高二年级第二学期文化素养第一次绿色评价
数 学 试 题
时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）
1．如果函数 y x f Δx 2 f 2在 x 2 处的导数为 1，那么 lim （ ）
Δx 0 Δx
1 1
A．1 B 1． 2 C． D．3 4
2．已知函数 y f (x)的图象如右图，则其导函数 y f x 的图象为（ ）
A． B．
C． D．
1
3．已知 f (x) f (2024) ln x x2 x，则 f (2024) （ ）
2
A．0 B． 2023 C． 2024 D．2023
4．已知函数 f x ln x ax 2在区间 (1, 2)上不单调，则实数 a的取值范围为（ ）
1 1
A． ,1 2
B． ,1
2
1 1 1 2
C． ,3 2
D． ,2 3
5．李芳有 4件不同颜色的衬衣,3件不同花样的裙子,另有两套不同样式的连衣裙.“五一”节需选择一套服装
参加歌舞演出,则不同的选择方式有（ ）
A．24种 B．10种 C．9种 D．14种
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6．已知 f1 x sin x cos x , fn 1 x 是 fn x 的导函数，即 f2 x f 1 x , f3 x f 2 x ，…， f n 1(x) fn (x) ，
n N ，则 f2023(x) （ ）
A． sin x cos x B． sin x cos x
C． sin x cos x D． sin x cos x
7．已知函数 y xf x 的图象如图所示（其中 f x 是函数 f x 的导函数），则 y f x 的图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
8．设函数 f x 在 R上存在导数 f x ， g(x) f (x) sin x是偶函数，在 0, 上 f x cosx .若
f π t f t cos t sin t，则实数 t的取值范围为（ ）
2
, π π A． B． ,
4 4
π π π
C． , D． ,
4 2 2
二、多选题（本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．每小题全部选对得 6 分，部分选对得 3 分，有错
选或不选得 0 分）
9．下列求导正确的是（ ）
A． ln10 1 1
B． 2 1
10 x 2x x x 2
C． xex x 1 ex D． cos3x sin 3x
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10．给出定义：若函数 f x 在 D上可导，即 f x 存在，且导函数 f x 在 D上也可导，则称 f x 在 D
上存在二阶导函数，记 f (x)=(f (x)) ，若 f (x) 0在 D上恒成立，则称 f x 在 D上为凸函数.以下四个
函数在 0,
上是凸函数的是（ ）
2
A． f x sin x cos x B． f x lnx 2x
C f x x3． 2x 1 D． f x xex
x211 x 1．已知函数 f x x ，则下列结论正确的是（ ）e
A．函数 f x 存在三个不同的零点
B．函数 f x 既存在极大值又存在极小值
C．若 x t , 时， f x 5 ，则 tmax 2 的最小值为 2e
5
D．若方程 f x k有两个实根，则 k e,0
e2
三、填空题（本大题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）
12．若函数 f x ax2 x lnx存在增区间，则实数 a的取值范围为 .
13．已知直线 l是曲线 y ex 1与 y ln x 1的公共切线，则 l的方程为 .
14 3．设 a、b为实数，函数 f x x ax2 bx a2在 x 1处取得极值10，则 f 1 .
四、解答题（本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15（本小题 13分）
已知函数 f x x3 x2 x 2
(1)求 f x 的单调增区间；
1
(2)方程 f x m在 x , 2 有解，求实数 m的范围. 2
16（本小题 15分）
1 2
设函数 f x ax a 1 x ln x .
2
(1)当 a 0时，讨论函数 f x 的单调性；
1
(2)当 a 2时，证明：当 x 时， f (x) 2 .
2
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17（本小题 15分）
已知函数 f x a ln x 在点 1, f 1 处的切线与 x轴平行．
x
(1)求实数 a的值及 f x 的极值；
f x f x k
(2) 2 1 2若对任意的 x1 x2 e ，都有 ，求实数 k的取值范围．x1 x2 x1 x2
18（本小题 17分）
已知函数 f (x) ln 2 x ax ．
(1)若 f (x)在 (0, )上单调递减，求 a的取值范围；
(2)若 f (x)的最小值为 3，求实数 a的值．
19（本小题 17分）
用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲
程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若 f x 是 f x 的导函数， f x 是 f x 的导函数，则
f (x)
曲线 y f x 在点 x, f x K 处的曲率 3 2 ．1 f (x) 2
(1)求曲线 f x lnx x在 1,1 处的曲率K1的平方；
(2)求余弦曲线 h x cosx(x R)曲率K2的最大值．
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参考答案：
1．A
【详解】因为函数 y x f Δx 2 f 2 在 x 2处的导数为 1，根据导数的定义可知 lim 1，
Δx 0 Δx 2 2
故选：A.
