工的1 000只产品中次品数的频率分布如下表：
次品数 0 1 2 3 4
频率 0.5 0.2 0.05 0.2 0.05
则次品数的众数、平均数依次为(　　)
A．0,1.1 B．0,1 C．4,1 D．0.5,2
3．期中考试以后，班长算出了全班40个人数学成绩的平均分为M，如果把M当成一个同学的分数，与原来的40个分数一起，算出这41个分数的平均值为N，那么M∶N的值为(　　)
A. B．1 C. D．2
4．如图的茎叶图记录了甲、乙两组中四名同学的植树棵数，乙组中有一个数据模糊不清，无法确认，已知甲、乙两组同学的植树棵数的平均数相同，则图中x的值为(　　)
A．3 B．4 C．13 D．14
5．一组数据的平均数是2.8，方差是3.6，若将这组数据中的每一个数据都加上60，得到一组新数据，则所得新数据的平均数和方差分别是(　　)
A．57.2,3.6 B．57.2,56.4
C．62.8,63.6 D．62.8,3.6
6．甲、乙两名同学在5次体育测试中的成绩统计的茎叶图如图所示．若甲、乙两人的平均成绩分别是甲，乙，则下列结论正确的是(　　)
A.甲＜乙；乙比甲成绩稳定
B.甲＞乙；甲比乙成绩稳定
C.甲＞乙；乙比甲成绩稳定
D.甲＜乙；甲比乙成绩稳定
7．如图，样本A和B分别取自两个不同的总体，它们的样本平均数分别为A和B，样本标准差分别为sA和sB，则(　　)
A.A＞B，sA＞sB B.A＜B，sA＞sB
C.A＞B，sA＜sB D.A＜B，sA＜sB
二、填空题
8．已知样本9,10,11，x，y的平均数是10，方差是4，则xy＝________.
9．甲、乙两人在10天中每天加工零件的个数用茎叶图表示如图，中间一列的数字表示零件个数的十位数，两边的数字表示零件个数的个位数，则这10天中甲、乙两人日加工零件的平均数分别为________和________．
10．若40个数据的平方和是56，平均数是，则这组数据的方差是________，标准差是________．
三、解答题
11．某制造商3月生产了一批乒乓球，随机抽样100个进行检查，测得每个球的直径(单位：mm)，将数据分组如下表：
分组 频数 频率
[39.95,39.97) 10
[39.97,39.99) 20
[39.99,40.01) 50
[40.01,40.03] 20
合计 100
(1)请在上表中补充完整频率分布表(结果保留两位小数)，并在上图中画出频率分布直方图；
(2)统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值(例如区间[39.99,40.01)的中点值是40.00)作为代表．据此估计这批乒乓球直径的平均值(结果保留两位小数)．
12．甲、乙两名战士在相同条件下各射靶10次，每次命中的环数分别如下：
甲：8,6,7,8,6,5,9,10,4,7；
乙：6,7,7,8,6,7,8,7,9,5.
(1)分别计算以上两组数据的平均数；
(2)分别求出两组数据的方差；
(3)根据计算结果，估计一下两名战士的射击情况．
13．一次科技知识竞赛，两组学生的成绩如下表(满分为100分).
分数(分) 50 60 70 80 90 100
人数(人) 甲组 2 5 10 13 14 6
乙组 4 4 16 2 12 12
已经计算得知两个组成绩的平均数都是80分，请根据你所学过的统计知识，进一步判断这两个组在这次竞赛中的成绩谁优谁次，说明理由．
参考答案：
1.答案　C
解析　从小到大列出所有数学成绩：75,80,85,85,85,85,90,90,95,100，观察知众数和中位数均为85，计算得平均数为87.
2.答案　A
解析　数据xi出现的频率为pi(i＝1,2，…，n)，则x1，x2，…，xn的平均数为x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.因此次品数的平均数为0×0.5＋1×0.2＋2×0.05＋3×0.2＋4×0.05＝1.1.
