课件28张PPT。21.2.1二次函数 y = ax2 的图象和性质 沪科版九年级（上册）学习目标1、会用描点法画二次函数y=x2和y=-x2的图象；2、根据函数y=x2和y=-x2图象，直观地了解它的性质.数形结合,直观感受在二次函数y=x2中,y随x的变化而变化的规律是什么？观察y=x2的表达式,选择适当x值,并计算相应的y值,完成下表:你会用描点法画二次函数y=x2的图象吗?<列表>描点,连线y=x2观察图象,回答问题串(1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.(2)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.(3)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?(4)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？(5)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴. 对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.二次函数y=x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.当x<0 (在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而减小. 当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而增大. 当x=-2时，y=4
当x=-1时，y=1当x=1时，y=1
当x=2时，y=4抛物线y=x2在x轴的上方(除顶点外),顶点是它的最低点,开口向上,并且向上无限伸展;当x=0时,函数y的值最小,最小值是0.例1 在同一直角坐标系，画出函数y=?x2，y=2x2的图象.
解：分别填表，再画出它们的图象.
画y=2x2的图象列表：描点y=2x2连线列表：描点连线y=x2y=2x2 函数y=?x2，y=2x2的图象与函数y=x2的图象相比，有什么共同点和不同点？思考1.抛物线y=ax2 （a>0）的顶点是原点,对称轴是y轴.2. 抛物线在x轴的上方(除顶点外),它的开口向上,并且向上无限伸展.3. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.二次函数y=ax2（a>0）的性质在学中做—在做中学(1)二次函数y=-x2的图象是什么形状？你能根据表格中的数据作出猜想吗？(2)先想一想，然后作出它的图象．(3)它与二次函数y=x2的图象有什么关系？xy0-4-3-2-11234-10-8-6-4-22-1描点,连线y=-x2观察图象,回答问题串（1)你能描述图象的形状吗?与同伴进行交流.（2)图象 与x轴有交点吗？如果有,交点坐标是什么?（3)当x<0时,随着x的值增大,y 的值如何变化？当x>0呢？（4)当x取什么值时,y的值最小?最小值是什么？你是如何知道的？（5)图象是轴对称图形吗？如果是,它的对称轴是什么?请你找出几对对称点,并与同伴交流.y=-x2这条抛物线关于
y轴对称,y轴就
是它的对称轴. 对称轴与抛物
线的交点叫做
抛物线的顶点.二次函数y= -x2的
图象形如物体抛射
时所经过的路线,我
们把它叫做抛物线.y当x<0 (在对称轴的左侧)时,y随着x的增大而增大. 当x>0 (在对称轴的右侧)时, y随着x的增大而减小. y当x= -2时,y= -4
当x= -1时,y= -1当x=1时,y= -1
当x=2时,y= -4 抛物线y= -x2在x轴的下方(除顶点外),顶点是它的最高点,开口向下,并且向下无限伸展;当x=0时,函数y的值最大,最大值是0.函数y=ax2(a≠0)的图象和性质y=x2y=-x2它们之间有何关系？二次函数y=ax2的性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=x2y= -x2（0，0）（0，0）y轴y轴在x轴的上方(除顶点外)在x轴的下方( 除顶点外)向上向下当x=0时,最小值为0.当x=0时,最大值为0.在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：y=x2和y=-x2是y=ax2当a=±1时的特殊例子.a的符号确定着抛物线的……函数y=ax2(a≠0)的图象和性质: 在同一坐标系中作出函数y=x2和y=-x2的图象y=x2y=-x21.抛物线y=ax2 （a<0）的顶点是原点,对称轴是y轴.2. 抛物线在x轴的下方(除顶点外),它的开口向下,并且向下无限伸展.3. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大.二次函数y=ax2（a<0）的性质我思，我进步1.已知抛物线y=ax2经过点A（-2，-8）.
（1）求此抛物线的函数解析式；
（2）判断点B（-1，- 4）是否在此抛物线上.
