2023-2024学年广东省汕头市潮阳实验学校高一（下）第一次月考数学试卷（含解析）

2023-2024学年广东省汕头市潮阳实验学校高一（下）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知，，，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，满足，，，则( )
A. B. C. D.
4.函数且的图象可能为( )
A. B. C. D.
5.如图，已知与有一个公共顶点，且与的交点平分，若，，则的最小值为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知定义在上的奇函数满足，当时，，则( )
A. B. C. D.
7.已知对任意平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转角得到向量，叫做把点绕点逆时针方向旋转角得到点若平面内点，点，把点绕点顺时针方向旋转角后得到点，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
8.费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为已知在中，，为的费马点，若，，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，则下列说法正确的是( )
A. 若，则的值为
B. 若，则的值为
C. 若，则与的夹角为锐角
D. 若，则
10.在中，角，，的对边分别为，，，若，，则使此三角形只有唯一解的的值可以是( )
A. B. C. D.
11.中国南宋时期杰出数学家秦九韶在数书九章中提出了已知三角形三边求面积的公式，求其法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实，一为从隅，开平方得积”若把以上这段文字写成公式，即现有满足：：：：，且，则( )
A. 外接圆的半径为
B. 若的平分线与交于，则的长为
C. 若为的中点，则的长为
D. 若为的外心，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知纯虚数满足，则______．
13.已知向量，则在方向上的投影向量为______．
14.设锐角的内角，，的对边分别为，，，若，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
计算
已知求的值．
已知，且，，求角的值；
16.本小题分
设函数
写出函数的最小正周期及单调递减区间；
当时，函数的最大值与最小值的和为，求不等式的解集．
17.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
证明：；
若，，求的周长．
18.本小题分
在锐角中，角，，的对边分别是，，，且．
求；
若外接圆的半径是，求面积的取值范围．
19.本小题分
如图，，是单位圆上的相异两定点为圆心，且为锐角点为单位圆上的动点，线段交线段于点．
求结果用表示；
若
求的取值范围；
设，记，求函数的值域．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：，，或，
，则．
故选：．
先把集合表示出来，再根据交集的定义计算即可．
本题考查集合的运算，属于基础题．
2.【答案】
【解析】解：因为，即，
所以，解得，所以．
故选：．
根据复数相等列出方程组，解出，再计算即可．
本题主要考查复数的四则运算，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：因为向量，满足，，，
所以，
两边平方得，
，
解得，
故选：．
利用，结合数量积的性质计算可得结果．
本题考查了平面向量数量积的运算和性质，属于基础题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查函数图象的识别以及函数的奇偶性的判断，属于基础题．
由条件可得函数为奇函数，故它的图象关于原点对称；再根据时，，得出结论．
【解答】
解：对于函数且，由于它的定义域关于原点对称，
且满足，故函数为奇函数，故它的图象关于原点对称．
故排除、．
当，，故排除，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：因为为的中点，且，，
所以，
因为，，三点共线，
所以，
由图可知，，，
所以，
当且仅当时等号成立，
所以的最小值为．
故选：．
由平面向量的线性运算计算可得，再由基本不等式即可求得．
本题考查平面向量的线性运算和基本不等式的应用，属于中档题．
6.【答案】
【解析】解：定义在上的奇函数满足，
所以，
所以，即函数的周期，
当时，，且，
所以，
则．
故选：．
由已知先求出函数的周期，然后结合周期性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了函数的奇偶性，周期性在函数求值中的应用，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：由已知可得，
将点，绕点顺时针旋转，
得
，
故选：．
利用题中的新定义，可先计算，，结合已知，利用向量的减法，可求点坐标
本题以新定义为切入点，融合了向量的减法，解题的关键是正确理解新定义．
8.【答案】
【解析】解：设，，则，，
由，得，解得，满足，．
在中，，
可得，同理可得，
所以
，
因为，
所以当时，即时，有最大值，
结合，可得的最小值为．