由频率知，次品数的众数为0.
3.答案　B
解析　∵N＝＝M，∴M∶N＝1.
4.答案　A
解析　由茎叶图知甲＝(9＋9＋11＋11)＝10，乙＝(8＋9＋10＋10＋x)，由甲＝乙可得x＝3.
5.答案　D
解析　每一个数据都加上60，所得新数据的平均数增加60，而方差保持不变．
6.答案　A
解析　甲同学的成绩为78,77,72,86,92，乙同学的成绩为78,82,88,91,95，
所以甲＝×(78＋77＋72＋86＋92)＝81，
乙＝×(78＋82＋88＋91＋95)＝86.8.
所以甲＜乙，从叶在茎上的分布情况来看，乙同学的成绩更集中于平均值附近，这说明乙比甲成绩稳定．
7.答案　B
解析　由题图知，A组的6个数分别为2.5,10,5,7.5，2.5，10；B组的6个数分别为15,10,12.5,10,12.5,10，
所以A＝＝，
B＝＝.
显然A＜B.
又由图形可知，B组数据的分布比A组的均匀，变化幅度不大，故B组数据比较稳定，方差较小，从而标准差较小，所以sA＞sB.
8.答案　91
解析　由题意得
即
解得或所以xy＝91.
9.答案　24　23
解析　由茎叶图可知，甲的平均数为
＝24，
乙的平均数为
＝23.
10.答案　0.9　
解析　设这40个数据为xi(i＝1,2，…，40)，平均数为.
则s2＝×[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(x40－)2]
＝[x＋x＋…＋x＋402－2(x1＋x2＋…＋x40)]
＝
＝×
＝0.9.
∴s＝＝ ＝.
11.解　(1)频率分布表如下：
分组 频数 频率
[39.95,39.97) 10 0.10 5
[39.97,39.99) 20 0.20 10
[39.99,40.01) 50 0.50 25
[40.01,40.03] 20 0.20 10
合计 100 1
注：频率分布表不要最后一列，这里列出，只是为画频率分布直方图方便．
频率分布直方图如下：
(2)整体数据的平均值约为39.96×0.10＋39.98×0.20＋40.00×0.50＋40.02×0.20≈40.00(mm)．
12.解　(1)由题意，知甲＝×(8＋6＋7＋8＋6＋5＋9＋10＋4＋7)＝7，
乙＝×(6＋7＋7＋8＋6＋7＋8＋7＋9＋5)＝7.
(2)由方差公式
s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋…＋(xn－2)]，
得s＝3，s＝1.2.
(3)甲＝乙，说明甲、乙两名战士射击的平均水平相当．
s＞s，说明甲战士的射击情况波动大．
因此乙战士比甲战士的射击情况稳定．
13.解　(1)甲组成绩的众数为90分，乙组成绩的众数为70分，从成绩的众数比较看，甲组的成绩好一些．
(2)由表中数据可知，两组均有学生50人，所以s＝[2×(50－80)2＋5×(60－80)2＋10×(70－80)2＋13×(80－80)2＋14×(90－80)2＋6×(100－80)2]＝172(分2)．
s＝[4×(50－80)2＋4×(60－80)2＋16×(70－80)2＋2×(80－80)2＋12×(90－80)2＋12×(100－80)2]＝256(分2)．
∵s＜s，∴甲组的成绩比乙组的成绩好．
(3)甲、乙两组成绩的中位数、平均数都是80分，其中，甲组成绩不低于80分的有33人，乙组成绩不低于80分的有26人，从这一角度来看甲组的成绩较好．
(4)从成绩统计表来看，甲组的成绩不低于90分的有20人，乙组的成绩不低于90分的有24人，所以乙组成绩集中在高分段的人数多．同时乙组得满分的人数比甲组得满分的人数多6.从这一些角度来看，乙组的成绩较好．