北师大版数学八年级下册 6.1 平行四边形的性质 同步练习（含答案）

6.1平行四边形的性质
易错诊断 (打“√”或“×”)
1．平行四边形一定是轴对称图形．(　　)
2．平行四边形一定是中心对称图形．(　　)
3．平行四边形的对角相等，邻角互补．(　　)
4．平行四边形的两组对边分别平行且相等．(　　)
【知识分类练】
知识点1　平行四边形的定义
1．平行四边形的周长为48，相邻两边长的比为3∶5，则这个平行四边形的较短的边长为( )
A．18 B．30 C．15 D．9
2．(2021·武汉期中)如图，在平行四边形ABCD中，AC＝4 cm.若△ACD的周长是12 cm，则平行四边形ABCD的周长是( )
A．16 cm B．18 cm C．20 cm D．24 cm
3．(2021·株洲中考)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝( )
A．38° B．48° C．58° D．66°
4．(2021·北京质检)如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝5，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是____．
5．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，AB＝8，EF＝1，求BC长．
知识点2　平行四边形边、角的性质
6．在 ABCD中，如果∠A＝65°，那么∠C的度数是( )
A．115° B．65° C．25° D．35°
7．(2021·烟台期末)已知在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的度数为( )
A．125° B．135° C．145° D．155°
8.如图，AC是 ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的度数是____．
9．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE，DF.求证：△ABE≌△CDF.
综合练
10．如图，在 ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠D＝65°，则∠BCE等于( )
A．25° B．30° C．35° D．55°
11．(2021·广州期末)若平行四边形其中两个内角的度数之比为1∶4，则其中较小的内角是( )
A．30° B．36° C．45° D．60°
12．(2021·荆门中考)如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝( )
A．55° B．65° C．75° D．85°
13．(2021·杭州质检)在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别是A(a，b)，B(－3，7)，C(－a，－b)，则点D的坐标是____．
14．如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为____．
15．如图，在 ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝40°，则∠BCE的度数为____．
16．(2021·天津质检)如图，在 ABCD中，E，F是对角线上的点，且BE＝DF，求证：AF＝CE.
17．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F.
(1)求证：CD＝BE；
(2)若点F为边DC的中点，DG⊥AE于点G，且DG＝1，AB＝4，求AE的长．
18．如图，点E是 ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.
(1)若AD的长为2，求CF的长．
(2)若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．
参考答案
易错诊断 (打“√”或“×”)
1．平行四边形一定是轴对称图形．(　×　)
2．平行四边形一定是中心对称图形．(　√　)
3．平行四边形的对角相等，邻角互补．(　√　)
4．平行四边形的两组对边分别平行且相等．(　√　)
【知识分类练】
知识点1　平行四边形的定义
1．平行四边形的周长为48，相邻两边长的比为3∶5，则这个平行四边形的较短的边长为(D)
A．18 B．30 C．15 D．9
【解析】如图，∵平行四边形的周长为48，∴AB＋BC＝48÷2＝24，∵BC∶AB＝5∶3，∴AB＝9.
2．(2021·武汉期中)如图，在平行四边形ABCD中，AC＝4 cm.若△ACD的周长是12 cm，则平行四边形ABCD的周长是(A)
A．16 cm B．18 cm C．20 cm D．24 cm
【解析】∵AC＝4 cm，△ACD的周长为12 cm，
∴AD＋DC＝12－4＝8(cm).
又∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB＝CD，AD＝BC，
∴平行四边形ABCD的周长为2(AD＋DC)＝16 cm.
3．(2021·株洲中考)如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E在线段BC的延长线上，若∠DCE＝132°，则∠A＝(B)
A．38° B．48° C．58° D．66°
【解析】∵∠DCE＝132°，
∴∠DCB＝180°－∠DCE＝180°－132°＝48°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A＝∠DCB＝48°.
4．(2021·北京质检)如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC，AD＝5，BE＝2，则平行四边形ABCD的周长是__16__．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠ADE＝∠DEC，
∵DE平分∠ADC，
∴∠ADE＝∠CDE，
∴∠DEC＝∠CDE，
∴CD＝CE＝BC－BE＝AD－BE＝5－2＝3，
∴平行四边形ABCD的周长是2AD＋2DC＝10＋6＝16.
5．如图，在平行四边形ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分
∠BCD，交AD于点E，AB＝8，EF＝1，求BC长．
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AD∥BC，∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠ABF＝∠AFB，∴AF＝AB＝8，
同理DE＝DC＝8，∵EF＝1，∴AE＝AF－EF＝8－1＝7，
∴AD＝AE＋DE＝7＋8＝15，∴BC＝AD＝15.
知识点2　平行四边形边、角的性质
6．在 ABCD中，如果∠A＝65°，那么∠C的度数是(B)
A．115° B．65° C．25° D．35°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠C＝∠A＝65°.
7．(2021·烟台期末)已知在平行四边形ABCD中，∠A＋∠C＝110°，则∠B的度数为(A)
A．125° B．135° C．145° D．155°
【解析】∵四边形ABCD为平行四边形，∠A＋∠C＝110°，
∴∠A＝∠C＝55°，AD∥BC，
∴∠A＋∠B＝180°，
∴∠B＝180°－55°＝125°.
