河北省石家庄二中实验学校2022-2023学年高二下学期假期学情监测数学试卷（含解析）

石家庄二中实验学校2022-2023学年高二下学期假期学情监测数学试卷
学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题
1．设复数z的共轭复数为，，则复数在复平面内的对应点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2．已知平面向量,满足,,,则,的夹角为( )
A. B. C. D.
3．已知的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足,则( )
A.2 B.1 C. D.前三个答案都不对
4．已知m，n表示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列说法正确的是( )
A.若，，则
B.若，，则
C.若，，，则
D.若，，则
5．如图,在棱长为1的正方体中,点P是线段上的动点,下列说法错误的是( )
A.平面
B.
C.异面直线AP与所成的角的最小值为
D.三棱锥的体积为定值
6．已知,若与的夹角为120°,则在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7．袋子中有红、黄、黑、白共四个小球，有放回地从中任取一个小球，直到红、黄两个小球都取到才停止，用随机模拟的方法估计恰好抽取三次停止的概率.用1，2，3，4分别代表红、黄、黑、白四个小球，利用电脑随机产生1到4之间取整数值的随机数，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：
341 332 341 144 221 132 243 331 112
342 241 244 342 142 431 233 214 344
由此可以估计，恰好抽取三次就停止的概率为( )
A. B. C. D.
8．师宗文笔塔,位于曲靖市师宗县城东面文笔山上,为当代重建古塔,风水宝塔．今天我们所看到的文笔搭为1997年重建而成,2011年,师宗县以文笔塔为中心,始建师宗文笔山主题公园,名为文笔公园．如图,为测量文笔塔的高度,我校高一某学生取了从西到东相距74（单位：米）的A,B两个观测,点,在A点测得文笔塔在北偏东的点D处（A,B,D在同水平面上）,在B点测得文笔塔在北偏西,塔顶C的仰角为,则文笔塔的高度（单位：米）为( )
A.26 B. C.37 D.
二、多项选择题
9．甲、乙两人进行篮球比赛,若甲投中的概率为0.8,乙投不中的概率为0.1,且两人投篮互不影响,若两人各投篮一次,则下列结论中正确的是( )
A.两人都投中的概率为0.72 B.至少一人投中的概率为0.88
C.至多一人投中的概率为0.26 D.恰好有一人投中的概率为0.26
10．已知i是虚数单位,z是复数,则下列叙述正确的是( )
A.
B.若复数,则z为纯虚数的充要条件是
C.是关于x的方程的一个根
D.若,则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形面积为
11．如图,正方体棱长为2,E,F,G分别为,,的中点,则( )
A.点与点G到平面的距离相等
B.直线与平面所成角的正弦值为
C.二面角的余弦值为
D.平面截正方体所得的截面面积为
12．近年来,加强青少年体育锻炼,重视体质健康已经在社会形成高度共识,某校为了了解学生的身体素质状况,举行了一场身体素质体能测试,以便对体能不达标的学生进行有效地训练,促进他们体能的提升,现从全部测试成绩中随机抽取200名学生的测试成绩,进行适当分组后,画出如图所示频率分布直方图,则( )
A.
B.在被抽取的学生中,成绩在区间内的学生有70人
C.估计全校学生体能测试成绩的平均数为77
D.估计全校学生体能测试成绩的分位数为84
三、填空题
13．在中,已知,则___________.
14．有一多边形水平放置的斜二测直观图是直角梯形（如图所示）,其中,,,则原四边形的面积为___________．
15．已知正四面体ABCD的棱长为,且A,B,C,D四点都在球O的球面上,则球O的体积为________.
16．中国古典乐器一般按“八音”分类,这是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法,最早见于《周礼·春官·大师》,八音分为“金、石、土、革、丝、木、匏、竹”,其中“金、石、木、革”为打击乐器,“土、匏、竹”为吹奏乐器,“丝”为弹拨乐器．某同学计划从“金、石、匏、竹、丝5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习,则恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的概率为_______________．
四、解答题
17．已知复数，，.