（3）求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标.解：（1）把（-2，-8）代入y=ax2,得 -8=a(-2)2,
解得a= -2,所求函数解析式为y= -2x2.知道就做别客气2.填空:(1)抛物线y=2x2的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,y随着x的增大而增大；在 侧,y随着x的增大而减小,当x= 时,函数y的值最小,最小值是 ,抛物线y=2x2在x轴的 方(除顶点外).(2)抛物线 在x轴的 方(除顶点外),在对称轴的左侧,y随着x的 ；在对称轴的右侧,y随着x的 ,当x=0时,函数y的值最大,最大值是 ,当x 0时,y<0.（0，0）y轴对称轴的右对称轴的左00上下增大而增大增大而减小0回味无穷2.当a>0时,抛物线y=ax2在x轴的上方（除顶点外）,它的开口向上,并且向上无限伸展；当a<0时,抛物线y=ax2在x轴的下方（除顶点外）,它的开口向下,并且向下无限伸展.3.当a>0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小；在对称轴右侧,y随着x的增大而增大.当x=0时函数y的值最小.
当a<0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大；在对称轴的右侧,y随着x增大而减小,当x=0时,函数y的值最大1.抛物线y=ax2的顶点是原点,对称轴是y轴.由二次函数y=x2和y=-x2知：结束寄语只有不断的思考,才会有新的发现;只有量的变化,才会有质的进步. 再见课件24张PPT。（第1课时）21.2.2 二次函数 y = ax2 +bx+c的图象和性质 沪科版九年级（上册）复习1、二次函数 的图象及性质：(1)图象是 ；(2)顶点为 ，
对称轴为 ；复习(3)当a>0时，抛物线
开口向 ，顶点是
最 点，在对称轴
的左侧，y随x的增大
而 ，在对称轴
的左侧，y随x的增大
而 ，a值越大，
开口越 ；复习(4)当a<0时，抛物线
开口向 ，顶点是
最 点，在对称轴
的左侧，y随x的增大
而 ，在对称轴
的左侧，y随x的增大
而 ，a值越大，
开口越 .一、在同一坐标系中画二次函数的图象：探究探究-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 49
8
7
6
5
4
3
2
1
-1xy-2二、关于三条抛物
线，你有什么看法？上下平移得到归纳用平移观点看函数：xyo 抛物线 可以看作是由
抛物线 平移得到。(1)当c>0时，向上平移
个单位；(2)当c<0时，向下平移
个单位；巩固2、二次函数 是由二次函
数 向 平移 个单位得到的。3、二次函数 是由二次函
数 向上平移5个单位得到的。探究-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 49
8
7
6
5
4
3
2
1
-1xy-2三、观察三条抛物线：(1)开口方向是什么？开口都向上探究-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 49
8
7
6
5
4
3
2
1
-1xy-2三、观察三条抛物线：(2)开口大小有没有
变化？没有变化探究-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 49
8
7
6
5
4
3
2
1
-1xy-2三、观察三条抛物线：(3)对称轴是什么？对称轴是y轴探究-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 49
8
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6
5
4
3
2
1
-1xy-2三、观察三条抛物线：(4)顶点各是什么？(0，3)(0，0)(0，-2)探究-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 49
8
7
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5
4
3
2
1
-1xy-2三、观察三条抛物线：(5)增减性怎么样？对称轴左侧递减对称轴右侧递增二次函数 的图象及性质：归纳1.图象是一条抛物线，对称轴为y轴，
