2022-2023学年福建省南安市柳城中学高一（下）期中数学试卷（含解析）

2022-2023学年福建省南安市柳城中学高一（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若，则( )
A. B. C. D.
2.若向量，满足，，，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
3.若的外接圆半径，，，则( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，且，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，，为向量在向量上的投影向量，则( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则下列结论中错误的是( )
A. 的最小正周期为 B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上单调递减 D. 的一个零点为
7.我国古代数学家秦九韶在数书九章中记述了“三斜求积术”，即在中，角，，所对的边分别为，，，则的面积根据此公式，若，且，则的面积为( )
A. B. C. D.
8.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知，则( )
A. B.
C. D.
10.若函数是偶函数，则的值不可能为( )
A. B. C. D.
11.的内角，，的对边分别为，，，，则( )
A. B.
C. D. 外接圆的面积为
12.在中，角，，所对的边为，，，：：：：，下列结论正确的有( )
A. ：：：： B.
C. 最小角的正弦值 D. 最大角的余弦值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知与的夹角为，若，则的值为______．
14.已知向量，，则在上的投影向量的坐标为______．
15.在中，，，分别为内角，，的对边，且，若，，则的面积为 ．
16.将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若数在上为增函数，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
己知向量，，．
若与共线，求；
若，求
18.本小题分
已知在平面直角坐标系中，锐角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点．
求的值；
若，且，求的值．
19.本小题分
在中，角，，对应的边长分别是，，，且，．
Ⅰ若，求；
Ⅱ若的面积等于，求，．
20.本小题分
已知函数，．
求的最大值和对应的取值；
求在的单调递增区间．
21.本小题分
四边形中，，，，．
求；
若，求四边形的面积．
22.本小题分
已知函数．
当时，求的值域；
若关于的方程在区间上恰有三个不同的实根，求实数的取值范围．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查二倍角公式，同角三角平方关系的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
由，得解．
【解答】解：因为，
所以
．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了向量夹角公式，向量垂直的充要条件，属于基础题．
根据条件可得出，然后即可求出的值，从而得出答案．
【解答】
解：，
，
，
，
又，
与的夹角为．
故选：．
3.【答案】
【解析】解：由，则为锐角，所以，
由，则为锐角，所以，
则，
可得：．
故选：．
根据同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和的正弦公式、正弦定理求得．
本题主要考查了同角基本关系及诱导公式，和差角公式在三角化简求值中的应用，还考查了正弦定理的应用，属于中档题．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查两个向量垂直的性质，向量的运算，向量的模．
由题意利用两个向量垂直的性质，求出 的坐标，可得它的模．
【解答】
解：向量，，且，
，
，，
则，
故选：．
5.【答案】
【解析】解：由题意可得，，
由向量投影的定义可得，．
故选：．
先求出的坐标，然后根据向量投影的定义可得，，代入即可求解．
本题主要考查了向量投影的定义及向量数量积的性质的简单应用，属于基础试题．
6.【答案】
【解析】解：的最小正周期，故A正确；
，
的图象关于直线对称，故B正确；
由，而正弦函数在上单调递减，
在区间上单调递减，故C正确；
，
又，
不是的一个零点，故D错误．
故选：．
根据三角函数的图象与性质一一判定即可．
本题主要考查正弦函数的图象与性质，考查运算求解能力，属于中档题．
7.【答案】
【解析】解：，
，
，
，
，，
，解得：，
，
，
故选：．
根据，求出，再根据余弦定理以及，求出的值，代入三角形面积公式即可．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查正弦函数的单调性，属于基础题．
