2023-2024学年北京市延庆一中高二（下）月考数学试卷（3月份）（含解析）

2023-2024学年北京市延庆一中高二（下）月考数学试卷（3月份）
一、单选题：本题共9小题，每小题4分，共36分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.按数列的排列规律猜想数列，，，，的第项是( )
A. B. C. D.
2.已知等差数列中，，，则等于( )
A. B. C. D.
3.数列满足，且，则( )
A. B. C. D.
4.的二项展开式中的常数项为( )
A. B. C. D.
5.名男生和名女生中任选人参加演讲比赛，用表示所选人中女生的人数，则为( )
A. B. C. D.
6.将一枚质地均匀的硬币连续抛掷次，记为“正面朝上”出现的次数，则随机变量的均值( )
A. B. C. D.
7.从，，，，中不放回地抽取个数，则在第次抽到奇数的条件下，第次又抽到奇数的概率是( )
A. B. C. D.
8.第届夏季奥运会预计年月日至月日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增个竞赛项目和个表演项目现有三个场地，，分别承担这个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，则不同的安排方法有( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
9.为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼某校篮球运动员投篮练习，若他第球投进则后一球投进的概率为，若他前一球投不进则后一球投进的概率为若他第球投进的概率为，则他第球投进的概率为
( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共1小题，共4分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
10.身高各不相同的六位同学、、、、、站成一排照相，则说法正确的是( )
A. A、、三位同学从左到右按照由高到矮的顺序站，共有种站法
B. 与同学不相邻，共有种站法
C. A、、三位同学必须站在一起，且只能在与的中间，共有种站法
D. 不在排头，不在排尾，共有种站法
三、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.数学老师从道习题中随机抽道让同学检测，规定至少要解答正确道题才能及格．某同学只能求解其中的道题，则他能及格的概率是______．
12.在一个布袋中装有除颜色外完全相同的个白球和个黑球，从中随机摸取个球，有放回地摸取次，记摸取白球的个数为若，则 ______， ______．
13.变量的概率分布列如下表，其中，，成等差数列，若，则 ______．
14.已知展开式中，第三项的系数与第四项的系数比为求的值______，展开式中有理项的系数之和______用数字作答
15.如图，一个地区分为个行政区域，现给地图着色，要求相邻区域不得使用同一颜色．现有种颜色可供选择，则不同的着色方法共有______种．以数字作答
四、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知数列的前项和，
求数列的通项公式；
求数列的前多少项和最大．
17.本小题分
已知二项式的展开式中各项二项式系数的和为，其中实数为常数．
求的值；
若展开式中二项式系数最大的项的系数为，求的值．
18.本小题分
某市举行“中学生诗词大赛”，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：初赛成绩大于分的具有复赛资格，某校有名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间内，其频率分布直方图如图．
Ⅰ求获得复赛资格的人数；
Ⅱ从初赛得分在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取人参加学校座谈交流，那么从得分在区间与各抽取多少人？
Ⅲ从Ⅱ抽取的人中，选出人参加全市座谈交流，设表示得分在区间中参加全市座谈交流的人数，求的分布列及数学期望．
19.本小题分
年是北京城市轨道交通新线开通的“大年”，开通线路的条、段数为历年最多月日首班车起，地铁号线一期开通试运营．地铁号线一期全长约公里，共设座车站，此次开通牡丹园、积水潭、牛街、草桥、新发地、新宫共座车站．在试运营期间，地铁公司随机选取了乘坐号线一期的名乘客，记录了他们的乘车情况，得到下表单位：人：
下车站
上车站 牡丹园 积水潭 牛街 草桥 新发地 新宫 合计
牡丹园
积水潭
牛街
草桥
新发地
新宫
合计
Ⅰ在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；
Ⅱ在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为，求随机变量的分布列以及数学期望；
Ⅲ为了研究各站客流量的相关情况，用表示所有在积水潭站上下车的乘客的上、下车情况，“”表示上车，“”表示下车．相应地，用，分别表示在牛街，草桥站上、下车情况，直接写出方差，，大小关系．
20.本小题分
