2022-2023学年云南省红河州开远一中高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年云南省红河州开远一中高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.复数是虚数单位在复平面上所对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3.函数在上的图象大致为( )
A. B.
C. D.
4.已知，则等于．( )
A. B. C. D.
5.已知圆台的上底面面积是下底面面积的倍，母线长为，若圆台的侧面积为，则圆台的高为( )
A. B. C. D.
6.已知点，，，，若是与方向相同的单位向量，则向量在方向上的投影向量为( )
A. B. C. D.
7.如图，正方体的棱长为，、分别是、的中点，沿过、、三点的截面截去四面体，再沿过、、三点的截面截去四面体后，所得几何体的体积为( )
A.
B.
C.
D.
8.在中，已知点在线段上，点是的中点，，，，则的最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数的零点所在的区间是( )
A. B. C. D.
10.若点在幂函数的图象上，则下列结论可能成立的是( )
A. B. C. D.
11.已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是( )
A.
B. 的图象关于直线对称
C. 在上单调递减
D. 该图象向右平移个单位可得的图象
12.已知函数且在定义域内存在最大值，且最大值为，，若对任意，存在，使得，则实数的取值可以是( )
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.，，则 ______．
14.如图所示，表示水平放置的在斜二测画法下的直观图，在轴上，与轴垂直，且，则的边上的高为__________．
15.若实数，，满足，，，则______．
16.已知函数若方程有四个不相等的实数根，，，，则 ______，的取值范围为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
在中，内角、、的对边分别为、、，．
求角；
若，求的最小值．
18.本小题分
已知，．
若，求的坐标；
若，求与的夹角．
19.本小题分
已知函数为常数，在时取得最大值．
求的解析式；
求函数在上的单调区间和最小值．
20.本小题分
已知函数，其中且．
求的值并写出函数的解析式；
判断并证明函数的奇偶性；
已知在定义域上是单调递减函数，求使的的取值范围．
21.本小题分
已知函数．
求的对称中心的坐标；
若，，求的值．
22.本小题分
如图，在扇形中，圆心角等于，半径为，在弧上有一动点，过引平行于的直线和交于点，设．
若点为的中点，试求的正弦值；
求面积的最大值及此时的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．
化简集合，根据交集与并集的定义运算即可．
【解答】
解：集合，
，
则，，
D正确．
故选：．
2.【答案】
【解析】解：，所对应的点为，该点位于第一象限．
故选：．
根据复数的除法运算化简复数，即可得到对应的坐标．
本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】
【解析】解：，
故函数为奇函数，图象关于原点对称，排除，
令函数，则，或，
故函数有三个零点，排除，
由，排除，
故选：．
分析函数的奇偶性，零点个数及的符号，利用排除法，可得答案．
本题考查的知识点是函数的图象，利用排除法，是解答此类问题最常用的方法．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式即可求解．
【解答】
解：因为，
所以，
则．
故选D．
5.【答案】
【解析】解：设圆台的上底面半径为，母线长为，高为，
因为圆台的上底面面积是下底面面积的倍，
所以下底面的半径为，
又母线长为，圆台的侧面积为，
则，
解得，
则圆台的高．
故选：．
设圆台的上底面半径为，母线长为，高为，由题意确定下底面的半径为，由圆台的侧面积公式求出，由此求解圆台的高即可．
本题考查了圆台的几何性质的应用，圆台的侧面积公式的应用，考查了逻辑推理能力、空间想象能力与化简运算能力，属于基础题．
6.【答案】
【解析】解：，
在方向上的投影向量为：．
故选：．
可以求出向量的坐标，然后根据投影向量的计算公式即可得出在方向上的投影向量．
本题考查了投影和投影向量的概念及计算公式，向量坐标的数量积的运算，根据向量的坐标求向量长度的方法，考查了计算能力，属于基础题．
7.【答案】
【解析】解：已知正方体的棱长为，则其体积为．
、分别是、的中点，
截去四面体的体积为，
截去四面体的体积为，
所得几何体的体积为．
故选：．
直接由正方体的体积减去两个四面体的体积得答案．
本题考查多面体体积的求法，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查平面向量共线定理与三点共线问题、由基本不等式求最值、向量的加减与数乘混合运算，属于中档题．
先根据，，三点共线引入参数，使得，然后利用向量的加减与数乘混合运算求得，对比得到、、的关系式，进而求得，再结合基本不等式即可求得的最小值．
【解答】
解：，，三点共线，
存在非零实数，使得，
，
又，，
，
，且，，
又，，，，
，
当且仅当，即时，等号成立，
的最小值为．
故选：．