顶点为(0，c)。二次函数 的图象及性质：归纳2.当a>0时，开口向上；
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；
当x=0时，y取最小值为c。二次函数 的图象及性质：归纳3.当a<0时，开口向下；
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
当x=0时，y取最大值为c。巩固4、说出下列函数图象的性质：开口方向、对称轴、顶点、增减性。范例巩固5、已知一次函数 的图象如图
所示，则二次函数 的图象大
致是如下图的( )巩固6、如图，某桥洞的抛物线形，水面宽
AB=1.6m，桥洞顶点C到水面的距离为
2.4m，求这个桥洞所在抛物线的解析
式。范例例2、如图，隧道的截面由抛物线和长
方形构成：长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可用 表示。(1)一辆货运卡车高4m，
宽2m，它能通过隧道吗？范例例2、如图，隧道的截面由抛物线和长
方形构成：长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可用 表示。(2)如果隧道内设双行道，
那么这辆货运卡车是否
可以通过？范例例2、如图，隧道的截面由抛物线和长
方形构成：长方形的长是8m，宽是2m，抛物线可用 表示。(3)如果隧道内设双行道，
为安全起见，你认为2m
宽的卡车应限高多少比
较合适？小结二次函数 的图象及性质：(1)形状、对称轴、顶点坐标；(2)开口方向、极值、开口大小；(3)对称轴两侧增减性。课件25张PPT。（第2课时）21.2.2 二次函数 y = ax2 +bx+c的图象和性质 沪科版九年级（上册）复习1、抛物线 向上平移3个单位，得到抛物线 ；2、抛物线 向 平移 个
单位，得到抛物线 。复习用平移观点看函数：xyo 抛物线 可以看作是由
抛物线 平移得到。(1)当c>0时，向上平移
个单位；(2)当c<0时，向下平移
个单位；复习3、指出下列函数的开口方向、顶点坐
标、对称轴及增减性：、二次函数 的图象及性质：复习1.图象是一条抛物线，对称轴为y轴，
顶点为(0，c)。二次函数 的图象及性质：2.当a>0时，开口向上；
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；
当x=0时，y取最小值为c。复习二次函数 的图象及性质：3.当a<0时，开口向下；
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
当x=0时，y取最大值为c。复习一、在同一坐标系中画二次函数的图象：探究探究二、关于三条抛物
线，你有什么看法？左右平移得到归纳用平移观点看函数： 抛物线 可以看作是由
抛物线 平移得到。(1)当h>0时，向右平移
个单位；(2)当h<0时，向左平移
个单位。巩固4、二次函数 是由二次函
数 向 平移 个单位得到的。5、二次函数 是由二次函
数 向左平移3个单位得到的。探究三、观察三条抛物线：(1)开口方向是什么？探究三、观察三条抛物线：(2)开口大小有没有
变化？探究三、观察三条抛物线：(3)对称轴是什么？探究三、观察三条抛物线：(4)顶点各是什么？探究三、观察三条抛物线：(5)增减性怎么样？二次函数 的图象及性质：归纳1.图象是一条抛物线，对称轴为直线
x=h，顶点为(h，0)。归纳2.当a>0时，开口向上；
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；
当x=h时，y取最小值为0。二次函数 的图象及性质：归纳3.当a<0时，开口向下；
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
当x=h时，y取最大值为0。二次函数 的图象及性质：范例例1、已知抛物线 经过点
(1，3)，求：
(1)抛物线的关系式；
(2)抛物线的对称轴、顶点坐标；
(3)x=3时的函数值；
(4)当x取何值时，y随x的增大而增大。巩固6、说出下列函数图象的性质：开口方向、对称轴、顶点、增减性。巩固7、将抛物线 向左平移后，所得
新抛物线的顶点横坐标为-2，且新抛物
线经过点(1，3)，求a的值。范例例2、求抛物线 的对称轴