2．A【详解】由原函数 f x '的图象可知， f x 在区间 , 1 上递减， f x 0；在区间
1, 上递增， f ' x 0 .故 A选项符合.故选：A
'
3 f (2024)．C【详解】求导得： f ' (x) x 1，
x
'
f ' (2024) f (2024)所以 2024 1 ，
2024
2023 f '即 (2024) 2023，解得： f ' (2024) 2024 .
2024
故选：C
1 1 ax
4．B 【详解】由 f (x) a .
x x
①当 a 0时，函数 f (x)单调递增，不合题意；
②当 a 0时，函数 f (x)
1
的极值点为 x ，
a
若函数 f (x)
1 1
在区间 (1, 2)不单调，必有1 2，解得 a 1；
a 2
1
综上所述：实数 a的取值范围为 ,1 .
2
故选：B.
5．D【详解】分两类：
第一类：选衬衣加裙子，共有4 3 12种选法；
第二类：选连衣裙，共有 2种选法，
根据分类加法计数原理共有14种选法.
故选：D.
6．A
【详解】
f1(x) sin x cos x，
答案第 1页，共 10页
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则 f2 (x) cos x sin x，
f3 (x) sin x cos x ，
f4 (x) cos x sin x ，
f5(x) sin x cos x，
故 fn (x)是以 4为周期的函数，
f2023 (x) f3 (x) sin x cos x
故选：A
7．C
【详解】由 y xf x 的图象可知当 0 x 1时 xf x 0，则 f x 0，
当 x 1时 xf x 0，则 f (x) > 0，
当 1 x 0时 xf x 0，则 f x 0，
当 x 1时 xf x 0，则 f (x) > 0，
所以 f x 在 , 1 上单调递增，在 1,0 上单调递减，在 0,1 上单调递减，在 1, 上
单调递增，
故符合题意的只有 C.
故选：C.
8．A【详解】在 0, 上有 f x cos x， g x f x cos x 0，
故 g x 在 0, 上单调递增，根据偶函数的对称性可知， g x 在 ,0 上单调递减，
π
由 f t
f t cost sint 得
2
f t sin t f π t cost f
π t π
2 2
sin t ，
2
即 g t g π t
π
， t t ，
2 2
π 2
即 t 2
π
t
，解得 t .
2 4
故选：A.
答案第 2页，共 10页
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9．BC
【详解】 ln10 0，
x2 1 2x
1
，
x x 2
xex ex xex x 1 ex， cos3x 3sin 3x .
故选：BC.
10．AB
【详解】解：对于 A： f (x) =cosx-sinx， f (x)=-sinx-cosx，∵x∈ (0, )，∴ f (x)<0， f (x)
2
在 (0, )上是凸函数，故 A正确；
2
1 1
对于 B： f (x) = -2， f (x)= <0，故 f (x)在 (0, )上是凸函数，故 B正确；
x x2 2
对于 C： f (x) =3x2+2， f (x)=6x>0，故 f (x)在 (0, )上不是凸函数，故 C错误；
2
对于 D： f (x) =（x+1）ex， f (x)
=（x+2）ex>0，故 f (x)在 (0, )上不是凸函数，故 D错误.
2
故选：AB.
11．BD
2
【详解】 f x x 2 x 1定义域为R ， f x x x 2 ，
ex ex
当 x , 1 2, 时， f x 0；当 x 1,2 时， f x 0；
f x 在 , 1 ， 2, 上单调递减，在 1,2 上单调递增；
5
对于 A， f 1 e 0， f 2 2 0， f 2 e
2 0，
e
f x 在区间 2, 1 和 1,2 内各存在一个零点；
当 x 2时， x2 x 1 0， ex 0， f x 0恒成立；
f x 有且仅有两个不同的零点，A错误；
对于 B，由 f x 单调性可知： f x 的极小值为 f 1 e 5，极大值为 f 2
e2
，B正确；
对于 C， f 2 5 5 2 ， 作出 f x 图象如下图所示，可知方程 f x 存在另一个解 x ，e e2 0
答案第 3页，共 10页
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5
若当 x t, 时， f x max e2 ，则 t x0 , 2 ，C错误；
对于 D，方程 f x k有两个实根等价于 f x 与 y k有两个不同交点，
作出 f x 图象如下图所示，
5
结合图象可知： k e,0
e2
，D正确.
故选：BD.