（1）若复数在复平面内的对应点落在第二象限，求实数a的取值范围；
（2）若虚数是方程的一个根，求实数m的值.
18．如图，在平行四边形ABCD中，，，点E是AB的中点，连接DE，AC，记它们的交点为点G，设，.
（1）用a,b表示；
（2）求的余弦值.
19．在中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,的面积为S,已知
（1）求角A;
（2）若,求的取值范围.
20．如图,四边形为长方形,平面,,,点E,F分别为,的中点,设平面平面．
（1）证明：平面;
（2）证明：;
（3）求三棱锥的体积．
21．如图，已知四棱锥，底面为长方形，平面，E，F分别是，的中点.
（1）求证：；
（2）若，，求二面角的余弦值.
22．为进一步增强疫情防控期间群众防控意识，使广大群众充分了解新冠肺炎疫情防护知识，提高预防能力做到科学防护，科学预防. 某组织通过网络进行新冠肺炎疫情防控科普知识问答，共有 100 人参加了这次问答，将他们的成绩（满分100分）分成，，，，，这六组，制成如图 所示的频率分布直方图.
（1）求图中a的值，并估计这100人问答成绩的平均数(同一组数据用该组数据的中点值代替）；
（2）用分层抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，再从样本中任意抽取2人，求这2人的问答成绩均在内的概率.
参考答案
1．答案：D
解析：由题可知复数，则，所以复数在复平面内的对应点的坐标为，位于第四象限，故选D.
2．答案：C
解析：,
,
设,的夹角为,则,
又,
．
故选：C．
3．答案：A
解析：由射影定理,得．
又因为,
联立解得,,
因此．
故选：A.
4．答案：D
解析：若，，则或m与n相交或m与n异面，故A错误；
若，，则或，故B错误；
若，，，则或m与n异面，故C错误；
若，，由平面与平面垂直的判定可得，故D正确.
故选：D
5．答案：C
解析：对于A,易知,又平面,平面,所以平面,
同理平面,又,所以平面平面,
又平面,所以平面,故A正确;
对于B,易知,又,则平面,
又平面 ,则,同理,又 ,
所以平面,又平面,所以,故B正确;
对于C,如图所示：
过点D作,连AQ,知就是异面直线AP与所成的角的最小角,
有,故C错误;
对于D,,其中是定值,
面平面,知点P到面的距离是一个定值.故D正确.
故选：C.
6．答案：B
解析：,与的夹角为,
在上的投影向量为:
故选:B.
7．答案：D
解析：18组随机数中，满足条件的有221，132，112，241，142，这5组数据满足条件，所以估计恰好抽取三次就停止的概率.故选D.
8．答案：C
解析：由题意可得：,,,（米）,
在中,可得,则（米）,
在Rt中,可得为等腰直角三角形,即（米）.
故选：C.
9．答案：AD
解析：设事件A为：“甲投中”,设事件B为：“乙投中”,这两个事件相互独立,
A：都投中概率为,对;
B：至少一人投中的对立事件为：两人都未投中,故至少一人投中概率为,错;
C：至多一人投中的对立事件为：两人都投中,至多一人投中概率为,错;
D：恰好有一人投中概率为,对.
故选：AD.
10．答案：AC
解析：A选项,设,于是,
,
,
,
故,A选项正确;
B选项,根据复数的概念,复数,
则z为纯虚数的充要条件是且,B选项错误;
C选项,,
故是关于x的方程的一个根,C选项正确,
D选项,若,设,,
则在复平面内z对应的点Z的集合确定的图形是单位圆及其内部,面积为,D选项错误;
故选：AC.
11．答案：ACD
解析：对于,如图1所示,取的中点N,连接,,
则有,平面,平面,平面.
,平面,平面,平面,平面,平面,,
所以平面平面.
又因为平面,所以平面,点与点G到平面的距离相等,故A正确;
对于B,如图2所示,连接,又平面,所以为直线与平面所成角,由已知得：,,,
所以中,,即B错误;
对C,如图3所示,因为平面,作交延长线于H,
连接,则,故设二面角的平面角为,
由得,,
所以,即C正确;
对于D,如图4所示,连接,,延长,交于点S,
因为E,F分别为,的中点,所以,
所以A,E,F,四点共面,所以截面即为等腰梯形.
