2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高一（下）月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年湖北省新高考联考协作体高一（下）月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，集合，则( )
A. B. C. D.
2.比较，，的大小( )
A. B. C. D.
3.下列四个函数中以为最小正周期且为奇函数的是( )
A. B. C. D.
4.已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式可能是( )
A.
B.
C.
D.
6.中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水温经有关研究可知：在室温下，某种绿茶用的水泡制，经过后茶水的温度为，且，当茶水温度降至时，此时茶水泡制时间大约为结果保留整数，参考数据：，，．( )
A. B. C. D.
7.下列选项中是“，”成立的一个必要不充分条件的是( )
A. B. C. D.
8.已知是定义在上的函数在上单调递减，且，函数的图象关于点对称，则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知集合，，则
B. 终边落在轴上的角的集合可表示为
C. 若，则
D. 在中，若，则为等腰三角形
10.已知正实数，满足，则( )
A. B.
C. D.
11.已知，则下列说法正确的有( )
A. 图象对称中心为
B. 的最小正周期为
C. 的单调递增区间为
D. 若，则
12.一般地，若函数的定义域为，值域为，则称为函数的“倍伴随区间”，另函数的定义域为，值域也为，则称为的“伴随区间”，下列结论正确的是( )
A. 若为函数的“伴随区间”，则
B. 函数存在“伴随区间”
C. 若函数存在“伴随区间”，则
D. 二次函数存在“倍伴随区间”
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知幂函数在上单调递减，则 ______．
14.已知扇形的圆心角的弧度数为，其弧长也是，则该扇形的面积为______．
15.若函数在上的值域为，则的取值范围为______．
16.已知函数，若实数，，，，满足，且，则的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
计算：
；
已知，求．
18.本小题分
已知函数．
求的值；
若，求的值．
19.本小题分
某甜品店今年年初花费万元购得一台新设备，经估算该设备每年可为甜品店提供万元的总收入，已知使用年所需的总维护费用为万元．
该甜品店第几年开始盈利？
若干年后，该甜品店计划以万的价格卖出设备，有以下两种方案：
当年平均盈利最大时卖出；
当盈利总额达到最大时卖出；
试问哪一方案较为划算？说明理由．
20.本小题分
已知函数，函数图象关于对称，且函数图象上相邻的最高点与最低点之间的距离为．
求，的值；
求函数的单调增区间；
若方程在有两个根，求的取值范围．
21.本小题分
已知函数定义域为．
求的取值范围；
当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求的取值范围．
22.本小题分
定义在上的函数，如果满足：对任意，存在常数，恒成立，则称是上的有界函数，其中称为的上界．
若在上是以为上界的有界函数，求的取值范围；
已知，为正整数，是否存在整数，使得对，不等式恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：令解得，，
，即，
．
故选：．
先化简集合，，再根据交集运算定义求解．
本题主要考查了集合交集运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：由指数函数和对数函数的单调性得：，，，
．
故选：．
利用指数函数、对数函数的性质比较大小即可．
本题考查了指数函数和对数函数的单调性，是基础题．
3.【答案】
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
选项，函数图象如下：
不是周期函数，
选项，与是偶函数，
选项，的周期为且，
故为奇函数，D正确．
故选：．
根据题意，依次分析选项中函数的奇偶性和单调性，综合可得答案．
本题考查函数的奇偶性和周期性，涉及常见函数的奇偶性，属于基础题．
4.【答案】
【解析】解：．
故选：．
直接利用诱导公式求解即可．
本题主要考查了诱导公式的应用，属于基础题．
5.【答案】
【解析】解：令，
易知，，，，
即，，，分别为奇函数、偶函数、偶函数、偶函数，
由图象可知为奇函数，且在处有定义，故排除，
显然对于项，在处有定义，，
为奇函数，故A成立．
故选：．
利用函数奇偶性的性质，及特殊值可判定选项．
本题主要考查函数图象的求解，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：当时，，则，
令，，
，解得．
故选：．
当时，求得，当时，求出值．
本题主要考查指数函数型函数的应用，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：，，
即，，
，其中在上单调递减，
在上单调递增，
其中时，，当时，，
故，即，
由于是的真子集，故“”的必要不充分条件为“”，
其他选项均不合要求．
故选：．
变形得到，根据函数单调性得到，故，由于是的真子集，故A正确，其他选项不合要求．
本题主要考查存在量词和特称命题，是基础题．
8.【答案】
【解析】解：由函数的图象关于对称可得图象关于对称，
所以为上的奇函数，则函数图象大致如图所示．
要解，即，即，
当时，即时，，所以或者，解得或；
当时，即时，，所以，解得
综上可得不等式的解集为．
故选：．
先根据函数的性质作出简图，结合函数图象可得不等式的解集．
本题主要考查抽象函数及其应用，考查不等式的解法，考查运算求解能力，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：集合表示终边落在直线上角的集合，
集合表示终边落在直线及坐标轴上角的集合，因此A正确；
选项出现角度与弧度混用错误；
选项，即，即，
所以，解得，故C正确；
选项，若，