1
12． ,
8
【详解】 f x ax2 x lnx，定义域为 0, ， f x 2ax 1 1 ，
x
f x 0 2a 1 1由题意可知，存在 x 0使得 ( ) > ，即 .x2 x
1 1 1 1 2 1 1
当 x 0时，
x2
，
x x 2 4 4
1 1
所以， 2a
，因此，实数 a的取值范围是 , .4 8
1
故答案为： ,
.
8
13． y ex 1或 y x
【详解】设 l与曲线 y ex 1相切于点 P a, ea 1 ，与曲线 y lnx 1相切于点Q(b, lnb 1），
ea 1 lnb e
a 2
则 ，整理得 a 1 ea 1 0，解得 a 1或 a 0，
b b a
当 a 1时， l的方程为 y ex 1；当 a 0时， l的方程为 y x .
故答案为： y ex 1或 y x .
答案第 4页，共 10页
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14．30
3 2 2
【详解】因为 f x x ax bx a ，则 f x 3x2 2ax b，
f x x3 2因为函数 ax bx a2在 x 1处取得极值10，
f 1 3 2a b 0 a 3 a 4
所以，
f 1 1
，解得 或
a b a2 10 b 3 b 11
，
当 a 3，b 3 2时，则 f x 3x2 6x 3 3 x 1 0，且 f x 不恒为零，
此时，函数 f x 在 , 上单调递增，函数 f x 无极值，不合乎题意；
a 4 b 11 f x x3 4x2 11x 16 f x 3x2当 ， 时，则 ，、 8x 11 x 1 3x 11 ，
由 f x 0可得 x 1 11或 x ，列表如下：
3
x 11 11 11 ，
,1 1,
3
1
3 3
f x 0 0
f x 增 极大值 减 极小值 增
所以，函数 f x 在 x 1处取得极小值，且极小值为 f 1 1 4 11 16 10，合乎题意，
所以， f 1 1 4 11 16 30 .
故答案为：30 .
15 3 2．【详解】（1） f x x x x 2的定义域为 R，
f x 3x2 2x 1 x 1 3x 1 ，
x 当 ,
1 1 1, 时， f (x 0 x
) > ； ,1
时， f x 0；
3 3
故 f x 1 单调增区间为 , ， 1, ；
3
1 1
（2）由（1）知，函数 f x 在区间 , ， 1,2 上单调递增，
2 3
1
在区间 ,1 上单调递减，
3
1 17 1 59
∵ f ， f ， f 1 1， f 2 4，
2 8 3 27
答案第 5页，共 10页
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f 1 ∴ f 1 f
1
，
f 2 ，
2 3
故函数 f x 1 在区间 , 2 上的最大值为 4，最小值为 1， 2
∴ f x 1,4 ，
∴m 1,4 .
16．由题知，函数 f x 1 ax2 a 1 x ln x的定义域为 (0, )，
2
x 1 ax 1
所以求导得 f x ax a 1 1 ，
x x
若 0 a 1，
由 f (x) 0
1
得0 x 1或 x ，
a
由 f (x) 0
1
得1 x ，
a
1 1
所以函数 f (x)在(0,1)，和 ( , ) (1, )a 上单调递增，在 上单调递减，a
若 a 1，恒有 f (x) 0，当且仅当 x 1时取等号，因此函数 f (x)在 (0, )上单调递增，
若 a 1，
1
由 f (x) 0得0 x 或 x 1，
a
1
由 f (x) 0得 x 1，
a
所以函数 f (x)在 (0,
1)， (1, )
1
上单调递增，在 ( ,1)上单调递减，
a a
1 1
所以当 0 a 1时，函数 f (x)在(0,1)， ( , )上单调递增，在 (1, )a 上单调递减；a
当 a 1时，函数 f (x)在 (0, )上单调递增；
f (x) (0, 1) (1, ) (1当 a 1时，函数 在 ， 上单调递增，在 ,1)上单调递减.
a a
17．(1)a 1，极小值为 1，无极大值
(2（) ，2]
a ln x
【分析】（1）由函数 f (x) 在点 1, f 1 处的切线与 x轴平行，可得 f 1 0，可得 a，
x
后由导数知识求得 f (x)的极值；
答案第 6页，共 10页
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f (x
2 1
) f (x2 ) k k 2 k（ ）由 x x x x ，可得 f x 在 e , 上单调递增，即 f x x x2 0恒成立，1 2 1 2
可得答案.
f x ln x a 1 a ln x【详解】（1） f (x) 1, f 1 x2 ，因函数 在点 处的切线与 x轴平行，则x
f 1 a 1 0 a 1，
f x ln x ln x故 ，令 f x 2 0 x 1 f x 在 1, 2 上单调递增；x x
f x 0 0 x 1 f x 在 0,1 上单调递减，
则 f x 在 x 1处取极小值为 f 1 1，无极大值；
2 x 2（ ）因 1 x2 e ，则
f x1 f x2 k f x1 f x2 1 1 k f x f x
k k k
1 2 f x1 f x
k
x1 x2 x1 x2 x2 x x
2
1 1 x2 ，
x2 x1
f x k e2 , f x k 0 x2在 上单调递增 恒成立 f x2 x x min .