方程和最大值(或最小值)，然后画出图
象。学过哪些二次函数的特殊形式？巩固8、将抛物线 左右平移，使得
它与x轴相交于点A，与y轴相交于点B。
若△ABO的面积为8，求平移后的抛物
线的解析式。小结(1)形状、对称轴、顶点坐标；(2)开口方向、极值、开口大小；(3)对称轴两侧增减性。二次函数 的图象及性质：课件27张PPT。（第3课时）21.2.2 二次函数 y = ax2 +bx+c的图象和性质 沪科版九年级（上册）复习1、抛物线 可以看作是由抛物线 向 平移 个单位而得到。复习用平移观点看函数：xyo 抛物线 可以看作是由
抛物线 平移得到。(1)当c>0时，向上平移
个单位；(2)当c<0时，向下平移
个单位；复习2、抛物线 可以看作是由抛物线 向 平移 个单位而得到。复习用平移观点看函数： 抛物线 可以看作是由
抛物线 平移得到。(1)当h>0时，向右平移
个单位；(2)当h<0时，向左平移
个单位。一、在同一坐标系中画二次函数的图象：探究探究二、观察三条抛物线：(1)形状怎么样？
位置怎么样？归纳用平移观点看函数：(1)、抛物线 与抛物线
形状相同，位置不同。
探究二、观察三条抛物线：(2)可以通过平移
得到吗？归纳用平移观点看函数：(1)、抛物线 与抛物线
形状相同，位置不同。
(2)、把抛物线 上下、左右平移，
可以得到抛物线 ，平
移的方向、距离要根据h、
k的值来决定。巩固3、二次函数 是由二次
函数 先向 平移 个单位，再
向 平移 个单位得到。探究三、观察三条抛物线：(1)开口方向是什么？y探究三、观察三条抛物线：(2)开口大小有没有
变化？探究三、观察三条抛物线：(3)对称轴是什么？探究三、观察三条抛物线：(4)顶点各是什么？探究三、观察三条抛物线：(5)增减性怎么样？二次函数 图象及性质：归纳1.图象是一条抛物线，对称轴为直线
x=h，顶点为(h，k)。归纳2.当a>0时，开口向上；
在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，
在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；
当x=h时，y取最小值为k。二次函数 图象及性质：归纳3.当a<0时，开口向下；
在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，
在对称轴的右侧，y随x的增大而减小；
当x=h时，y取最大值为k。二次函数 图象及性质：范例例1、已知抛物线 .(1)写出抛物线的开口方向、顶点M的
坐标、对称轴；
(2)作出函数的图象；
(3)写出与y轴交点C的坐标及与x轴交点
A、B的坐标；
(4)当x取何值时：①函数值y随x的增大
而增大？②函数值y随x的增大而减小？二次函数形式之一：归纳范例例1、已知抛物线 .(1)写出抛物线的开口方向、顶点M的
坐标、对称轴；
(2)作出函数的图象；
(3)写出与y轴交点C的坐标及与x轴交点
A、B的坐标；
(4)当x取何值时：①函数值y随x的增大
而增大？②函数值y随x的增大而减小？范例例1、已知抛物线 .(5)观察函数图象，当x取何值时：
①y>0? ②y=0? ③y< 0?
(6)求△ABM的面积。巩固4、说出下列函数图象的性质：开口方向、对称轴、顶点、增减性、
最大(小)值。范例例2、已知二次函数 的图
象经过(1，0)、(0，3)两点，对称轴为
x=-1。
(1)求二次函数的解析式；
(2)设这个函数的图象与x轴的交点为A、
B(A在B的左边)，与y轴的交点为C，顶
点为D，求A、B、C、D四点的坐标；
(3)求四边形ABCD的面积。巩固5、已知二次函数图象顶点为(-1，-6)，
并且图象经过点(0，5)，求这个二次函
数的解析式。小结(1)形状、对称轴、顶点坐标；(2)开口方向、极值、开口大小；(3)对称轴两侧增减性。二次函数 图象及性质：课件14张PPT。（第4课时）沪科版九年级21.2.2 二次函数 y = ax2 +bx+c的图象和性质 我们来画 的图象，并讨论一般地怎样画
二次函数 的图象．接下来，利用图象的对称性列表（请填表）33.557.53.557.5配方可得由此可知，抛物线 的顶点是（6，3），对称轴是直线 x = 6函数y=ax2+bx+c的顶点式这个结果通常称为求顶点坐标公式.因此，抛物线 的对称轴是 顶点