因为，，所以，，
所以或，所以或，
所以为等腰三角形或直角三角形，故D错误．
故选：．
根据集合，表示终所在的位置，即可判断；根据角度与弧度不能混用即可判断；根据辅助角公式结合正弦函数的性质即可判断；由题意可得或，即可判断．
本题主要考查了象限角及轴上角的表示，还考查了诱导公式的应用，属于中档题．
10.【答案】
【解析】解：对：由及基本不等式得，即，
所以，当且仅当时等号成立，故A正确；
对：，当且仅当时等号成立，
所以，故B错误；
对：因为，当且仅当，即时等号成立，
所以即，故C正确；
对：，其中，所以，故D正确．
故选：．
根据基本不等式判断选项ABC，消元利用二次函数求最值判断．
本题主要考查了基本不等式在最值求解中的应用，属于中档题．
11.【答案】
【解析】解：对于，令，则，
即图象对称中心为；选项A错误；
对于，最小正周期为，选项B正确；
对于，根据正切函数的性质可知，只需求的单调递减区间，
显然无单调增区间，选项C错误；
对于，，即，
所以，
解得，选项D正确．
故选：．
选项，整体法求出函数的对称中心；
选项，根据求出答案；
选项，根据正切函数的性质得到无单调增区间；
选项，得到，结合图象求出不等式．
本题考查了三角函数的图象与性质应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题．
12.【答案】
【解析】解：对于选项A，在上单调递增，且，
，即，
舍或，故A正确；
对于选项B，在和上单调递减，
若存在“伴随区间”，则，，
即，，
解得或，与矛盾，故选项B错误；
对于选项C，在上单调递减，
假设存在“伴随区间”，，
则且，
，
，即或，
因此，
在内有两个不同根，
令，，，，，
，故选项C错误；
对于选项D，不妨取，则，
所以，解得，
故存在，，故选项D正确．
故选：．
对于：利用伴随区间的定义来判断；对于：不妨取，则，列方程求解即可．
本题考查了函数的定义域和值域，是中档题．
13.【答案】
【解析】解：幂函数在上单调递减，
，
解得．
故答案为：．
利用幂函数的定义和性质直接求解．
本题考查幂函数的定义和性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
14.【答案】
【解析】解：由弧长公式可得，解得．
扇形的面积．
故答案为：．
利用扇形的面积计算公式、弧长公式即可得出．
本题考查了扇形的面积计算公式、弧长公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】解：因为，，
令，则，因为，
当时，，此时；
令即，解得，
又，，
结合图象可知：，所以的取值范围为．
故答案为：．
依题意可得，令则，结合函数的值域，求出所对应的的值，再结合正弦函数的性质可得．
本题考查的知识点：三角函数的关系式的变换，正弦型函数的图象和性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
16.【答案】
【解析】解：由题意可得图象大致如图所示：
令，则，
由图象知：，，，
所以
，且，
根据二次函数的性质可知：．
故答案为：．
利用分段函数的图象与性质先确定，，，消元化简待定式结合二次函数求范围即可．
本题考查了分段函数的图象与性质应用问题，也考查了推理与判断能力，是中档题．
17.【答案】解：原式．
，，
，
，
，
原式
．
【解析】由指数幂与对数的运算性质求解即可；
给两边同时平方，可得，然后求出的值，计算即可．
本题主要考查了指数及对数的运算性质的应用，属于基础题．
18.【答案】解：因为，
所以；
由知，，
故，
原式
．
【解析】利用诱导公式化简得到，再代入求值即可；
求出，再化为齐次式，化弦为切，代入求值．
本题主要考查了诱导公式，同角基本关系在三角化简求值中的应用，属于基础题．
19.【答案】解：设该甜品店年后所得总利润为万元，
则，
若开始盈利即，
，解得，
第四年开始盈利．
方案：设年平均利润为，
则，
由对勾函数性质可得在上单调递增，上为单调递减，
又，，
时，，年总利润为万元，
时，，年总利润为万元，故选择第年卖出，
方案：，，
即时总利润最大为万元，
故选择方案一或方案二是一样的，最终都是在即第年总利润达到最大值万元，加上卖设备的万元，一共万元利润．
【解析】表达出年后所得总利润，解不等式，求出答案；
设方案的年平均利润为，表达出，由对勾函数单调性求出最大值，再求出方案的总利润，比较后得到结论．
本题考查了函数在解决实际问题上的应用，属于中档题．
20.【答案】解：图象上相邻的最高点与最低点的距离为且，
，即，，
又图象关于对称，
，，，，
又，．
，
由解得，
的单调增区间为．
当时，，
作出时的图象如下图：
若方程在有两个根，则．
即的取值范围为
【解析】根据相邻的最高点与最低点的距离为求得，根据图象关于对称求得．
由解得的单调增区间；
作出时的图象，观察图象得的取值范围．
本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，正弦型函数性质的应用，正弦型定理余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于中档题．
21.【答案】解：对恒成立，
即，则，
所以即．
根据已知条件有：对恒成立，
令，单调递增，
也单调递增，单调递增；
令，单调递增，
单调递减，单调递减；
所以，
是单调减函数时，
是单调增函数时，
，
即，结合定义域有：，
即，
所以．
【解析】根据函数定义域确定对恒成立，转化为，求出的最小值即可；
根据已知条件，先判断复合函数、的单调性，结合题意确定，在定义域内，分别求出、，再结合，构造不等式组，解出的范围即可．
本题主要考查恒成立问题，属于中档题．
22.【答案】解：令，，则，
由题意可得，在上恒成立，
则在上恒成立，
所以，即，
易知在上单调递减，则，
根据对勾函数的性质可知：在上单调递增，则，
综上：．
假设存在满足题意，，
当为正偶数时，，即，
设，易知
则，，
所以，
当为正奇数时，，即，
同理设，易知
则，，
所以，
若存在，则且，即，
所以，即，
所以．
【解析】利用上界的定义，换元令转化函数式得，再结合与的单调性计算即可；
假设存在满足题意，分离参数得，然后分类讨论为奇数或偶数，结合的取值范围计算即可．
本题主要考查恒成立问题，属于中档题．
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