,,梯形的高为,
所以梯形的面积为,故D正确.
故选：ACD.
12．答案：AD
解析：对于A,根据频率和等于1得,解得,故A正确;
对于B,成绩在区间内的学生人数约为,故B错误;
对于C,学生体能测试成绩的平均数约为,故C错误;
对于D,
,
所以这组数据的分位数的估计值落在区间内,
又因为,故学生体能测试成绩的分位数为84,故D正确,
故选：AD.
13．答案：
解析：在中,所以,
又,解得或（舍去）.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为直观图是直角梯形,且,,,
所以,,
所以四边形中,,,,且,,
所以四边形ABCD的面积为.
故答案为：.
15．答案：
解析：正四面体ABCD的棱长为,由于正四面体ABCD的相对棱互相垂直且相等,
于是正四面体ABCD可以放置于棱长为1的正方体中,如图,
正四面体ABCD与该正方体有相同的外接球,球半径为正方体的对角线长的一半,
因此正四面体ABCD的外接球O半径,
所以球O的体积.
故答案为:
16．答案：
解析：从“金、石、匏、竹、丝5种课程中选2种作兴趣班课程进行学习,基本事件有：（金,石） ,（金,匏）,（金,竹）,（金,丝）,（石,匏）,（石,竹）,（石,丝）,（匏,竹）,（匏,丝）,（竹,丝）,共10个,
其中恰安排了1个课程为吹奏乐器、1个课程为打击乐器的基本事件为：（金,匏）,（金,竹）,（石,匏）,（石,竹）,共4个,
故所求概率为.
故答案为：.
17．答案：（1）
（2）17
解析：（1）.
因为在复平面内的对应点落在第二象限，所以，
解得.
因此，实数a的取值范围是.
（2）因为虚数是方程的一个根，所以也是方程的一个根，
于是，解得.
所以，，因此.
18．答案：(1)
(2)
解析：（1）且，
（2），
又
19．答案：（1）
（2）
解析：（1）已知,由余弦定理和三角形的面积公式,
得,即,
若,则,不符合题意,故,
所以,由,得.
（2）,,,
由正弦定理,
,
由,则,得,
所以,即的取值范围.
20．答案：（1）证明见解析
（2）证明见解析
（3）
解析：（1）证明：取的中点G,连接,,
因为点E,F分别为,的中点,所以且,
又因为四边形为长方形,所以且,
所以且,所以四边形为平行四边形,所以,
因为平面,平面,所以平面.
（2）证明：由平面,
因为平面,且平面平面,
所以.
（3）由平面,则点F到平面的距离等于D到平面的距离,
因为平面,所以为三棱锥的高,
所以三棱锥的体积为：.
21．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：因为平面，平面，
所以，
由底面为长方形，可得，
又，且平面，平面；
所以平面，
又平面，故，
因为E，F分别是，的中点，
所以，故.
（2）由（1）可知，、、两两垂直，
以点A为坐标原点，分别以、、所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
因为，，
所以，，，，
又E，F分别是，的中点，
所以，；
因此，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，所以，则，
不妨令，则，
又平面，即平面；
所以为平面的一个法向量，
所以，
由图可知，二面角为锐二面角，
所以二面角的余弦值为.
22．答案：（1），72
（2）
解析：（1）由图可知，，解得，
估计这100人问答成绩的平均数为：
.
（2）由频率分布直方图可知，问答成绩在，这两组的频率之比为.
用分层随机抽样的方法从问答成绩在内的人中抽取一个容量为5的样本，
则问答成绩在内的有(人)，分别记为A、B，
问答成绩在 内的有(人)，分别记为a、b、c，
从中任意抽取2人，则实验的样本空间为：
共有10个样本点.
设事件A为2人的问答成绩均在内，则，
所以这2人的问答成绩均在内的概率.