8.如图，AC是 ABCD的对角线，点E在AC上，AD＝AE＝BE，∠D＝102°，则∠BAC的度数是__26°__．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC＝∠D＝102°，AD＝BC，
∵AD＝AE＝BE，
∴BC＝AE＝BE，
∴∠EAB＝∠EBA，∠BEC＝∠ECB，
∵∠BEC＝∠EAB＋∠EBA＝2∠EAB，
∴∠ACB＝2∠CAB，
∴∠CAB＋∠ACB＝3∠CAB＝180°－∠ABC＝180°－102°＝78°，
∴∠BAC＝26°.
9．如图，在 ABCD中，点E在边AD上，以C为圆心，AE长为半径画弧，交边BC于点F，连接BE，DF.求证：△ABE≌△CDF.
【证明】由题意可得：AE＝FC，
在平行四边形ABCD中，AB＝DC，∠A＝∠C
在△ABE和△CDF中，
所以△ABE≌△CDF(SAS).
综合练
10．如图，在 ABCD中，CE⊥AB，E为垂足，如果∠D＝65°，则∠BCE
等于(A)
A．25° B．30° C．35° D．55°
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠B＝∠D＝65°，
∵CE⊥AB，
∴∠CEB＝90°，
∴∠BCE＝90°－65°＝25°.
11．(2021·广州期末)若平行四边形其中两个内角的度数之比为1∶4，则其中较小的内角是(B)
A．30° B．36° C．45° D．60°
【解析】设平行四边形的一个内角为x°，则另一个内角为(4x)°，根据平行四边形对边平行，同旁内角互补，得x°＋(4x)°＝180°，解得x＝36.
12．(2021·荆门中考)如图，将一副三角板在平行四边形ABCD中作如下摆放，设∠1＝30°，那么∠2＝(C)
A．55° B．65° C．75° D．85°
【解析】延长EH交AB于点N，
∵△EFH是等腰直角三角形，
∴∠FHE＝45°，
∴∠NHB＝∠FHE＝45°，
∵∠1＝30°，
∴∠HNB＝180°－∠1－∠NHB＝105°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2＋∠HNB＝180°，
∴∠2＝75°.
13．(2021·杭州质检)在平面直角坐标系中，已知平行四边形ABCD的三个顶点坐标分别是A(a，b)，B(－3，7)，C(－a，－b)，则点D的坐标是__(3，－7)__．
【解析】∵A(a，b)，C(－a，－b)，
∴点A和点C关于原点对称，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴点D和点B关于原点对称，
∵B(－3，7)，
∴点D的坐标是(3，－7).
14．如图，在 ABCD中，E，F是对角线AC上两点，AE＝EF＝CD，∠ADF＝90°，∠BCD＝63°，则∠ADE的大小为__21°__．
【解析】设∠ADE＝x，∵AE＝EF，∠ADF＝90°，∴DE＝AF＝AE＝EF，
∠DAE＝∠ADE＝x，
∵AE＝EF＝CD，∴DE＝CD，
∴∠DCE＝∠DEC＝2x，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠DAE＝∠BCA＝x，
∴∠DCE＝∠BCD－∠BCA＝63°－x，
∴2x＝63°－x，解得：x＝21°，
即∠ADE＝21°.
15．如图，在 ABCD中，过点C作CE⊥AB，垂足为E，若∠EAD＝40°，则∠BCE的度数为__50°__．
【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴∠B＝∠EAD＝40°，
∵CE⊥AB，
∴∠BCE＝90°－∠B＝50°.
16．(2021·天津质检)如图，在 ABCD中，E，F是对角线上的点，且BE＝DF，求证：AF＝CE.
【证明】在 ABCD中，AD∥CB，AD＝CB，
∴∠ADF＝∠CBE，
∵BE＝DF，
∴△ADF≌△CBE(SAS)，
∴AF＝CE.
17．如图，在 ABCD中，∠BAD的平分线与BC的延长线交于点E，与DC交于点F.
(1)求证：CD＝BE；
(2)若点F为边DC的中点，DG⊥AE于点G，且DG＝1，AB＝4，求AE的长．
【解析】(1)∵AE为∠BAD的平分线，
∴∠DAE＝∠BAE，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，CD＝AB，
∴∠DAE＝∠E，
∴∠BAE＝∠E，
∴AB＝BE，
∴CD＝BE.
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠BAF＝∠DFA，
∴∠DAF＝∠DFA，
∴DA＝DF，
∵点F为边DC的中点，AB＝4，
∴DF＝CF＝DA＝2，
∵DG⊥AE，DG＝1，
∴AG＝GF，AG＝，
∴AF＝2AG＝2 ，
∵AD∥BC，
∴∠ADF＝∠ECF，
在△ADF和△ECF中，
∴△ADF≌△ECF(AAS)，
∴AF＝EF，
∴AE＝2AF＝4 .
18．如图，点E是 ABCD的边CD的中点，连接AE并延长，交BC的延长线于点F.
(1)若AD的长为2，求CF的长．
(2)若∠BAF＝90°，试添加一个条件，并写出∠F的度数．
【解析】(1)∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥CF，
∴∠DAE＝∠CFE，∠ADE＝∠FCE，
∵点E是边CD的中点，
∴DE＝CE，
在△ADE和△FCE中，
∴△ADE≌△FCE(AAS)，
∴CF＝AD＝2；
(2)∵∠BAF＝90°，
添加一个条件：当∠B＝60°时，
∠F＝90°－60°＝30°(答案不唯一).