因 y f x x2 ln x 2在 e , 上单调递增，则 k ln e2 2 .
2
18．(1) ,
e
(2)a 2e
a 2 ln x 2 ln x【分析】（1）转化为 在 (0, )上恒成立，构造 g x ， x 0, ，求导得
x x
到其单调性和最值情况，求出答案；
（2）先由 f (1) a，得到 a 3，求导后，再令 h x 2ln x ax，求导结合隐零点得到 f x
的单调性，从而得到 f x 的最小值，得到方程，求出 a的值，舍去不合要求的解.
f (x) 2 ln x a 2 ln x ax【详解】（1） ，
x x
由题意得 f (x) 0在 (0, )上恒成立，即 2ln x ax 0，
a 2 ln x即 在 (0, )上恒成立，
x
令 g x 2 ln x ， x 0, ，
x
答案第 7页，共 10页
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g x 2 2ln x ，令 g 2 x 0得0 x e，x
令 g x 0得 x e，
g x 2 ln x故 在 0,e 上单调递增，在 e, 上单调递减，
x
故 g x 在 x e 2处取得极大值，也是最大值， g e ，
e
2 2
故 a ，a的取值范围是 , .
e e
（2） f (x) ln 2 x ax 的定义域为 0, ，
其中 f (1) a，
因为 f x 的最小值为 3，所以 a 3，解得a 3，
f (x) 2 ln x a 2 ln x ax ，
x x
2 2 ax
当a 3时，设 h x 2ln x ax，则 h x a 0，
x x
故h x 2ln x ax在 0, 上递增，
a a
因为 h e 2 a 1 e 2 0 ， h 1 a 0，
所以存在 x0 0，使得 2 ln x0 ax0 0，
当 x 0, x0 时， h x 0，即 f (x) 0， f x 在 0, x0 上单调递减，
当 x x0 , 时， h x 0，即 f (x) 0， f x 在 x0 , 上单调递增，
故 f (x) 2min f x0 ln x0 ax0，
所以 ln2 x0 ax0 3，又 2 ln x0 ax0 0，
2
所以 ln x0 2 ln x0 3 0，解得 ln x0 1或 ln x0 3，
x 1解得 0 或 e3，e
1 a
当 x0 时， 2 0，解得 a 2e，e e
当 x0 e
3 6
时， 6 ae3 0，解得 a （舍去），
e3
综上，a 2e .
答案第 8页，共 10页
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【点睛】隐零点的处理思路：
第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，其中难点是通过合理赋值，敏锐捕捉
零点存在的区间，有时还需结合函数单调性明确零点的个数；
第二步：虚设零点并确定取范围，抓住零点方程实施代换，如指数与对数互换，超越函数与
简单函数的替换，利用同构思想等解决，需要注意的是，代换可能不止一次.
1
19．(1)
125
(2)1
【分析】（1）利用曲率的定义依次求 f x ， f x ，从而代入即可得解；
（2）利用曲率的定义求得K2关于 x的表达式，再利用三角函数基本关系式与换元法，构造
p t 2 t 3 ，利用导数求得其最大值即可得解.t
【详解】（1）因为 f x lnx x，则 f x 1 1 1， f x ，
x x2
f 1
K 1 1
所以 1 3 3 3 2 ，1 f 1 2 1 22 2 52
2
2 1 1 1
故 K 1 3 .
2 5
3 125
5
（2）因为 h x cos x x R ，则 h x sinx，h x cosx，
h x cosx
K2 所以 3 3 2 2 ，1 h x 2 1 sin x 2
K 2 cos
2x cos2x
则 2 31 sin2x 2 cos2x 3，
2 2 t
令 t 2 cos 2x，则 t 1,2 ，K2 t3 ，
3 2
设 p t 2 t t 3t 2 tp t 2t 63 ，则 6 ，t t t 4
显然当 t 1,2 时， p t 0， p t 单调递减，
所以 p(t)max p 1 1 2，则K2 最大值为 1，
答案第 9页，共 10页
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所以K2的最大值为 1．
【点睛】关键点睛：本题解决的关键是充分理解曲率的定义，从而利用导数即可得解.
答案第 10页，共 10页
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