由题意利用正弦函数的单调性可得关于的不等式，求解即可．
【解答】
解：，，
，
函数在上单调递减，
周期，解得
的减区间满足：
，
取，得，解之得，
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
由题意，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系，计算求得以及的值，从而得出结论．
本题主要考查同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于基础题．
【解答】
解：，，，
故A错误，B正确；
，故C错误，且D正确，
故选：．
10.【答案】
【解析】解：由题意及三角函数的性质，可得，，
解得：，
当时，可得，无论取何值，都不可能等于或或．
故选：．
由题意及三角函数的性质，求得，结合选项，即可求解．
本题考查偶函数的性质的应用，属于基础题．
11.【答案】
【解析】解：因为，
由余弦定理得，，
所以，A正确，
由正弦定理得，
所以，，，
所以外接圆的面积，B正确，C错误，D正确．
故选：．
由已知结合正弦定理，余弦定理分别检验各选项即可判断．
本题主要考查了正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
12.【答案】
【解析】解：对于，由正弦定理可得：：：：，故A正确；
对于，由：：：：，可设，，，
故，故B错误；
对于，由：：：：可知角为最小角，设，，，
故，则，故C错误；
对于，由的分析可知为最大角，则，
故D正确，
故选：．
由正弦定理可判断；由：：：：，可设，，，丛而可判断；根据题意可判断出最小角和最大角，由余弦定理可求得其值，判断，．
本题主要考查正弦定理的应用，余弦定理的应用等知识，属于中等题．
13.【答案】
【解析】解：，
，
解得．
故答案为：．
由，得到，再求出的值．
本题主要考查了向量的数量积运算，属于基础题．
14.【答案】
【解析】解：由题意得：在上的投影向量的坐标为．
故答案为：．
利用投影向量公式进行计算．
本题主要考查向量的投影公式，属于基础题．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查正弦定理，余弦定理以及三角形的面积公式，熟练掌握公式是解决本题的关键，属于基础题．
根据正弦定理和余弦定理求出角的度数，结合三角形的面积公式进行求解即可．
【解答】解：由，
得，
即，
由正弦定理得，
因为为三角形内角，所以，
得，又在中，则，
由余弦定理得，
即，
整理得，解得或舍，
则三角形的面积，
故答案为：．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查函数的图象变换，考查正弦函数的单调性及运算求解能力，属于中档题．
利用函数的图象变换可求得，再解不等式组可得答案．
【解答】
解：，
在上为增函数，
，解得，
故答案为：
17.【答案】解：向量，，
，，
与共线，
，
解得．
，，，
，解得，，
，，
．
【解析】求出，，由与共线，能求出．
由，求出，从而，由此能求出
本题考查实数值的求法，考查向量坐标运算法则、向量垂直、向量共线的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
18.【答案】解：由题意知，，
故．
由，，
得
所以，，
．
【解析】结合三角函数的定义可求，，然后结合同角基本关系即可求解，
结合同角平方关系及和差角公式即可求解
本题主要考查了三角函数的定义，同角平方关系及和差角公式的简单应用，属于基础试题．
19.【答案】解：Ⅰ由正弦定理可知：，
从而求得．
Ⅱ由的面积等于，可知，
从而，
由余弦定理可得，，
联立得．
【解析】Ⅰ由已知及正弦定理即可计算得解的值．
Ⅱ由已知及三角形面积公式可求，利用余弦定理可得，，联立即可解得，的值．
本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
20.【答案】解：因为，
由，可得，
当时，函数有最大值；
由，可得，
又，
函数的单增区间为．
【解析】根据正弦函数的图象和性质即得；
根据正弦函数的单调性结合条件即得．
本题主要考查了正弦函数的图象和性质，属于基础题．
21.【答案】解：在中，，，，
由余弦定理得，，
在中，由正弦定理得，
即，
解得．
设，
，，，
，，
，，
在中，由正弦定理得，即，解得，
，
，
四边形的面积：
．
【解析】由余弦定理求出，由此利用正弦定理能求出．
设，则，，从而，由正弦定理求出，四边形的面积，由此能求出结果．
本题考查余弦定理、正弦定理、解三角形等基础知识，考查抽象概括能力、数据处理能力、运算求解能力，考查应用意识、创新意识，考查化归与转化思想、分类与整合思想、数形结合思想，是中档题．
22.【答案】解：由题意可得．
，，
，的值域是．
，
，
或，
即或，
当时，因为，所以，．
所以在区间上恰有两个不同的实数根，
由图像可知
即．
【解析】先化简函数得，再利用三角函数的图象和性质求解；
转化得到在区间上恰有两个不同的实数根，再利用数形结合分析求解．
本题考查三角函数的图像与性质，属于中档题．
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