已知椭圆：的焦距和长半轴长都为。过椭圆的右焦点作斜率为的直线与椭圆相交于，两点。
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ设点是椭圆的左顶点，直线，分别与直线相交于点，。求证：以为直径的圆恒过点。
21.本小题分
对于数列，定义，设的前项和为．
Ⅰ设，写出，，，；
Ⅱ证明：“对任意，有”的充要条件是“对任意，有”；
Ⅲ已知首项为，项数为的数列满足：
对任意且，有；
．
求所有满足条件的数列的个数．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：根据题意，数列的第个数为，有，
数列的第个数为，有，
数列的第个数为，有，
依此类推，数列的第项为，
故选：．
根据题意，由数列的前个数分析数列的通项公式，进而分析可得答案．
本题考查归纳推理的应用，涉及数列的表示方法，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：等差数列中，，，
所以，即，
则．
故选：．
由已知结合等差数列的性质先求出，然后结合通项公式即可求解．
本题主要考查了等差数列的性质及通项公式的应用，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，且，归纳可得：
，
数列是周期为的数列，
．
故选：．
根据递推公式可得数列是周期为的数列，从而可求解．
本题考查数列的周期性，属基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于基础题．
在二项展开式的通项公式中，令的幂指数等于，求出的值，即可求得常数项．
【解答】
解：二项式的展开式的通项公式为，
令，解得，
故常数项为：．
故选：．
5.【答案】
【解析】解：从名男生和名女生中任选人参加演讲比赛，
设随机变量表示所选人中女生的人数，
的可能取值为，，，
，
，
，
的分布列为：


的均值．
故选：．
由题意的可能取值为，，，分别求出相应的概率，由此能求出的分布列．然后求出的均值．
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用．
6.【答案】
【解析】解：由题意可知，，
则的期望．
故选：．
先判断出，然后利用方差的计算公式求解即可．
本题考查了二项分布的理解和应用，解题的关键是掌握二项分布的期望计算公式．
7.【答案】
【解析】解：在第次抽到奇数的条件下，余下个奇数和个偶数，
再次抽取时，抽到奇数的概率为．
故选：．
根据条件概型的知识求得正确答案．
本题考查条件概率、古典概型等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：根据题意，分步进行分析：
将个新增项目的比赛项目分为组，有种分组方法，
将分好的组安排到，，三个场地，有种安排方法，
则有种安排方法．
故选：．
根据题意，分步进行分析：将个新增项目的比赛项目分为组，将分好的组安排到，，三个场地，由分步计数原理计算可得答案．
本题考查排列组合的应用，涉及分步、分类计数原理的应用，属于基础题．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查概率的求法，考查相互独立事件概率乘法公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
利用相互独立事件概率乘法公式能求出他第球投进的概率．
【解答】
解：某校篮球运动员进行投篮练习，若他前一球投进则后一球投进的概率为，
若他前一球投不进则后一球投进的概率为若他第球投进的概率为，
则他第球投进的概率为：
．
故选B．
10.【答案】
【解析】解：对于，个人全排列有种方法，、、全排列有种方法，
则、、从左到右按高到矮的排列有种方法，A正确；
对于，先排列除与外的个人，有种方法，个人排列共有个空，
利用插空法将和插入个空，有种方法，则共有种方法，B正确；
对于，、、必须排在一起且在、中间的排法有种，
将这人捆绑在一起，与其余人全排列，有种方法，则共有种方法，C错误；
对于，个人全排列有种方法，当在排头时，有种方法，当在排尾时，有种方法，
当在排头且在排尾时，有种方法，则不在排头，不在排尾的情况共有种，D正确．
故选：．
根据全排列和定序即可判断；利用插空法即可判断；利用捆绑法即可判断；利用间接法即可判断．
本题考查了实际问题中的排列组合计数问题，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：数学老师从道习题中随机抽道让同学检测，
基本事件总数，
规定至少要解答正确道题才能及格．某同学只能求解其中的道题，
则他能及格包含的基本事件个数，
他能及格的概率．
故答案为：．
先求出基本事件总数，再求出他能及格包含的基本事件个数，由此能求出他能及格的概率．
本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：由题意知．
因为，所以，解得，
所以．
故答案为：；．
根据已知条件，可知服从二项分布，由二项分布的期望公式可求出，进而可得．
本题主要考查离散型随机变量的期望，概率的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，，成等差数列，若，
由变量的概率分布列性质，得：
，解得，，，