9.【答案】
【解析】解：函数是连续函数，
，，，
，，
由零点判定定理可知函数的零点在，，
故选：．
通过函数的连续性，由零点判定定理判断求解，即可得出答案．
本题考查函数零点的判定定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
10.【答案】
【解析】解：因为幂函数在第一象限一定有图象，在第二或第三象限可能有图象，也可能没有图象，第四象限一定没有图象，
所以一定成立，，可能成立，不可能成立．
故选：．
根据幂函数的图象和性质求解．
本题主要考查了幂函数的图象和性质，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：根据函数的部分图象，
可得，，
所以，故A正确；
利用五点法作图，可得，可得，
所以，
令，求得，为最小值，故函数的图象关于直线对称，故B正确；
当，，函数没有单调性，故C错误；
把的图象向右平移个单位可得的图象，故D正确，
故选：．
由函数的图象的顶点坐标求出，由周期求出，由五点法作图求出的值，可得的解析式，再利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，即可得出结论．
本题主要考查由函数的部分图象求解析式，属于中档题．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的最值及其几何意义，考查学生的运算能力，属于中档题．
先求出，得到时，，再由题意得到，即可求出的范围，对照四个选项即可得到正确答案．
【解答】
解：定义域为，
由题意知时，，即，．
此时，
时，．
，时，，由得
对照四个选项，可以选：．
故选：．
13.【答案】
【解析】解：，，
．
故答案为：．
由已知直接利用倍角公式求解．
本题考查三角函数的化简求值，考查倍角公式的应用，是基础题．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查空间几何体的直观图与斜二测画法，属于基础题．
过作，结合斜二测的性质进行求解即可．
【解答】
解：如图，过作，
则，
与轴垂直，且，
，
根据斜二测的性质，得的边上的高等于，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】解：由题意得，，，
所以．
故答案为：．
由已知结合指数与对数的相互转化可表示，，，然后结合对数的换底公式可求．
本题主要考查了指数与对数的相互转化，对数的运算性质，属于基础题．
16.【答案】
【解析】解：由函数，可作出函数的图象如图所示，
不妨令，
，图象关于对称，
故，，，，
，
．
故答案为：；．
作出函数的图象如图所示，可得，，，，可求结论．
本题主要考查了函数的零点与方程根的关系，考查了数形结合的数学思想，属中档题．．
17.【答案】解：，
，
又，则，
又，则，
又为内角，故；
由于，则，
由余弦定理可得，，当且仅当时等号成立，
的最小值为．
【解析】将转化为，进一步可得到，由此可得的值；
运用数量积公式可知，再利用余弦定理结合基本不等式可求得的最小值．
本题考查正余弦定理在解三角形中的运用，同时还考查了数量积运算，三角恒等变换以及利用基本不等式求最值，考查运算求解能力，属于中档题．
18.【答案】解：，由，可设，
再根据，求得，
或．
若，
则，
．
设与的夹角为，，则，求得，．
【解析】由题意，利用两个向量平行的性质，求得它的坐标．
由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得与的夹角的余弦值，可得与的夹角．
本题主要考查两个向量平行、垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．
19.【答案】解：由题意知
．
，
当时，的单调增区间为，单调减区间为，
又，，
最小值为．
【解析】本题考查一元二次函数的性质，以及求一元二次函数的解析式，是基础题．
根据已知条件得到关于，的方程组，求解，得到函数的解析式；
利用一元二次函数的对称性以及单调性求解函数的值域即可．
20.【答案】解：，
所以，解得或，
因为，
所以，
所以．
为奇函数，证明如下：
由题意得，，解得，
所以函数的定义域为，该定义域关于原点对称．
又，
即，所以函数在上为奇函数．
由在定义域上单调递减，，得，
又，
所以的范围为．
【解析】由已知，代入可求，进而可求函数解析式；
先判断函数的定义域，然后检验与的关系即可判断；
结合函数的单调性及奇偶性即可求解．
本题主要考查了待定系数求函数解析式，函数奇偶性的判断，还考查了函数的单调性及奇偶性在不等式求解中的应用，属于中档题．
21.【答案】解：，
由，，得，，
即的对称中心的坐标为，．
由知，令，
则，
所以，，
则
．
【解析】化简的解析式，结合正弦函数的性质求出函数的对称中心即可；
令，根据的值，求出和的值，结合两角差的余弦公式计算即可．
本题考查了正弦函数的对称性，考查两角差的余弦公式，考查转化思想，是中档题．
22.【答案】解：在中，，，，
由，得，解得，
由正弦定理可得：；
，即，
又，即，当且仅当时等号成立，此时，
所以，
时，面积的最大值为．
【解析】根据余弦定理可求出，然后根据正弦定理即可求出的值；
根据余弦定理可得出，从而可得出，然后根据三角形的面积公式即可得出的面积的最大值及对应的的值．
本题考查了正余弦定理，三角形的面积公式，不等式的运用，考查了计算能力，属于中档题．
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