坐标是一般地，我们可以用配方求抛物线 y = ax2 + bx + c (a≠0)的顶点与对称轴矩形场地的周长是60m，一边长为l，则另一边长为 ，场地的面积用总长为60m的篱笆围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长 l 的变化而变化，当 l 是多少时，场地的面积S最大？即 可以看出，这个函数的图象是一条抛物线的一部分，这条抛物线的顶点是函数的图象的最高点，也就是说，当l取顶点的横坐标时，这个函数有最大值．由公式可求出顶点的横坐标．分析：先写出S与 l 的函数关系式，再求出使S最大的l值．S＝l ( 30－l )S＝－l 2 +30l( 0 < l < 30 )也就是说， 当l是15m时，场地的面积S最大（S＝225m2） 因此，当 时，S＝－l 2 +30l( 0 < l < 30 ) 一般地，因为抛物线 的顶点是最低（高）点，
所以当 时，二次函数
有最小（大）值二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质１.顶点坐标与对称轴２.位置与开口方向３.增减性与最值抛物线顶点坐标对称轴位置开口方向增减性最值y=ax2+bx+c(a>0)y=ax2+bx+c(a<0)由a,b和c的符号确定由a,b和c的符号确定向上向下在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而增大. 在对称轴的左侧,y随着x的增大而增大. 在对称轴的右侧, y随着x的增大而减小. 根据图形填表：1．写出下列抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标．当x为何值时y的值最小（大）？（4）（3）（2）（1）练习解: (1) a = 3 > 0抛物线开口向上解: a = －1 < 0抛物线开口向下（2）解: a = －2 < 0抛物线开口向下（3）解: a = 0.5 > 0抛物线开口向上（4）2．已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？课件13张PPT。21.2.3二次函数表达式的确定沪科版九年级（上册）(1)一般式(2)顶点式回味知识点：顶点坐标（h，k）目前接触的二次函数的表达式有哪些？例1 一个二次函数的图象过点（0,1）,它的顶点坐标是（8,9）,求这个二次函数的表达式。已知：二次函数的图像的顶点的坐标是（1,4）,并且抛物线与x轴的两个交点的距离是4,求这个函数的表达式。 练一练练一练
已知：二次函数的图像的对称轴为直线
x= –3，并且函数有最大值为5，图像经过点
(–1,–3)，求这个函数的表达式。 解：由题意可知，该函数的顶点的坐标是（－3，5）， 所以，设y=a(x+3)2＋5又抛物线经过点（－1，－3），得 －3=a(－1+3)2＋5 ∴ a=－2∴所求的函数表达式为y= –2(x+3)2＋5即y= –2x2–12x–13例7 一个二次函数的图象过（0,1）、（2,4）、（3，10）三点，求这个二次函数表达式.已知：二次函数的图像经过点A(–1，6)、B(3，0)、C(0，3)，求这个函数的表达式。解：设所求函数表达式为y=ax2+bx+c .由已知函数图象过(-1,6),(3,0),(0,3)三点得 解这个方程组得a= 0.5，b= – 2.5，c=3 ∴所求得的函数表达式为y=0.5x2 – 2.5x+3练一练已知：抛物线y=ax2+bx+c过直线 与x轴、y轴的交点，且过（1，1），求抛物线的表达式.分析：练一练拓广探索*例 已知：如图,求二次函数表达式y=ax2+bx+c.解：如图,由题意得：抛物线与x轴交点的横坐标为－1和3∴设所求函数表达式为y=a(x＋1)(x－3)∵图象过点（0，3）∴3=a(0＋1)(0－3) ∴a=－1∴所求的函数表达式为y=－(x＋1)(x－3) 即y= –x2+2x+3拓广探索例 已知：抛物线与坐标轴交于A,B,C三个点，其中A的坐标为（-1，0），B的坐标为（3，0），并且△ABC的面积是6，求这个函数的表达式。 分析：由题意可知OC的长是3，所以点C的坐标为（0，3)或（0，-3）当C（0，3）时，
函数的表达式为：
y=-x2+2x+3 当C（0，-3）时，函数的表达式为： -y=-x2+2x+3,即y=x2-2x-3 拓广探索二次函数表达式的确定:归纳小结二次函数表达式的确定:归纳小结（3）过与x轴的两个交点和一普通点的二次函数表达式确定.