．
故答案为：．
由已知得，由此能求出．
本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型．
14.【答案】
【解析】解：展开式的通项公式为：，，，
第三项系数为，第四项系数为，
第三项的系数与第四项的系数比为，
则，解得，
，
当，，时，对应的项是有理项，当时，展开式中对应的有理项为，
当时，展开式中对应的有理项为；
当时，展开式中对应的有理项为，
故展开式中有理项的系数之和为．
故答案为：；．
根据已知条件，结合二项式定理，以及有理项的定义，即可求解．
本题主要考查二项式定理，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：由题意，选用种颜色时：涂色方法种
色全用时涂色方法：种
所以不同的着色方法共有种．
故答案为：
分类型，选种颜色时，就是同色，同色；种颜色全用，只能或用一种颜色，其它不相同，求解即可．
本题考查组合及组合数公式，考查分类讨论思想，避免重复和遗漏情况，是中档题．
16.【答案】解：当时；；
当时，；
所以：
，且当时，，
所以，数列的前项的和最大．
【解析】利用“当时，；当时，”即可得出；
配方，即可求数列的前多少项和最大．
熟练掌握方法“当时，；当时，”是解题的关键．
17.【答案】解：由题知，二项式系数和，故；
二项式系数分别为，
根据其单调性知其中最大，
即为展开式中第项，
，即．
【解析】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，二项式系数的性质，属基础题．
直接根据二项式系数的特点即可求；
直接根据二项式系数的特点即可求出对应项的项数，进而求出对应项的系数，即可求解结论．
18.【答案】解：由题意知之间的频率为：；
．
获得参赛资格的人数为 分
Ⅱ在区间与，：：；
在区间的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取人
分在区间与各抽取人，人．
Ⅲ的可能取值为，，，则，
，
，
故的分布列为：
分
【解析】求出满足参赛资格的区域包含的长方形的纵坐标的和乘以组距得到分布在该区域的频率，再乘以样本容量求出获得参赛资格的人数；
由频率分布直方图求矩形的面积，转化求解抽取人数即可；
先求出的可能值，求出概率，得到分布列，然后求解期望即可．
在求频率分布直方图中的问题时，特别注意图中的纵坐标的几何意义、利用频率分布直方图求数据的平均数是利用各个矩形的中点横坐标乘以各个矩形的面积和．考查分布列以及期望的求法，考查计算能力．．
19.【答案】解：Ⅰ在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客人，对应乘客在牛街站下车的人，
从在积水潭站上车的乘客中任选一人，估计该乘客在牛街站下车的概率；
Ⅱ在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为，可得取值为，，，，
，，，
．
的分布列为：


．
Ⅲ．
【解析】Ⅰ在试运营期间，从在积水潭站上车的乘客人，对应乘客在牛街站下车的人，即可得出该乘客在牛街站下车的概率；
Ⅱ在试运营期间，从在积水潭站上车的所有乘客中随机选取三人，设其中在牛街站下车的人数为，可得取值为，，，，利用二项分布列概率计算公式可得其概率及其的分布列与．
Ⅲ．
本题考查了“二项分布列”的概率计算公式、分布列及其数学期望、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
20.【答案】解：Ⅰ由焦距和长半轴长都为，可得，，，
则椭圆方程为；
Ⅱ证明：，，直线的方程为，
联立椭圆方程可得，
直线过椭圆的焦点，显然直线与椭圆相交．设，，
则，，直线的方程为，
可令，得，即，
同理可得，所以，，
又
．
所以以为直径的圆恒过点．
【解析】本题考查直线和椭圆的位置关系，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于较难题．
Ⅰ求得，，，可得椭圆方程；
Ⅱ直线的方程为，联立椭圆方程，运用韦达定理和向量的数量积的坐标表示，化简整理，结合直径所对的圆周角为直角，即可得证．
21.【答案】解：Ⅰ因为，，，，，
根据题意可得，，，．
Ⅱ证明：必要性：对，有，
因此．
对任意且，有，，
两式作差，得，即，
因此 ，
综上，对任意，有．
充分性：若对任意，有，则，
所以 ．
综上，“对任意，”的充要条件是“对任意，”．
Ⅲ构造数列：，，
则对任意且，有，．
结合Ⅱ可知，，
又，因此．
设，，，中有项为，
则
，即．
因为，所以或．
若，则与，，，中有项为，即矛盾，不符题意．
若，则，所以当，，，，中有一项为，
其余项为时，数列满足条件．
，，，中有一项为，共种取法；
其余项每项有或两种取法，
所以满足条件的数列的个数为．
【解析】本题考查了新定义问题，解决此类问题，关键是读懂题意，理解新定义的本质，把新情境下的概念、法则、运算化归到常规的数学背景中，运用相关的数学公式、定理、性质进行解答即可．
Ⅰ直接根据新定义写出即可；
Ⅱ利用定义给出的信息，分别从充分性和必要性进行证明即可；
Ⅲ构造：，，结合Ⅱ以及题中条件，推出，设，，，中有项为，从而确定的值，分别分析求解即可．
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