因此，当时，有最小值，即的取值范围是．
故选：．
根据题意作出示意图形，设，，利用正弦定理将表示为关于、的式子，然后利用三角形恒等变换与三角函数的值域，求出的最小值，进而可得答案．
本题主要考查正弦定理、两角和与差的三角函数公式、三角函数的值域与最值等知识，属于中档题．
9.【答案】
【解析】解：对于：若，则，解得，故A正确；
对于：若，则，解得，故B正确；
对于：当时，与同向，此时与的夹角为，故C错误；
对于：若，则，即，即，解得，
当时，，，，，显然，
当时，，，，，此时，故D错误．
故选：．
根据向量的数量积、向量的模的坐标表示及向量共线的坐标表示一一判断即可．
本题考查平面向量平行，垂直，数量积的坐标表示，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为，，
所以由正弦定理得，
要使此三角形只有唯一解，此三角形时有且只有唯一解，则只有一个，
则或且，
所以或，选项BD符合．
故选：．
由题意，则角只有一个解，有或且，转化为边的关系即可．
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为满足：：：：，所以由正弦定理得：：：：：，
设，，，因为的面积，所以解得，
即，，，由余弦定理可得，
，
外接圆的半径为，故A正确；
对于，由选项可得角，所以，
所以，故B正确；
对于，若为的中点，则，
所以，所以，
所以的长为故D错误；
对于，若为的外心，，故D正确．
故选：．
利用已知可得，，，结合正弦定理、余弦定理逐项计算可判断每个选项的正确性．
本题考查正余弦定理和三角形面积公式的应用，考查向量的数量积的计算，考查计算能力和转化思想，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：由于为纯虚数，设，
，，
解得或舍去，
，．
故答案为：．
根据已知条件，结合纯虚数的概念，以及复数模的计算公式，即可求解．
本题主要考查纯虚数的概念，以及复数模的计算公式，属于基础题．
13.【答案】
【解析】解：，
在方向上的投影向量为．
故答案为：．
根据投影向量的计算公式即可求解．
本题主要考查投影向量的公式，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：因为，
则，，
又，
故由正弦定理可得：
，
又为锐角三角形，
故可得，
解得，
则，
由于，在上单调递增，
当，当，
故，即．
故答案为：．
根据已知条件，利用正弦定理边角互化结合三角恒等变换将目标式化为角的函数关系，再求的取值范围，根据函数值域即可求得结果．
本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换以及余弦函数的性质的综合应用，考查了转化思想和函数思想，属于中档题．
15.【答案】解：因为，
所以
；
因为，
所以，
因为，
所以，
因为，
所以，
故
，
因为，
所以．
【解析】利用诱导公式和齐次式化简，化为关于的式子，代入求值即可；
利用同角三角函数关系及角的范围得到和，从而利用余弦差角公式求出，从而求出角的值．
本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
16.【答案】解：函数
；
函数的最小正周期为；
令，，
解得，，
函数的递减区间为：
，；分
由得：，
的最大值是，分
最小值是，分
，解得；
不等式化为，
，；
，；分
又，
不等式的解集分
【解析】化函数为正弦型函数，求出它的最小正周期和单调递减区间；
根据时求得的最大值和最小值，由此求得的值，再求不等式的解集．
本题考查了三角恒等变换以及三角函数的图象与性质的应用问题，是综合题．
17.【答案】证明：中，，
所以，
所以，
即，
所以，
由正弦定理得，
由余弦定理得，
所以；
当，时，，，
所以，解得，
所以的周长为．
【解析】利用两角差与和的正弦公式，三角形内角和公式，正弦和余弦定理，即可求得结论；
利用中结论求出和的值，即可求出的周长．
本题考查了三角恒等变换与解三角形的应用问题，也考查了运算求解能力与推理证明能力，是中档题．
18.【答案】解：因为，
所以，
则，
因为是锐角三角形，
所以，
则
所以，
所以；
因为外接圆的半径是，
所以，
则，，
所以
，
因为是锐角三角形，
所以，
所以，
则
故面积的取值范围是．
【解析】利用余弦定理结合二倍角的正弦公式即可得解；
先利用正弦定理求出，，再根据三角形的面积公式，由三角恒等变换化一结合正弦函数的性质即可得解．
本题考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式，三角函数恒等变换以及正弦函数的性质在解三角形中的应用，考查了转化思想和函数思想的应用，属于中档题．
19.【答案】解：；
当时，
．
设，由条件知，，
．
，，
；
设，则，
，
由可得，，
即，整理得，
，
．
即．
而．
令，
当时，；
当时，，利用单调性定义可证明函数在和都是递减的，
设，且，则
则，故，所以在上单调递减，
由于是奇函数，则在和单调递减，
因此，或，
函数值域是．
【解析】本题考查平面向量的数量积运算，考查了三角函数值域的求法，训练了利用配方法和函数单调性求函数的值域，考查学生的逻辑思维能力和运算能力，属于困难题．
直接利用平面向量的数量积把用表示；
利用向量的数量积运算结合向量的加减法运算把用表示，化简整理后由得范围求得的取值范围；
设，则，，由可得，，整理得，然后把转化为含有的代数式，换元后借助于函数单调性求得函数的值域．
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